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insesgados, lineales o no lineales, según se ilustra en la figura 2.13. Por lo tanto, ya no tenemos que restringirnos a los estimadores que son lineales en y (^) i.
También se cumple que cualquier combinación lineal de ˆ 1 ,^ ˆ 2 ,^ ˆ 3 ,^ ,^ ˆ k se
distribuye normalmente, y cualquier subconjunto de las ˆ j tiene una distribución
normal conjunta.
FIGURA 2.13. Los estimadores MCO son EIMV. En resumen, hemos visto que los estimadores de MCO tienen propiedades muy deseables cuando se cumplen los supuestos estadísticos del MLC.
Ejercicios
Ejercicio 2.1 El siguiente modelo ha sido formulado para explicar las ventas anuales ( ventas ) de empresas fabricantes de productos de limpieza doméstica en función de un índice de precios relativo ( ipr ):
ventas 1 2 ipr u
donde la variable ventas está expresada en millones de euros e ipr es un índice de precios relativos (precios de la empresa/precios de la empresa 1 de la muestra). Así, el valor 110 de la empresa 2 indica que su precio es un 10% mal elevado que en la empresa 1.
Para ello se dispone de los siguientes datos sobre diez empresas fabricantes de productos de limpieza doméstica: empresa ventas ipr 1 10 100 2 8 110 3 7 130 4 6 100 5 13 80 6 6 80 7 12 90 8 7 120 9 9 120 10 15 90 a ) Estime β 1 y β 2 por MCO. b ) Obtenga la suma de los cuadrados de los residuos. c) Calcule el coeficiente de determinación. d) Compruebe si se cumplen las implicaciones algebraicas 1, 3 y 4 en la estimación por MCO.
E stimador
I nsesgado
M inima V arianza EIMV
ˆ 1 ,ˆ 2
Ejercicio 2.2 Para estudiar la relación entre consumo de combustible ( y ) y el tiempo de vuelo ( x ) en una compañía aérea se ha formulado el siguiente modelo:
y 1 2 x u
donde y está expresado en miles de libras y x en horas, utilizándose como unidades de orden inferior fracciones decimales de la hora.
De las estadísticas de «Tiempos de vuelo y consumos de combustible» de una compañía aérea se han obtenido datos relativos a tiempos de vuelo y consumos de combustible de 24 trayectos distintos realizados por aviones DC-9. A partir de estos datos se han elaborado los siguientes estadísticos:
y i^ 219.719;^ xi^ 31.470;^
2
x i^ 51.075;
x y i i^ 349.486;^
2
y i^ 2396.
Se pide a ) La estimación de β 1 y β 2. b ) La descomposición de la varianza de y en varianza explicada por la regresión y varianza residual. c ) El coeficiente de determinación. d ) ¿Qué consumo total estimaría, en miles de libras, para un programa de vuelos compuesto por 100 vuelos de media hora, 200 de una hora y 100 de dos horas?
Ejercicio 2.3 Un analista formula el siguiente modelo:
y 1 2 x u
Utilizando una muestra dada, se estima el modelo obteniendo los siguientes resultados:
1
n i i i
x x y y
n
2 1
n i i
x x
n
2
y x
¿Le parecen coherentes los resultados obtenidos por el analista?
Ejercicio 2.4 Un económetra ha estimado el siguiente modelo con una muestra de cinco observaciones:
yi = b 1 (^) + b 2 xi + ui Una vez realizada la estimación el económetra pierde toda la información excepto la que aparece en el siguiente cuadro:
Obs. x^ i u ˆ t 1 1 2 2 3 - 3 4 0 4 5 ¿? 5 6 ¿? Con la información anterior el económetra debe calcular la varianza residual. Hágalo en su lugar.
Ejercicio 2.5 Sea el siguiente modelo
yi 1 2 xi ui 1 1, 2, , n
Ejercicio 2.8 Se han estimado por mínimos cuadrados ordinarios los parámetros β 1 y β 2 del modelo
y 1 2 x u
con una muestra de tamaño 3.
Los valores de x (^) i son {1,2,3}. Se sabe también que el residuo correspondiente a la primera observación es de 0.5.
