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ESTAD´ISTICA
2 o^ curso de Biolog´ıa Curso 2012-
ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA
- Estamos interesados en la variable X=“Tiempo de vida (en d´ıas)” de una especie de insectos.
a) En una muestra peque˜na de 11 insectos, los resultados muestrales fueron: 20, 25, 13, 18, 32, 25, 20, 15, 28, 40, 27 Hallar el tiempo medio de vida, el tiempo mediano de vida, y la desviaci´on t´ıpica. b) En una muestra grande, los resultados obtenidos se resumen de la siguiente forma:
Percentil 30 50 70 100 Tiempo de vida 18 22 26 30
Hallar el tiempo medio de vida (indicando previamente las clases, marcas de clase y frecuencias proporcionadas por la informaci´on muestral).
- Con el fin de controlar la contaminaci´on de un r´ıo, todas las semanas se hace una medici´on del nivel de ´acido ´urico. a) Las mediciones durante 9 semanas fueron: 13 10 7 5 12 7 9 5 5 Hallar el nivel medio de ´acido ´urico, el nivel mediano, y la desviaci´on t´ıpica. b) En un estudio m´as completo, las mediciones semanales de ´acido ´urico se resumieron de la siguiente forma:
Percentil 20 40 70 100 Nivel de ´acido ´urico 6 8 12 18
Hallar el nivel medio de ´acido ´urico y dibujar el histograma (indicando previamente las clases, marcas de clase y frecuencias proporcionadas por la informaci´on muestral).
- Se aplica un fertilizante en 150 parcelas repartidas por diferentes zonas, y se estudia la variable “Kg. de algod´on recogidos por parcela”. Se obtienen los siguientes resultados:
N´umero de Kg. recogidos Entre 40 y 80 Entre 80 y 100 Entre 100 y 120 Entre 120 y 160 N´umero de parcelas 35 30 45 40
(a) Hallar el n´umero medio de Kg. de algod´on recogidos por parcela. (b) Representar los datos en un histograma. (c) Calcular, aproximadamente, el valor de la mediana muestral.
- Una de las variedades de calabaza m´as utilizada para el consumo es la cucurbita maxima que puede alcanzar un peso de hasta 30 Kg. En una plantaci´on se recolectan una serie de ejemplares para llevar a cabo un estudio estad´ıstico, con los siguientes resultados: 40 calabazas tienen un peso entre 20 y 23 Kg. 80 calabazas tienen un peso entre 23 y 25 Kg. 35 calabazas tienen un peso entre 25 y 27 Kg. 45 calabazas tienen un peso entre 27 y 30 Kg. (a) Halla (aproximadamente) el peso medio de las calabazas recogidas y representa los datos en un histograma. (b) Halla (aproximadamente) la mediana del peso de los ejemplares recogidos.
- Se piensa que la frecuencia del canto de los grillos (en una hora) tiene una estrecha relaci´on con la temperatura. Para poder expresar la frecuencia del canto (Y ) en funci´on de la temperatura en grados Farenheit (X) se recogen cinco pares de datos que se resumen a continuaci´on: ∑ xi = 394
yi = 84
x^2 i = 31316
y^2 i = 1426
xiyi = 6672
(a) Obtener la recta de regresi´on para expresar la frecuencia del canto en funci´on de la temperatura. (b) Evaluar el ajuste. La asociaci´on entre X e Y , ¿es positiva o negativa?
- El peso de los animales salvajes es siempre m´as dif´ıcil de determinar que su altura. Para poder expresar (aproximadamente) el peso de los ˜n´ues azules (connochaetes taurinus) en funci´on de su altura, se apresan 10 ejemplares adultos, y se anota su altura en cm (X) y su peso en Kg (Y ). Los resultados se resumen a continuaci´on: ∑ xi = 1255
yi = 2275
x^2 i = 158325
y^2 i = 519875
xiyi = 286850
(a) Con los datos anteriores, halla la recta de regresi´on del peso (Y ) sobre la altura (X). (b) ¿Cu´al ser´ıa el peso aproximado de un ˜nu cuya altura es de 125 cm?
