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Tema 5. TEORIA DE LA PROBABILIDAD
§
Introducción a la probabilidad.Probabilidad en el ámbito de la Estadística. §
Fenómeno, experimento, suceso aleatorio.Fenómenos deterministas y aleatorios.EXPERIMENTOS ALEATORIOS.Se dice que un experimento es aleatorio, estocástico o estadístico, si, pudiéndose repetir indefinidamente enanálogas condiciones es imposible predecir el resultado, aunque se conozcan las condiciones iniciales.En un experimento aleatorio no podemos anticipar el resultado hasta que se ha realizado la prueba.Molts fenòmens naturals o artificials no són deterministes, és a dir els seus resultats no són predictibles.Malgrat això, molts d’ells exhibeixen “patrons de comportament regular” a llarg termini. Aquests fenòmenss’anomenen aleatoris.
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Concepto de probabilidad
§
- Definición de Laplace2) Definición frecuencialista §3903) Enfoque subjetivo4) Enfoque axiomático (§305).
TEORIAS DE PROBABILIDAD
Objetivo: Deseamos cuantificar la incertidumbre
asociada a un experimento aleatorio
asignándole un número comprendido entre 0 y 1
OBJETIVAS
SUBJETIVAS
Clásica a Priori
Clásica Empírica
o Laplace
o Frecuencial
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Definición frecuencialista
§
Sea un suceso aleatorioque después de “n” repeticiones el suceso ha ocurrido “n
” veces.A
§
Ver gráfica sobre regularidad estadística. §382 Friedman Estabilización de las frecuencias relativas a lo largo de reiteradas repeticiones del experimento en condicionesuniformes.Principio de regularidad estadística según Cramer: "A pesar del comportamiento irregular de los resultadosindividuales de un experimento aleatorio, los resultados promedios, en largas sucesiones de ensayos, presentanuna regularidad.La frecuencia relativa de un hecho fortuito en repetidas experiencias hechas en las mismas condiciones tiende a unvalor fijo a medida que aumenta el número de pruebas".Supóngase una moneda trucada. Ahora ya no es razonable pensar que los resultados elementales (C y X) tienen lamisma probabilidad de aparecer. Lo más que podemos saber con relación a tales probabilidades es quesi P(C) = p, entonces P(X) = 1 - p.Pero ignoramos el valor de p, y en consecuencia no podemosasignar probabilidad a los sucesos. Una alternativa para ladeterminación de p sería la de experimentar con la monedaidealmente en las mismas condiciones. Experimentar querría decirlanzar la moneda (ya decimos que idealmente en las mismascondiciones) e ir anotando sucesivamente el número de caras quevan apareciendo con relación al total de lanzamientos. Así, sea n elnúmero de lanzamientos realizados hasta un cierto momento.Denotamos mediante n
el número de veces que ha aparecido caraA
(suceso A). La frecuencia relativa del suceso viene dada por
n/nA
1,000,900,800,700,600,500,400,300,200,10 0,00^0
2
4
10
30
50
80
150
400
1000
5000
Número de lanzamientos Porcentaje de caras aparecido(El escalado no es proporcional)
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y consideremos ahora un proceso mediante el cual el número de lanzamientos n es cada vez mayor (n
Entonces, la teoría de la frecuencia relativa define la probabilidad del suceso A como el número al que tendería elanterior cociente cuando n
Formalmente :lim (n
/n) = P(A)A
cuando n
Per condicions de simetria.P(
)= 1/
EmpíricamentP(
)=?
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Asignación de probabilidadesEl principal objetivo de este tema es el de asignar valores numéricos a las diferentes posibilidades de ocurrencia delos distintos sucesos. Tales valores numéricos serán la probabilidad de tales sucesos.La probabilidad de un evento A en un experimento aleatorio, es el valor numérico P(A) que satisface los siguientesaxiomas:
a) P(A)
≥^0
b) Si
Ω^
representa el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, entonces:P(
c) P(A
∪B) = P(A) + P(B), para A y B disjuntos.
Si A y B son dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral y, si A
∩^ B =
∅^ , entonces A y B se
dice que son
mutuamente excluyentes
y, la probabilidad de que ocurra A ó B es la suma de probabilidades.