A partir de la anterior información, ¿es posible calcular la suma de los cuadrados
de los residuos y obtener una estimación de ^2? En caso afirmativo, realice los
correspondientes cálculos.
Ejercicio 2.9 Se tienen los siguientes datos, para estimar una relación entre y y x : y x -2 - -1 0 0 1 1 0 2 1
a ) Estime por MCO los parámetros α y β del siguiente modelo: y x b ) Estime var( εi ). c ) Por otra parte, estime por MCO los parámetros γ y δ del siguiente modelo: x y d ) ¿Son las dos líneas de regresión ajustadas iguales? Explique el resultado en términos de la metodología mínimo-cuadrática.
Ejercicio 2.10 Responda a las siguientes preguntas:
a ) Un investigador, después de realizar la estimación de un modelo por
MCO , calcula u ˆ i y comprueba que no es 0. ¿Es esto posible? Razone
la respuesta indicando en su caso las condiciones en las cuales puede haberse producido este hecho.
b ) Obtenga un estimador insesgado de ^2 , indicando los supuestos
utilizados. Razone la respuesta.
Ejercicio 2.11 En el contexto del modelo de regresión lineal
y 1 2 x u
a ) Indique en que se basa el cumplimiento, en su caso, de las siguientes igualdades
n n i i i i i i i
u u u u E x u E u n n
^
b ) Establezca la relación entre las dos expresiones siguientes: 2 (^2) = 2 ; ˆ (^2) = ˆ i i
u E u n k
Ejercicio 2.12 Responda a las siguientes preguntas:
a ) Defina las propiedades probabilísticas de los estimadores de MCO bajo los supuestos del MLC. Razone la respuesta.
b ) ¿Qué sucede con la estimación del modelo de regresión lineal si la varianza muestral de la variable explicativa es nula? Razone su respuesta.
Ejercicio 2.13 Un investigador considera que la relación entre consumo ( cons ) y renta disponible ( renta ) debe ser estrictamente proporcional. Por ello, plantea el siguiente modelo:
cons = β 2 renta + u a ) Deduzca la fórmula para estimar β 2. b ) Deduzca la fórmula para estimar σ^2.
c ) En este modelo, ¿a qué es igual 1
n i i
u
å?
Ejercicio 2.14 En el contexto del modelo de regresión lineal simple
y 1 2 x u
a ) ¿Qué supuestos deben cumplirse para que los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios sean insesgados? b ) ¿Qué supuestos se requieren para que su varianza sea mínima dentro del conjunto de estimadores lineales e insesgados?
Ejercicio 2.15 En lenguaje estadístico se suelen hacer en muchas ocasiones afirmaciones como la siguiente:
“Sea una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una variable x con distribución normal N ( α,σ )”.
a ) Exprese la afirmación anterior con lenguaje econométrico, introduciendo un término de perturbación. b ) Deduzca la fórmula para estimar α. c ) Deduzca la fórmula para estimar σ^2.
d ) En este modelo, ¿a qué sería igual 1
n i i
u
å?
Ejercicio 2.16 Sea el siguiente modelo que relaciona el gasto en educación ( geduc ) con la renta disponible ( renta ):
geduc = β 1 + β 2 renta + u Utilizando la información obtenida de una muestra de 10 familias se han obtenido los siguientes resultados: 10 10 10 2 2 1 1 1
(^7 50) i 30.650 (^) i (^622) i i 4. i i i
geduc renta renta geduc renta geduc = = =
= = å = å = å ´ =
a ) Estime β 1 y β 2 por MCO. b ) Estime la elasticidad gasto en educación/renta para el promedio de las familias de la muestra. c ) Descomponga la varianza total del gasto en educación de la muestra en varianza explicada y varianza residual. d ) Calcule el coeficiente de determinación. e ) Estime la varianza de las perturbaciones
Ejercicio 2.17 Dado el modelo poblacional
b) ¿Cuál sería la media de satisfacción global en un país con una esperanza de vida al nacer de 80 años? c) ¿Cuál debe ser la esperanza de vida al nacer para obtener una satisfacción global igual a 6?
Ejercicio 2.21 En economía se denomina intensidad en la actividad en investigación y desarrollo, o simplemente I+D, a la relación entre la inversión de una empresa en investigación y desarrollo y las ventas de dicha empresa.
