problemas calculo II., Ejercicios de Cálculo

¡Descarga problemas calculo II. y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!

C´alculo Vectorial

Bolet´ın 2

C´alculo II y Ecuaciones Diferenciales

Grupo D

Curso 2019-

Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = 3x^2 + 8xy en el punto

(1, 0 , 3).

Soluci´on. z = 3x^2 + 8xy se puede parametrizar como

 



x = u y = v z = 3u^2 + 8uv

esto es, mediante

r : R^2 → R^3

(u, v ) ↪→ r (u, v ) = (u, v , 3 u^2 + 8uv ),

siendo r ∈ C 1 (R^2 ).

Como (1, 0 , 3) es un punto de la superficie, entonces debe ser igual a r (u 0 , v 0 ) para

alg´un punto (u 0 , v 0 ).

r (u 0 , v 0 ) = (1, 0 , 3) ⇒

u 0 = 1 v 0 = 0 3 u^20 + 8u 0 v 0 = 3

Para determinar el plano tangente calculamos

ru (u, v ) = (1, 0 , 6 u + 8v ), de donde ru (1, 0) = (1, 0 , 6) y

rv (u, v ) = (0, 1 , 8 u), de donde rv (1, 0) = (0, 1 , 8)

Hallar el ´area de la porci´on de esfera x^2 + y 2 + z^2 = 25 comprendida entre los planos

z = 2 y z = 4.

Al cortar la esfera con z = 2 y z = 4 obtenemos

x^2 + y 2 + 4 = 25 ⇔ x^2 + y 2 = 21

x^2 + y 2 + 16 = 25 ⇔ x^2 + y 2 = 9,

cuyas proyecciones sobre XY son las circunferencias de centro el origen y radios

21 y

3 respectivamente.

Llamamos R a la corona circular que determinan {(x, y ) : 9 ≤ x^2 + y 2 ≤ 21 } y

calculamos el ´area como sigue:

Trabajamos en impl´ıcitas F(x, y , z) = 0 y calculamos el elemento

de ´area como

dσ =

(Dx F)^2 + (Dy F)^2 + (Dz F)^2

|Dz F|

dxdy

En nuestro caso x

+ y

+ z

= 25 y

dσ =

(2x)^2 + (2y )^2 + (2z)^2

| 2 z|

dxdy =

x^2 + y 2 + z^2

|z|

dxdy =

|z|

dxdy =

25 − x^2 − y 2

dxdy

Finalmente usamos que

A(S) =

R

(Dx F)^2 + (Dy F)^2 + (Dz F)^2

|Dz F|

dxdy.

Se puede trabajar en param´etricas. Para ello pod´eis usar coordenadas cil´ındricas o

esf´ericas. Por ejemplo la superficie se parametriza como

r : [3,

21] × [0, 2 π] −→ R^3

(r , θ) ↪→ r(r , θ) = (r cos θ, r sin θ,

25 − r 2 )

o

r : [0, 2 π] × [arcsin

, arcsin

] −→ R^3

(θ, φ) ↪→ r(θ, φ) = (5 cos θ sin φ, 5 sin θ sin φ, 5 cos φ)

Calcular el ´area de porci´on de esfera x^2 + y 2 + z^2 = 4z interior al paraboloide

x^2 + y 2 = z

Soluci´on. La esfera dada es

x^2 + y 2 + z^2 − 4 z + 4 = 4 ⇔ x^2 + y 2 + (z − 2)^2 = 4,

es decir, es la esfera de centro (0, 0 , 2) y radio 2.

El corte con el paraboloide es z + z^2 = 4z, z^2 − 3 z = z(z − 3) = 0 ⇒ z = 0, 3.

Por lo tanto se trata de calcular el ´area de la porci´on de esfera que est´a por encima

del plano z = 3. La proyecci´on de dicha superficie sobre XY es el c´ırculo de radio

Por lo tanto el ´area es

A(S) =

S

dσ =

R

4 − x^2 − y 2

dxdy =

R∗

4 − r 2

rdrdθ =

∫ (^2) π

0

0

2 r √ 4 − r 2

drdθ =

2 π

0

2 r √ 4 − r 2

dr = 4π

0

r √ 4 − r 2

dr =

4 π

[

4 − r 2

]√ 3

0

= − 4 π

[√

4 − r 2

]√ 3

0

= − 4 π(1 − 2) = 4π.

Nota. Alternativamente se puede trabajar en param´etricas. Para ello pod´eis usar

coordenadas cil´ındricas o esf´ericas. Por ejemplo la superficie se parametriza como

r : [0,

3] × [0, 2 π] −→ R

3

(r , θ) ↪→ r(r , θ) = (r cos θ, r sin θ, 2 +

4 − r 2 )

Calcular el ´area de la superficie del paraboloide x^2 + y 2 = 2z interior al cilindro

x^2 + y 2 = 3

Soluci´on.

Al cortar el paraboloide con el cilindro obtenemos 2z = 3 ⇒ z = 32. La proyecci´on

sobre XY es el c´ırculo de centro el origen y radio

3 , (R).

Sabemos que

N =

∇F

‖ ∇F ‖

(2x, 2 y , −2) √ 4 x^2 + 4y 2 + 4

(x, y , −1) √ x^2 + y 2 + 1

Por lo tanto 〈N, k〉 =

√−^1

x^2 +y 2 +

y el elemento de ´area es

dσ =

dxdy

|〈N, k〉|

x^2 + y 2 + 1dxdy

Calcular el ´area de la porci´on de paraboloide z = x^2 + y 2 limitada por z = 1 y z = 3.

Soluci´on.

Cuando la superficie S est´a dada en forma expl´ıcita z = f (x, y ), con (x, y ) ∈ D,

entonces

dσ =

∂f

∂x

∂f

∂y

• 1 dxdy

y

A(S) =

D

∂f

∂x

∂f

∂y

• 1 dxdy.

En nuestro caso f (x, y ) = x^2 + y 2 y la proyecci´on de la superficie sobre el plano xy es

la corona circular D centrada en el origen y de radios 1 y

Como ∂ ∂fx = 2x y ∂ ∂fy = 2y entonces el ´area pedida es

A(S) =

D

4 x^2 + 4y 2 + 1dxdy =

D∗

4 r 2 + 1 rdrdθ =

1

∫ (^2) π

0

4 r 2 + 1 rdθdr = 2π

1

4 r 2 + 1 8rdr =

π

4

[

(4r 2 + 1)

3 2 3 2

]√ 3

1

π

6

[

(4r 2 + 1)

3 2

]√ 3

1

π

6

[

3 (^2) − 5

3 (^2) ]

En consecuencia se verifica que

rr × rθ = (−r cos θ, −r sin θ, r )

y

‖rr × rθ ‖ =

2 r.

Se obtiene entonces el ´area como:

A(S) =

∫ (^2) π

0

2

2 rdrdθ =

2 2π

[

r 2

2

] 3

2

2 5π