§
QUO
Los tres axiomas básicos sobre probabilidad Kolgomorov.Decimos que P(A) es la probabilidad de un suceso A cuando se verifican las siguientes condiciones (para
Ω^
finito):
Ejemplos:a)^
En el lanzamiento de una moneda legal se tiene
Ω={C,X},
y no existen a priori razones para suponer que un resultado tenga más probabilidad de aparecer que otro.En tal caso, lo razonable es asignar P(C)=P(X)=1/2.b) En el lanzamiento de dos monedas se tiene:
Ω^ = {CC,CX,XC,XX}
y parece razonable pensar que P(CC)=P(CX)=P(XC)=P(XX)=1/4. De esta manera, el suceso compuesto "obtener almenos una cara" (A) tendría asignada la siguiente probabilidad
P(A) = P(CC,CX,XC) = P(CC)+P(CX)+P(XC) = 3/
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c) En el lanzamiento de dos dados:P(
)=
Ω^ = {(1,1),(1,2),...,(6,6)}.
Siendo 36 los resultados elementales (puntos muestrales), y apareciendo como igualmente probables, es lógico quecada uno de ellos tenga una probabilidad de 1/36.Si ahora se considera el suceso compuesto "obtener suma 5" , se tiene que este suceso consta de 4 resultadoselementales:
A = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}, en consecuencia P(A)=4/36.
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- Intersección de sucesosEl conjunto C = A
∩^
B es el formado por los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente. El suceso C
ocurre sólo cuando ocurren A y B.En el ejemplo anterior:
C = {1,2,3,5}
∩^
es decir, el suceso C se verificará tan solo si al lanzar el dado aparece el punto 1.Obsérvese que, en nuestro ejemplo, el suceso unión presenta 5 "casos" favorables a su realización: cada uno delos números 1, 2, 3, 4, 5 del dado; mientras que el suceso intersección tan solo tiene una posibilidad de realizarse:si aparece el punto 1. Podemos decir que, de alguna forma y por lo general, la intersección impone másrestricciones para su ocurrencia, dado que exige que se realicen tanto A como B.
A^
B
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- Suceso complementario (o suceso contrario) que representamos como A
c^ o como
A
El conjunto A
c^ (complementario de A) es el formado por los elementos de
Ω^
que no pertenecen a A.
Es claro, pues, que:
c^ A
∪^ A =
c^ A
∩^ A =
En el ejemplo anterior, A
c^ = {4,6}. Los números “no primos” al lanzar un dado
Ejemplo: en el lanzamiento de dos dados, se considera el experimento de observar la suma de las puntuaciones queaparecen. Aquí, el conjunto de todos los resultados posibles (puntos muestrales) viene dado por:
Ω^ = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}Suceso A = "Obtener suma par" = {2,4,6,8,10,12}Suceso B = "Obtener una suma que sea cuadrado de un número entero" = {4,9} Entonces:
A^ ∪
B = {2,4,6,8,9,10,12}
A^ ∩
B = {4}
y
(A^
∪^ B)
c^ = {3,5,7,11} = {3,5,7,9,11}
∩^
{2,3,5,6,7,8,10,11,12} = A
c^ ∩
c B
(A^
∩^ B)
c^ = {2,3,5,6,7,8,9,10,11,12} = A
c^ ∪
c B
A
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- Implicación de sucesos .Se dice que el suceso B implica el suceso A, o queB es subconjunto de A,y se escribe B
⊂^
A
cuando se realiza A siempre que se realice B.En el ejemplo del lanzamiento de un dado, consideremos:
A = "Obtener un múltiplo de 2" = {2,4,6}B = {2,4} En este caso B
⊂^
A. Siempre que obtengamos B también obtendremos A. S
A^
B
φ= ∩^ B A
S B^ A 2)^
B A^ ⊂
S A B 3)^
A B^ ⊂
S A^
B
- Ningunoanterior
A
B
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R^ ELACIÓN
ENTRE
EL
Á^ LGEBRA
D^ E
SUCESOS
Y^
D^ E
C^ ONJUNTOS
Como los sucesos son subconjuntos del espacio muestral, podemos definir entre ellos las mismas operaciones yrelaciones que se definen en
℘^
(Ω); sólo varía el lenguaje.