Para la estimación un modelo que explique la intensidad en I+D es necesario contar con una base de datos apropiada. En España se puede utilizar la Encuesta sobre Estrategias Empresariales realizada por el Ministerio de Industria. Esta encuesta, con periodicidad anual, proporciona un profundo conocimiento de la evolución del sector industrial a través del tiempo, ya que ofrece múltiples datos relativos al desarrollo empresarial y a las decisiones de la empresa. Esta encuesta también está diseñada para generar información microeconómica que permite especificar y contrastar modelos econométricos. En cuanto a su cobertura, la población de referencia de esta encuesta son empresas con diez o más trabajadores de la industria manufacturera. El área geográfica de referencia es España, y los datos son anuales. Una de las características más destacadas de esta encuesta es su alto grado de representatividad.
Utilizando el fichero rdspain , que es una base de datos de las empresas españolas desde 1983 a 2006, se estimó la siguiente ecuación para explicar los gastos en investigación y desarrollo ( rdintens ):
rdintens^ ^ = -2.639 +0.2123ln( sales ) R^2 = 0.0350 n =
donde rdintens se expresa como un porcentaje de las ventas, y las ventas se miden en millones de euros.
a) Interprete el coeficiente de ln( sales ). b) Si las ventas aumentan en un 50%, ¿cuál es el cambio estimado en puntos porcentuales de rdintens? c) ¿Qué porcentaje de la variación de rdintens se explica por las ventas? ¿Es elevado? Justifique su respuesta.
Ejercicio 2.22 El siguiente modelo se formuló para explicar el salario de un graduado MBA ( salMBAgr ) en función de las tasas de matrícula ( tuition )
salMBAgr 1 2 tuition u
donde salMBApr es el salario medio anual en dólares para los estudiantes matriculados en el año 2010 de las 50 mejores escuelas de negocios americanas y tuition son los derechos de matrícula, incluyendo todos los gastos necesarios para el programa completo (con exclusión de los gastos de subsistencia).
Utilizando los datos de MBAtui10 , se obtuvo el siguiente modelo ajustado: (^54242) 0. salMBAgri tuitioni R^2 =0.4275 n = a) ¿Cuál es la interpretación del término independiente? b) ¿Cuál es la interpretación del coeficiente de la pendiente? c) ¿Cuál es el valor predicho de salMBAgr para un estudiante de posgrado que pagó 110000 dólares por los derechos de matrícula en un MBA de 2 años?
Ejercicio 2.23 Usando una submuestra de la Encuesta Estructural de Salarios para España en 2006 ( wage06sp ), se estimó el siguiente modelo para explicar los salarios:
ln(^ wage ) 1.919 0.0527 educ R^2 =0.2445 n =
donde educ (educación) se mide en años y el salario ( wage ) en euros por hora.
a) ¿Cuál es la interpretación del coeficiente educ? b) ¿Cuántos años de educación más se requieren para obtener un salario un 10% más elevado? c) Sabiendo que educ 10.2, calcule la elasticidad salario/educación.
Ejercicio 2.24 Utilizando datos de la economía española para el período 1954- (fichero consump ), se estimó la función de consumo keynesiana:
(^288) 0. conspct incpct R^2 =0.994 n =
donde el consumo ( conspc ) y la renta disponible ( incpc ) se expresan en euros constantes per cápita, tomando 2008 como año de referencia.
a) ¿Cuál es la interpretación del término independiente? Opine sobre el signo y magnitud del término independiente. b) Interprete el coeficiente de incpc. ¿Cuál es el significado económico de este coeficiente? c) Compare la propensión marginal a consumir con la propensión media al consumo para el punto de la media muestral ( conspc 8084, incpc 8896). Comente el resultado obtenido. d) Calcule la elasticidad consumo/renta para la media muestral.
Anexo 2.1 Un caso de estudio: Curvas de Engel para la demanda de
productos lácteos
La curva de Engel muestra la relación entre las diversas cantidades de un bien que el consumidor está dispuesto a comprar para diferentes niveles de renta.