- Se quiere calibrar una nueva t´ecnica experimental indirecta para medir presiones en relaci´on con un m´etodo est´andar directo. Para esto, se han realizado 9 tomas de presi´on (en mm de Hg) por el m´etodo est´andar directo (X) y por la nueva t´ecnica experimental indirecta (Y ). Los resultados obtenidos se resumen a continuaci´on:
xi = 343
yi = 325
x^2 i = 17693
y^2 i = 16367
xiyi = 16992
a) Calcular la recta de regresi´on de Y sobre X. Para una presi´on de 55 mm de Hg, medida con el m´etodo est´andar, ¿qu´e presi´on cabr´ıa esperar con la nueva t´ecnica? b) ¿Qu´e podemos decir del ajuste de la recta de regresi´on a nuestros datos?
- (Ordenador) En 1778, H. Cavendish realiz´o una serie de 29 experimentos con objeto de medir la densidad de la tierra. Sus resultados, tomando como unidad la densidad del agua, fueron: 5’50 5’61 4’88 5’07 5’26 5’55 5’36 5’29 5’58 5’ 5’57 5’53 5’62 5’29 5’44 5’34 5’79 5’10 5’27 5’ 5’42 5’47 5’63 5’34 5’46 5’30 5’75 5’68 5’ a) Representa los datos por medio de un diagrama de tallos y hojas. b) Representa los datos por medio de un diagrama de caja y bigotes. c) Halla la media y la desviaci´on t´ıpica.
- (Ordenador) Para evaluar la viabilidad de un proyecto de reforestaci´on de una zona sometida a una fuerte actividad tur´ıstica, se analiza la composici´on en mg por cm^3 de desechos org´anicos del territorio. Los datos que se obtienen son:
10.87 9.01 22.50 12.35 17.39 31.05 17.19 16.74 20. 19.32 23.18 25.15 15.49 20.30 2.38 13.55 9.33 22. 10.96 25.90 27.66 9.74 18.65 9.31 24.60 17.41 24. 15.34 23.34 22.81 17.86 30.72 32.60 8.96 32.71 15. 16.71 5.48 8.25 20.57 4.57 2.30 32.56 7.92 4. 4.57 26.45 23.58 19.27 9.79 3.03 19.40 23.92 22. 22.05 21.18 18.85 8.38 15.01 18.12 4.24 3.39 7. 22.71 22.44 15.89 24.20 24.75 28.08 19.73 13.22 17. 5.53 11.42 5.58 3.15 14.06 5.83 19.42 21.13 18. 23.31 11.89 23.95 19.30 12.22 21.45 9.84 4.78 38. 12.65 13.89 23.82 16.91 28.09 15.73 12.53 16.52 9.
c) Describe la fuerza de la relaci´on. ¿Se puede predecir con precisi´on el n´umero de manat´ıes muertos cada a˜no conociendo el n´umero de licencias expedidas ese a˜no? Si Florida decidiera congelar el n´umero de licencias en 700.000, ¿cu´antos manat´ıes matar´ıan, aproximadamente, las lanchas motoras?
A˜no Licencias Manat´ıes A˜no Licencias Manat´ıes 1977 447 13 1984 559 34 1978 460 21 1985 585 33 1979 481 24 1986 614 33 1980 498 16 1987 645 39 1981 513 24 1988 675 43 1982 512 20 1989 711 50 1983 526 15 1990 719 47
- (Ordenador) Los corredores buenos dan m´as pasos por segundo a medida que aumentan la velocidad. He aqu´ı el promedio de pasos por segundo de un grupo de corredoras de ´elite a distintas velocidades. La velocidad se expresa en metros por segundo.