Podemos poner en relación el álgebra de conjuntos y el álgebra de sucesos siguiendo el cuadro:
Sucesos
Conjuntos
Espacio muestralSuceso seguroPunto muestralSuceso de
Suceso imposibleSuceso elementalEspacio de sucesosUnión de sucesosIntersección de sucesosSucesos incompatiblesImplicación de sucesosSuceso complementario
Conjunto universal
Conjunto total
Elemento de
Subconjunto de
Conjunto vacíoConjunto unitarioPartes de
Unión de conjuntosIntersección de conjuntosSubconjuntos disjuntosInclusión de conjuntosConjunto complementario
§
Comentar la cita de Chatfield·39: "La teoría de la probabilidad se basa en establecer una serie de reglas que rigen al manipular probabilidades y lasutilizamos para calcular la probabilidad de un suceso complejo descomponiéndolo en sucesos elementales".
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f) Si A1, A2,...,A
son sucesos mutuamente excluyentes, entoncesn
A
P(
A
P(^
i n^1 =i =)i n^1 =i
es una generalización del Axioma (3)
P(A
∪^1
A∪^2
∪A
) = P(An
) + P(A 1
) +…+ P(A 2
).n
g) Si A y B son sucesos disjuntos, entonces
P(A
∩B) = P(
h) Ley de Morgan
P(A
∪^
cB)
= P(A
c^ ∩
c B
P(A
∩^
cB)
= P(A
c^ ∪
c B
Demostración del Teorema e)
Probabilidad del suceso unión de A y B.
Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
A
,^
B A P B P A P B A P ,
BA
∀ Demostración:
(^
) Ã
B
A
B
A^
∪^ (
)^
(^
) Ã
B
B
A
B^
Por lo tanto:^ (
)^
(^
)^
(^
) Ã
BP
A
P
B
A
P^
(^
)^
(^
)^
(^
) Ã
BP
B
A
P
B
P^
Si restamos las dos ecuaciones:Generalización para el caso de tres sucesos : Si
A ,
B^
y^ C
son tres eventos cualesquiera, entonces:
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
) C
B A P C B P C A P B A P
CP
B P A P C B A
P^
Demostración:
Consiste en escribir
C
B
A^
∪^
como
(^
)^
C
B
A^
∪^
y aplicar el resultado del teorema anterior. A^
B A^ ∩ B^
Ã^ ∩
B
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Definición de probabilidad condicionada
§
SUCESOS INDEPENDIENTESDados dos sucesos A y B, decimos que son estocásticamente independientes (o simplemente independientes)cuando:
P(A
∩B) = P(A)·P(B)
La consecuencia más relevante de esta definición es que la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos no semodifica por la ocurrencia del otro. Así, para sucesos independientes se verifica:
P(A/B) = P(A)P(B/A) = P(B)
Definición de probabilidad condicionada.Sucesos dependientes e independientes.Si independientes:
P(A
1 B)=P(A)·P(B)
P(A |B)=P(A)P(B |A)=P(B)
en caso contrario:
P(A
1 B)=P(A)·P(B |A) =P(B)·P(A |B)
P(A |B)=P(A
1 B)/P(B)
P(B |A)=P(A
1 B)/P(A)
Con frecuencia dos eventos se encuentran relacionados de manera tal que la ocurrencia de uno de ellos dependede si otro a ocurrido o no. §
Cuadras·41Diferencia entre sucesos incompatibles o también llamados mutuamente excluyentes y los sucesos independientes.Demostrar si pueden ser ciertas las siguientes afirmaciones:a) Si dos sucesos son mutuamente exclusivos, no pueden ser independientes.b) Dos sucesos, si son independientes, no pueden ser mutuamente exclusivos.c) Si dos sucesos no son mutuamente exclusivos, pueden ser bien sea independientes o no independientes.d) Dos sucesos no independientes, pueden ser bien sea mutuamente exclusivos o no exclusivos.e) Sea un suceso A no nulo, subconjunto de un suceso B ¿Pueden ser independientes A y B?