En una encuesta realizada a 40 familias se han obtenido datos de gasto anual en productos lácteos y de renta disponible que aparecen en el cuadro 2.6. Para evitar distorsiones debidas al diferente tamaño de los hogares, tanto el consumo como la renta se han expresado en términos per capita. Los datos vienen expresados en miles de euros al mes.
Antes de proceder a su estimación con los datos del cuadro 2.6, vamos exponer varios tipos de modelos que se utilizan en los estudios de demanda, analizando las propiedades de cada uno de ellos. Los modelos que se van examinar son los siguientes: lineal, inverso, semilogarítmico, potencial, exponencial y exponencial inverso. En los tres primeros modelos, el regresando de la ecuación a estimar es directamente la variable endógena, mientras que en los tres últimos, después de realizar las transformaciones adecuadas, el regresando es el logaritmo neperiano de la variable endógena.
En todos los modelos se calculará la propensión marginal, así como la elasticidad de la demanda.
Recua a) Cál
Expl a) In b) E resul c) U fórm d) C ento
- Cál
a) In b) En colo c) U fórm d) C ento
Cál
Cál
Cál
adro 3. lculo de X’X
licación para X ntroduzca las m El producto X ltante (R5:S6) Una vez selecc mula siguiente Cuando la fór nces, teniendo lculo of (X’X
ntroduzca la m ncontramos la car la matriz r Una vez selecci mula siguiente Cuando la fórm nces, teniendo lculo de vecto
lculo de u u ˆ ˆ '
u u ˆ ˆ '
lculo de la ma
va
y X’y
X'X matrices X' y X'X se calcula ). cionadas las c : = MMULT ( rmula se hay o presionadas X)-
matriz X'X en a inversa de la resultante (AS ionadas las ce : = MINVERS mula se haya in o presionadas or β ˆ
y σ^2
= y y'^ - y y ˆ ˆ ' =
atriz de covari
ar( )ˆ^ = s ˆ é ' β (^) êë X X 2
X : B5:K6 y N a seleccionand
celdas para la (B5:K6;N2:O ya introducido estas dos tecl
Excel: R5:S a matriz X'X, S5:AT6) eldas para la m SA (AO5:AP ntroducido, pu estas dos tecl
= y y'^ - β ˆ ' X X'
ˆ n
s^2 =
ianzas de β ˆ
ù - X úû =
1
N2:O11 en Ex do previamen
matriz resulta
o, pulse la te las, pulse la te
seleccionando
matriz resultan 6). ulse la tecla C las, pulse la te
Xβ ˆ^ = y y' - β ˆ^ ' X ˆ ˆ (^70) n
= =
u u^ ' 2 8
3.8696 - 3 -0.0370 0
æç ççç è
xcel nte las celdas
ante, y mientr
ecla Ctrl y l ecla Enter tam
o previamente
nte, y mientras
Ctrl y la tecla S ecla Enter tam
X y' = R. 5 - R.
0.0370 33 0.0004 -0.
ö÷ æç ÷ = ç÷÷ (^) çç ø è
donde desea
ras aún está re
la tecla Shift mbién.
e las celdas do
s aún está resa
Shift simultán mbién.
6 = 953 - 883
.6624 -0. .3215 0.
a colocar la m
esaltada, escri
simultáneam
onde deseamos
altada, escriba
neamente,
3=
15 32
ö÷ ÷÷÷ ø
matriz
iba la
mente,
s
a la
Ejercicio 3.3 El siguiente modelo ha sido estimado para explicar las ventas anuales de empresas fabricantes de productos de limpieza doméstica en función de un índice de precios relativo ( ipr ) y de gastos de publicidad ( gpub ):
ventas 1 2 ipr 3 gpu u
donde las ventas están expresadas en millones de euros, ip es un índice de precios relativos (precios de la empresa/precios de la empresa 1 de la muestra) y gpub son los gastos anuales realizados en publicidad y campañas de promoción y difusión, expresados también en millones de euros.
Para ello se dispone de los siguientes datos sobre diez empresas fabricantes de productos de limpieza doméstica:
firm ventas rpi gpub 1 10 100 300 2 8 110 400 3 7 130 600 4 6 100 100 5 13 80 300 6 6 80 100 7 12 90 600 8 7 120 200 9 9 120 400 10 15 90 700 Utilizando una hoja excel: a ) Estime los parámetros del modelo propuesto. b ) Estime la matriz de covarianzas. c ) Calcule el coeficiente de determinación.