Velocidad (m/s) 4 , 83 5 , 14 5 , 33 5 , 67 6 , 08 6 , 42 6 , 74 Pasos por segundo 3 , 05 3 , 12 3 , 17 3 , 25 3 , 36 3 , 46 3 , 55
a) Se quiere predecir el n´umero de pasos por segundo a partir de la velocidad. En primer lugar, dibuja un diagrama de dispersi´on. b) Halla la recta de regresi´on del n´umero de pasos por segundo con relaci´on a la velocidad. c) Halla el coeficiente de correlaci´on lineal.
- (Ordenador) La tabla siguiente presenta tres conjuntos de datos preparados por el estad´ıstico Frank Anscombe para ilustrar los peligros de hacer c´alculos sin antes representar los datos. Los tres conjuntos de datos tienen la misma correlaci´on y la misma recta de regresi´on.
Conjunto de datos A:
X 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5
Y 8 , 04 6 , 95 7 , 58 8 , 81 8 , 33 9 , 96 7 , 24 4 , 26 10 , 84 4 , 82 5 , 68
Conjunto de datos B:
X 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5
Y 9 , 14 8 , 14 8 , 74 8 , 77 9 , 26 8 , 10 6 , 13 3 , 10 9 , 13 7 , 26 4 , 74
Conjunto de datos C:
X 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 19
Y 6 , 58 5 , 76 7 , 71 8 , 84 8 , 47 7 , 04 5 , 25 5 , 56 7 , 91 6 , 89 12 , 50
a) Calcular la correlaci´on y la recta de regresi´on para los tres conjuntos de datos y comprobar que son iguales. b) Dibujar un diagrama de dispersi´on para cada uno de los conjuntos de datos con las rectas de regresi´on correspondientes. c) ¿En cu´al de los tres casos utilizar´ıamos la recta de regresi´on para predecir Y dado X = 14. Conclusi´on: Representa siempre tus datos.
MODELOS DE PROBABILIDAD
- El “tiempo de vida activa (en d´ıas)” de un plaguicida, X, viene representado por la funci´on de densidad: f (x) =
500 e
− 500 x (^) si x > 0 0 en el resto
Calcular la mediana del tiempo de vida activa. ¿Cu´al es su significado?
- La variable aleatoria X=“Tiempo transcurrido (en horas) hasta el fallo de una pieza” tiene funci´on de densidad f (x) =
15000 e
− 15000 x (^) si x > 0 0 en el resto.
a) Calcular el tiempo medio transcurrido hasta el fallo. b) Calcular el porcentaje de piezas que duran entre 10000 y 15000 horas.
- Suponiendo que la probabilidad de que un ni˜no que nace sea var´on es 0,50, hallar la probabilidad de que una familia de 6 hijos tenga a) por lo menos una ni˜na, b) por lo menos un ni˜no, c) por lo menos dos ni˜nos y una ni˜na.
- Una compa˜n´ıa de seguros con 10000 asegurados halla que el 0,005% de la poblaci´on fallece cada a˜no de un cierto tipo de accidente. a) Hallar la probabilidad de que la compa˜n´ıa tenga que pagar a m´as de tres asegurados, por dicho accidente, en un a˜no determinado. b) ¿Cu´al es el n´umero medio de accidentes por a˜no?
- La probabilidad de que un individuo tenga una reacci´on al´ergica al inyectarle un suero es 0,001. Hallar la probabilidad de que en 2000 individuos tengan reacci´on al´ergica a) exactamente tres, b) m´as de 2.
- Se considera que la variable aleatoria “Kg. de algod´on recogidos por parcela” sigue una distribuci´on N (μ = 100; σ = 10). Hallar el porcentaje de parcelas en las que el n´umero de Kg. recogidos ser´a inferior a 115.
- La envergadura (en cm) del c´ondor de California en su edad adulta sigue una distribuci´on N (μ = 270 ; σ = 10). (a) ¿Cu´al es el porcentaje de ejemplares adultos con una envergadura superior a 280 cm? (b) En una muestra de 100 ejemplares adultos, ¿cu´al es la probabilidad de que haya m´as de 80 ejemplares con una envergadura superior a 280 cm? (c) En una muestra de 16 ejemplares adultos, ¿cu´al es la probabilidad de que la envergadura media sea superior a 280 cm?
