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problemas cinemática, movimiento relativo
Tipo: Ejercicios
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Describir el movimiento de una partícula sin considerar las causas que originan el movimiento
Variables: r, q
Vector posición:
ur y u q son los vectores unitarios de las coordenadas polares.
r
ur u q
q
r X
Posición en función del tiempo: r=r(t) q=q(t)
Relación entre las coordenadas cartesianas y polares
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛 𝜃
Importante: En coordenadas cartesianas las direcciones de i , j y k no dependen del punto, pero en las coordenadas polares las direcciones de u r y u q sí dependen del punto.
La trayectoria es la línea curva que describe la partícula en su movimiento. Se obtiene al unir mediante una línea los puntos del espacio por donde va pasando la partícula.
Variables: x,y,z Vector posición
Desde un punto de vista matemático la trayectoria puede expresarse:
𝑟
P(x,y,z)
x=x(h) y=y(h) z=z(h)
Ecuacioens paramétricas h Es un parámetro. Dando valores a h se obtienen los valores de las coordenadas (x,y,z) de los diferentes puntos de la trayectoria
Sih es el tiempo: x=x(t) y=y(t) z=z(t)
Ecuaciones paramétricas del movimiento
El vector posición es:
Sea una partícula moviéndose en el espacio, siendo su posición en un cierto instante P (x,y,z). La posición varía en el tiempo, luego x=x(t), y=y(t) y z=z(t).
Esta es la distancia desde el origen O hasta el punto P
P(x,y,z)
P 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )
𝑟^ P^2 (x^2 ,y^2 ,z^2 ) 12 𝑟(𝑡 1 ) = 𝑥(𝑡 1 )𝑖 + 𝑦(𝑡 1 )𝑗 +𝑧(𝑡 1 ) 𝑘; 𝑟 1 = 𝑥 1 𝑖 + 𝑦 1 𝑗 +𝑧 1 𝑘
𝑟(𝑡 2 ) = 𝑥(𝑡 2 )𝑖 + 𝑦(𝑡 2 )𝑗 +𝑧(𝑡 2 ) 𝑘; 𝑟 2 = 𝑥 2 𝑖 + 𝑦 2 𝑗 +𝑧 2 𝑘 El vector desplazamiento es: 𝑟 12 = 𝑟 2 − 𝑟 1 = (𝑥 2 − 𝑥 1 )𝑖 + (𝑦 2 − 𝑦 1 )𝑗 +(𝑧 2 − 𝑧 1 )𝑘
Es la distancia entre los puntos P 2 y P 1. No es la distancia recorrida por la partícula entre t 1 y t 2
La distancia recorrida por la partícula es la longitud de la curva desde P 1 hasta P 2 , S
P 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )
𝑟 12 P 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )
Con
Cuando Dt tiende a cero D r es tangente a la trayectoria y se verifica:
P, t
Q, t+Dt
Ds ∆𝑟′
Ds’
∆𝑟′′ Ds’’
Q’, t+Dt’
= lim ∆𝑠→
= 𝑢𝑡 Es un vector unitario que es tangente a la trayectoria
s representa la distancia recorrida por la partícula a lo largo de su trayectoria = la longitud de la trayectoria descrita por la partícula
Particle Kinematics Degree Industrial Technologies Engineering
Como y
La distancia recorrida por la partícula a lo largo de su trayectoria puede calcularse así:
A partir de aqui puede obtenerse s=s(t). A s(t) se le denomina ley horaria
2 2 2 V Vx Vy V z
ds Vdt Vx^2 Vy^2 Vz^2 dt
ds^ ^ V dt Vx Vy Vz dt
La magnitud de la aceleración es:
𝑎 = 𝑎𝑥^2 + 𝑎𝑦^2 +𝑎𝑧^2
Por que el módulo de la velocidad varía en el tiempo
Por que la direcció nde la velocidad varía en el tiempo
Tratemos de determinar la dirección del vector aceleración con respecto a la trayectoria
Luego, la aceleración es
Según esta expresión, la aceleración tiene dos componentes:
𝑎𝑡(𝑡) =
𝑎𝑛(𝑡) = 𝑉
Los tipos de movimiento pueden clasificarse en función de los valores de las componentes intrínsecas de la aceleración
If 𝑎𝑡 = 0
If 𝑎𝑡 =^ 𝑎 0 =^ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Movimiento rectilíneo uniformemente alecerado If 𝑎𝑡 =^ 𝑎(𝑡) Movimiento rectilíneo con aceleración variada
𝜌 = 𝜌 0 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑉 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡e
Movimiento circular Movimiento circular uniforme
If 𝑎𝑡 = 𝑎 0 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡e Movimiento circular uniformemente acelerado If 𝑎𝑡 = 𝑎(𝑡) Movimiento circular con aceleración variada
If 𝑎𝑡 =^0
𝜌 = 𝜌(𝑡)
𝑉 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (^) Movimiento curvilíneo uniforme
If (^) 𝑎𝑡 = 𝑎 0 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Movimiento curvilíneo uniformemente acelerado
If 𝑎𝑡 = 𝑎(𝑡) Movimiento curvilíneo con aceleración variada
Movimiento curvilíneo
La aceleración angular también es un vector:
Nota: la componente normal de la aceleración es siempre diferente de cero, pues la direccion de la velocidad varía en el tiempo
Vector aceleración:
Por tanto:
𝑑 𝑉 𝑑𝑡 𝑢𝑡^ +^
𝑉 2 𝜌 𝑢𝑛^ =^
𝑑 𝑉 𝑑𝑡 𝑢𝜃^ −^
𝑉 2 𝜌 𝑢𝑟
𝑢r
𝑢q
𝑎t
𝑎t
𝑎n^ 𝑎n
𝑢n 𝑎𝑛 =
at
an
El movimiento siempre se describe con respecto a un sistema de referencia. Consiste en un origen y un sistema de ejes perpendiculares. Ejemplos: Sistema de coordenadas cartesiano, sistema de doordenadas polares, sistema de coordenadas esférico
Estos sistemas de referencia están en reposo o se mueven con velocidad constante
Sistemas de referencia inerciales
OXYZ: Sistema de referencia fijo O’X’Y’Z’: Sistema de referencia móvil
Los movimientos descritos por O y O’ son diferentes
OXYZ: Sistema de referencia en reposo O’X’Y’Z’: se mueve con respecto a OXYZ con una velocidad constante V
Nota: Las leyes de Newton sólo pueden aplicarse con respecto a sistemas de referencia inerciales