Nota : En el recuadro 3.1 se estima el modelo ventas 1 2 rpi u utilizando
Excel. Allí también pueden verse las instrucciones para hacerlo.
Ejercicio 3.4 Un investigador, que está elaborando un modelo econométrico con el que desea explicar el comportamiento de la renta, formula la siguiente especificación:
renta = α + βcons + γahorro + u [1]
donde renta es la renta disponible de las familias, cons es el consumo total y ahorro es el ahorro total de las familias.
El investigador no tuvo en cuenta que las tres magnitudes anteriores están ligadas por la identidad
renta = cons + ahorro [2] La equivalencia entre los modelos [1] y [2] exige que, además de desaparecer el término de perturbación, los parámetros del modelo [1] tomen los siguientes valores:
α =0, β =1, γ = Si se emplean los datos de un país para ajustar la ecuación [1] por MCO, ¿Se puede esperar, en general , que las estimaciones obtenidas tomen los valores
ˆ^ 0, ˆ 1, ˆ0? Justifíquese la respuesta, utilizando notación matemática.
Ejercicio 3.9 Considere el modelo de regresión
y X u
donde y y u son vectores 81, X es una matriz 83 y es un vector 31 de parámetros desconocidos. Además se dispone de la siguiente información:
2 0 0 0 3 0 0 0 3
^
X X u u ˆ ˆ^ 22
Responda a las siguientes preguntas, justificando la respuesta: a) Indique el tamaño de la muestra, el número de regresores, el número de parámetros y los grados de libertad de la suma de los cuadrados de los residuos. b) Deduzca la matriz de covarianzas del vector ˆ^ , explicitando los supuestos utilizados. Estime las varianzas de los estimadores de los parámetros del modelo. c) ¿Contiene el modelo de regresión término constante? ¿Qué implicaciones tiene la contestación a esta pregunta en el significado del R^2 en este modelo?
Ejercicio 3.10 Argumente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) En un modelo de regresión lineal, la suma de los residuos es cero. b) El coeficiente de determinación ( R^2 ) es siempre una buena medida de la calidad del modelo. c) El estimador por mínimos cuadrados es un estimador sesgado.
Ejercicio 3.11 El siguiente modelo se formula para explicar el tiempo empleado en dormir:
sleep 1 2 totalwrk 3 leisure u
donde el tiempo dedicado a dormir ( sleep) , al trabajo -remunerado y no remunerado- ( totalwrk ), y al ocio ( leisure ) (tiempo no dedicado a dormir o trabajar) están medidos en minutos por día.
La ecuación estimada con una muestra de 200 observaciones, utilizando el fichero timuse03 , es la siguiente:
sleep^ ^ = 1440 - ´ 1 total _ work - ´ 1 leisure R^2 =1.000 n = a) ¿Cuál es su opinión acerca de estos resultados? b) ¿Cuál es el significado del término independiente estimado?
Ejercicio 3.12 Utilizando una submuestra de la Encuesta de Estructura Salarial para España en 2006 (archivo wage06sp ) se estimó el siguiente modelo para explicar el salario ( wage ):
ln(^ wage ) 1.565 0.0448 educ 0.0177 tenure 0.0065 age R^2 =0.337 n =
donde educación ( educ ), permanencia en la empresa ( tenure) y edad ( age ) están medidos en años y el salario en euros por hora.
a) ¿Cuál es la interpretación de los coeficientes educ , tenure y age?
b) ¿Cuántos años tiene que aumentar la edad para que tenga un efecto similar al incremento de 1 año en la educación, manteniendo fijos en cada caso, los otros dos regresores? c) Sabiendo que educ^ =10.2, tenure^ =7.2 y age =42.0, calcule las elasticidades de los salarios con respecto a la educación, permanencia en la empresa y edad, manteniendo fijos los otros regresores. ¿Considera usted que estas elasticidades son altas o bajas?