- Un zo´ologo estudia una cierta especie de ratones de campo. Para ello captura ejemplares de una poblaci´on grande en la que la proporci´on de dicha especie es p. a) Si p = 0, 30, hallar la probabilidad de que en 6 ejemplares capturados haya al menos 2 de los que le interesan. b) Si p = 0, 03, calcular la probabilidad de que en 200 haya exactamente 3 de los que le interesan. c) Si p = 0, 40, calcular la probabilidad de que en 200 haya entre 75 y 110 de los que le interesan.
ESTIMACI ON PUNTUAL´
- Dada una muestra aleatoria de tama˜no n de una variable X, calcular el estimador de m´axima verosimilitud y el del m´etodo de los momentos, en los siguientes casos: a) X ∼ Bernoulli de par´ametro p. b) X ∼ Poisson (λ). c) X ∼ Exponencial (λ); es decir, fλ(x) = λe−λx, para x > 0 (λ > 0). d) X ∼ N (μ, σ).
- La proporci´on de genes da˜nados en un tejido celular tras una sesi´on de radiaci´on es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad f (x) = θxθ−^1 , para valores de x ∈ [0, 1], siendo θ > 0 un par´ametro desconocido que depende del tipo de tejido. (a) Dada una muestra aleatoria (X 1 ,... , Xn) de X, calc´ulese el estimador de θ por el m´etodo de los momentos. (b) Tras analizar una muestra de 3 tejidos celulares, se obtuvieron los valores 0, 10 , 0 , 15 y 0, 25. ¿Cu´al es el valor concreto de la estimaci´on de θ con estos datos?
- A pesar de que la mayor´ıa de las encuestas se llevan a cabo de forma an´onima, los encuestados pueden presentar reservas al contestar a ciertas preguntas comprometidas. En estos casos, se suele recurrir al m´etodo de respuesta aleatorizada. Por ejemplo, se dan las siguientes instrucciones para rellenar una encuesta sobre evasi´on fiscal:
Tire un dado. Si el resultado es 1 ´o 2, conteste A en el caso de que usted haya cometido voluntariamente irregularidades en su declaraci´on de la renta y B si no las ha cometido. Si el resultado es 3, 4, 5 ´o 6, conteste A si no ha cometido irregularidades y B si s´ı las ha cometido.
De 100 encuestados, 64 contestaron A. ¿Qu´e estimaci´on puede darse del porcentaje de contribuyentes que ha cometido irregularidades voluntariamente?
- Para estudiar la proporci´on p de caballos afectados por la peste equina se les va a someter a una prueba. Se sabe que la prueba resulta positiva si el animal est´a enfermo. Adem´as, si el animal est´a sano, hay una probabilidad 0.04 de que la prueba resulte positiva. a) Estudia la relaci´on entre la probabilidad p de que un caballo est´e enfermo y la probabilidad q de que la prueba resulte positiva. b) Si se realiz´o la prueba a 500 caballos y result´o positiva en 95 casos, ¿cu´al es el estimador de m´axima verosimilitud de q? A partir del resultado del apartado (a), calcula una estimaci´on de p.
- Un test para detectar si el agua presenta cierto tipo de contaminaci´on resulta positivo con prob- abilidad 0.99 si el agua est´a realmente contaminada (sensibilidad del test). Si el agua no est´a contaminada, resulta negativo con probabilidad 0.97 (especificidad del test). La sensibilidad y la especificidad se conocen debido a que se tiene mucha experiencia en el uso de la prueba. (a) ¿Qu´e relaci´on existe entre la probabilidad de que el test d´e positivo y la de que el agua est´e contaminada? (b) Se aplica el test a muestras de agua de 15 lagos y resulta positivo en 2 de las muestras. Utiliza la relaci´on del apartado (a) para estimar el porcentaje de lagos contaminados.