Ejercicio 3.13 La siguiente ecuación describe el precio de la vivienda en términos del número de dormitorios de la casa ( bedrooms ), del número de baños completos ( bathrms ) y del tamaño de la parcela en pies cuadrados ( lotsize ):
price 1 2 bedrooms 3 bathrms 4 lotsize u
donde el precio ( price ) de la vivienda se mide en dólares.
Utilizando los datos de la ciudad de Windsor contenidos en el fichero housecan , se estima el siguiente modelo:
price (^) 2418 5827 bedrooms 19750 bathrms 5.411 lotsize
R^2 =0.486 n = a) ¿Cuál es el aumento estimado en el precio de una casa con un dormitorio y un baño adicionales, manteniendo lotsize constante? b) ¿Qué porcentaje de variación en el precio se explica por el número de dormitorios, el número de baños completos y el tamaño de la vivienda en conjunto? c) Determine el precio de venta predicho para una casa de la muestra con bedrooms =3, bathrms =2 y lotsize =3880. d) El precio de venta real de la casa en c ) fue de 66000$. Encuentre el valor del residuo para esta casa. A la vista de este resultado, ¿el comprador pagó de más o de menos por la casa?
Ejercicio 3.14 Para examinar los efectos de los rendimientos de las empresas sobre los salarios de sus consejeros delegados se formuló el siguiente modelo:
ln( salary ) 1 2 roa 3 ln( sales ) 4 profits 5 tenure u
donde roa , es la ratio beneficios/activos expresada en porcentaje y tenure es el número de años en la empresa como consejero delegado (=0 si es menor de 6 meses). El salario ( salary ) está expresado en miles de dólares, mientras que las ventas ( sales ) y los beneficios ( profits ) están en millones de dólares.
Se ha utilizado el fichero ceoforbes para la estimación del modelo. Este archivo contiene datos sobre 447 ejecutivos de las 500 empresas más grandes de EE.UU. (52 de las 500 empresas fueron excluidas por falta de datos sobre una o más variables. Apple Computer también fue excluido porque Steve Jobs, consejero delegado de Apple en 1999, no recibió ninguna compensación durante ese período.) Los datos de las empresas provienen de la revista Fortune y se refieren a 1999, los datos de los consejeros delegados provienen de la revista Forbes y se refieren también a 1999. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
ln(^ salary ) 4.641 0.0054 roa 0.2893ln( sales ) 0.0000564 profits 0.0122 tenure R^2 =0.232 n = a) Interprete el coeficiente del regresor roa.
donde educ son los años de educación alcanzados, hhinc son los ingresos de los hogares en euros por mes, age es la edad de la persona entrevistada y paidwork es el trabajo remunerado. Las variables houswork y paidwork están medidas en minutos por día.
Utilice los datos contenidos en el fichero timuse03 para estimar el modelo. Este archivo contiene 1000 observaciones correspondientes a una submuestra aleatoria extraída de la encuesta de Empleo del Tiempo en España que se llevó a cabo en el período 2002-2003.
a) ¿Qué signos esperaría para β 2 , β 3, β 4 y β 5? Explíquelo. b) Exprese los resultados en forma de ecuación c) ¿Cree usted que hay factores relevantes omitidos en la ecuación anterior? Explíquelo. d) Interprete los coeficientes de los regresores educ , hhinc , age y paidwork.
Ejercicio 3.18 (Continuación del ejercicio 2.20) Para explicar la satisfacción general de las personas ( stsfglo ) se formula el siguiente modelo:
stsfglo 1 2 gnipc 3 lifexpec u
donde gnipc es la renta nacional bruta per cápita expresada en dólares (USA) PPA (paridad del poder adquisitivo) a precios de 2008 y lifexpec es la esperanza de vida al nacer, es decir, el número de años que un recién nacido puede esperar vivir. Cuando una magnitud se expresa en dólares estadounidenses PPA, eso significa que se ha convertido a dólares internacionales usando tasas PPA. (Un dólar internacional tiene el mismo poder adquisitivo que un dólar de los EE.UU. en los Estados Unidos.)
Utilice el fichero HDR2010 para la estimación del modelo. a) ¿Qué signos esperaría para β 2 y β 3? Explíquelo. b) ¿Cuál sería la de satisfacción global media de un país cuyos habitantes tienen una esperanza de vida al nacer de 80 años y que tienen una renta nacional bruta per cápita de 30.000 dólares PPA expresados en dólares de 2008 de Estados Unidos? c) Interprete los coeficientes de gnipc y lifexpe. d) Teniendo en cuenta un país cuya esperanza de vida al nacer es igual a 50 años, ¿Cual debería ser la renta nacional bruta per cápita para obtener una satisfacción global igual a 5?
Ejercicio 3.19 (Continuación del ejercicio 2.24) Debido a los problemas surgidos en el modelo keynesiano, Brown introdujo en la función de consumo, además de la renta, el consumo retardado para reflejar la persistencia de hábitos del consumidor:
conspc b 1 (^) + b 2 (^) incpc + b 3 conspc ( - 1) + u Como en este modelo se incluye el consumo retardado, hay que distinguir entre propensión marginal al consumo a corto plazo y a largo plazo. La propensión marginal a corto plazo se calcula de igual forma que en la función de consumo de Keynes. Para calcular la propensión marginal a largo plazo se debe considerar una situación de equilibrio, en la que no hay variaciones en las variables. Designando por conspce^ y incpce^ al consumo y a la renta de equilibrio y prescindiendo de la perturbación aleatoria, el modelo anterior en situación de equilibrio viene dado por
1 2 3 conspc e^ b + b incpc e^ + bconspce La función de consumo de Brown se estimó con datos de la economía española para el periodo 1954-2010 (fichero consumsp ), obteniéndose los siguientes resultados:
conspct 7.156 0.3965 incpc (^) t 0.5771 conspct (^) 1 R^2 =0.997 n = a) Interprete el coeficiente de incpc. En su interpretación, ¿incluiría la clausula “mantenido fijo el otro regresor? Justifique la respuesta. b) Calcule la elasticidad a corto plazo para las medias muestrales ( conspc =8084, incpc =8896). c) Calcule la elasticidad a largo plazo para las medias muestrales. d) Comente la diferencia entre los valores obtenidos para los dos tipos de elasticidad.
Ejercicio 3.20 Para explicar la influencia de los incentivos y los gastos de publicidad en las ventas, se han formulado los modelos alternativos siguientes:
sales 1 2 advert 3 incent u (1)
ln( sales ) 1 2 ln( advert ) 3 ln( incent ) u (2)
ln( sales ) 1 2 advert 3 incent u (3)
sales 2 advert 3 incent u (4)
ln( sales ) 1 2 ln( incent ) u (5)
sales 1 2 incent u (6)
a) Utilizando una muestra de 18 áreas de venta (fichero advincen ), estime los modelos anteriores: b) Dentro de cada uno de los siguientes grupos seleccione el mejor modelo, indicando cuáles han sido los criterios que se han utilizado. Justifique su respuesta. b 1 ) (1) y (6) b 2 ) (2) y (3) b 3 ) (1) y (4) b 4 ) (2), (3) y (5) b 5 ) (1), (4) y (6) b 6 ) (1), (2), (3), (4), (5) y (6)
Apéndices
Apéndice 3.1 Demostración del Teorema de Gauss-Markov
Para demostrar este teorema, se utilizan los supuestos 1 a 8 del MLC.
Consideremos otro estimador β ^ que es una función de y (recuerde que ˆ es
también una función de y ), dado por
^1
^
β (^) X X X A y
donde A es una matriz arbitraria, k n , que es función de X y/o otras variables no
estocásticas, pero no es función de y. Para que β ^ sea insesgado, se han de cumplir
ciertas condiciones.
Teniendo en cuenta (3-52), tenemos que
1
n i i
x
1
n i i
y
^2
1
n i i
x B
^2
1
n i i
y E
1
n i i i
x y F
(Recuerde que 1 1 1 2 1 1
n n i i i i i n n i i i i
y x y x
x x x
^
a) Construya un estadístico para contrastar H 0 :^ 2 ^0 contra H 1 : 2 0
b) Contraste las hipótesis de la cuestión a) cuando EB 2 F^2. c) Contraste las hipótesis de la cuestión a) cuando EB F^2.
Ejercicio 4.4 Se ha formulado el siguiente modelo para explicar el gasto de alimentos ( alim ):
alim 1 2 renta 3 pralim u
donde renta es la renta disponible y pralim es el índice de precios relativos de los alimentos con respecto a los demás productos de consumo.
Tomando una muestra de observaciones correspondientes a 20 años sucesivos se obtienen los siguientes resultados:
(4.92) (0.01) (0.07) alimi = 1.40 + 0.126 rentai - 0.036 pralimi
R^2 =0.996; u ˆ t^2 0.
(Los números entre paréntesis son los errores estándar de los estimadores.) a ) Contraste la hipótesis nula de que el coeficiente de pralim es menor que
b ) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la propensión marginal al consumo de alimentos respecto a la renta. c ) Contraste la significatividad conjunta del modelo.
Ejercicio 4.5 Se han utilizado mínimos cuadrados ordinarios para estimar la siguiente función de demanda de alquiler de viviendas:
ln( galqi )= β 1 + β 2 ln( palqi )+ β 3 ln( rentai )+ εi
donde galq es el gasto en alquiler de viviendas, palq es el precio de alquiler, y renta es la renta disponible.
Utilizando una muestra de 403 observaciones, se obtienen los siguientes resultados:
ln( galqi ) 10 – 0.7ln palqi 0.9ln rentai
con R^2 = 0.39 y la matriz estimada de covarianzas
1.0 0 0 cov( )ˆ 0 0.09 0. 0 0.085 0.
^
β
a ) Interprete los coeficientes de ln( galq ) y ln( palq ). b ) Utilizando un nivel de significación del 0.01, contraste la hipótesis nula de que β 2 = β 3 =0. c ) Contraste la hipótesis nula de que β 2 =0, frente a la alternativa de que β 2 <0.
d ) Contraste la hipótesis nula de que β 3 =1 frente a la alternativa de que β 3 1. e ) Contraste la hipótesis nula de que un aumento en el precio de la vivienda y un aumento en la renta, en la misma proporción, no tienen ningún efecto sobre la demanda de viviendas.
Ejercicio 4.6 Utilizando una muestra de 30 empresas se han estimado los siguientes modelos correspondientes a las funciones del coste medio ( cm ):
(11.97) (3.70) 2
cm i canti
R SCR
(29.44) (33.81) (11.61) (1.22) 2
cm i canti canti canti
R SCR
donde cm es el coste medio y cant es la cantidad producida.
(Los números entre paréntesis son los errores estándar de los estimadores.) a) Contraste si los términos cuadrático y cúbico de la cantidad producida son significativos en la determinación el coste medio. b) Contraste la significación global del modelo 2.
Ejercicio 4.7 Utilizando una muestra de 35 observaciones, se han estimado los siguientes modelos para explicar el gasto en café
(0.01) (0.23)
ln( coffee ) = 21.32 + 0.11ln( inc ) - 1.33 ln( cprice ) +1.35ln( tprice ) (1)
R^2^ = 0 905. SCR = 254
(0.02) (0.21)
ln( coffee ) = 19.9 + 0.14 ln( inc ) - 1.42 ln( cprice ) (2) SCR = 529
donde inc es la renta disponible, cprice es el precio del café y tprice es el precio del té.
(Los números entre paréntesis son los errores estándar de los estimadores.) a) Contraste la significatividad global del modelo (1) b) El error estándar de ln( tprice ) no aparece en el modelo (1), ¿lo puede calcular? c) Contraste si el precio del té es estadísticamente significativo. d) ¿Cómo se contrastaría la hipótesis de que la elasticidad del precio del café es igual pero con signo opuesto al de la elasticidad del precio del té? Detalle el procedimiento.
Ejercicio 4.8 Ha sido formulado el siguiente modelo para analizar los determinantes de la calidad del aire ( airqual ) en 30 áreas SMSA (Standard Metropolitan Statistical Areas) de California:
airqual 1 2 popln 3 medincm 4 poverty 5 fueoil 6 valadd u
donde airqual es el peso en μg/m^3 de partículas en suspensión, popln es la población en miles, medincm es la renta media per cápita en dólares, poverty es el porcentaje de familias con una renta inferior al nivel de pobreza, fueloil son miles de barriles de