- En una gran piscifactor´ıa hay una proporci´on desconocida, p, de un tipo de truchas. Para obtener informaci´on sobre esa proporci´on vamos a ir sacando peces al azar. a) Si vamos sacando peces del agua al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que la primera trucha de ese tipo la obtengamos en la d´ecima extracci´on? b) Tres personas realizan, independientemente unas de otras, el proceso de sacar peces del agua al azar:
La primera persona obtiene la primera trucha de ese tipo en la d´ecima extracci´on. La segunda persona obtiene la primera trucha de ese tipo en la decimoquinta extracci´on. La tercera persona obtiene la primera trucha de ese tipo en la decimoctava extracci´on. Escribir la funci´on de verosimilitud y obtener la estimaci´on de m´axima verosimilitud de p.
- Unos laboratorios desarrollan una prueba sencilla para detectar la gripe del pollo. La prueba tiene una fiabilidad muy aceptable: proporciona un 4% de falsos positivos (prueba positiva cuando el pollo est´a sano) y un 0% de falsos negativos (prueba negativa cuando el pollo est´a enfermo). En una granja av´ıcola, se detecta un brote de gripe del pollo. Mediante la utilizaci´on de la prueba sencilla que se ha descrito anteriormente, se quiere estimar la incidencia de la enfermedad en esa granja. Para esto, se seleccionan al azar 100 pollos, se les efect´ua la prueba y se obtienen 20 casos positivos. Estimar la proporci´on de pollos enfermos en la granja, explicando todo el proceso seguido.
- Se desea estimar la proporci´on p de ´anades en la poblaci´on de un parque natural que presenta altos niveles de contaminaci´on por metales pesados. Para ello se realiza un sondeo preliminar con 50 ejemplares, de los cuales 9 resultaron tener altos niveles de contaminaci´on. a) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0.95, para p a partir de los resultados. b) ¿Qu´e tama˜no muestral deber´ıa utilizarse en un nuevo sondeo para estimar p con un error m´aximo del 2.5% y un nivel de confianza del 0.92?
- Una empresa de metalurgia est´a interesada en la temperatura media que alcanza cierta m´aquina utilizada en el proceso de fabricaci´on. Para su estimaci´on se obtienen 6 mediciones en grados cent´ıgrados: 41,60 41,84 42,34 41,95 41,86 42, Asumiendo Normalidad, se pide: a) Obtener el intervalo de confianza al 95% para la temperatura media, suponiendo que σ = 0, 30. b) Deducir el tama˜no muestral necesario para conseguir un intervalo de confianza al 95% con una longitud menor o igual que 0,1 grados. c) Obtener el intervalo de confianza al 95% para la temperatura media, suponiendo que desconoce- mos el valor de σ.
- Un estudio sobre cicatrizaci´on en tritones di´o los siguientes resultados (velocidad de cicatrizaci´on en μm/h) 25 13 44 45 57 42 50 36 35 38 43 31 26 48 Informaci´on resumida:
xi = 533
x^2 i = 22023 a) Asumiendo Normalidad, calcula un intervalo de confianza del 95% para la media de la velocidad de cicatrizaci´on. b) ¿Cu´antos tritones habr´ıa que muestrear para estimar la media con una confianza del 95% y un error inferior a 2 unidades. c) Representa los datos por medio de un diagrama de tallo y hojas y por medio de un diagrama de cajas. ¿Qu´e puedes decir sobre la hip´otesis de Normalidad?
- La envergadura (en cm) del c´ondor de California (X) en su edad adulta es modelizada con una distribuci´on Normal. En una muestra de 5 c´ondores adultos se obtiene que
xi = 1350 y
x^2 i =
(a) Obtener un intervalo de confianza para estimar la envergadura media de toda la poblaci´on, con una confianza del 90%. (b) ¿Cu´antos c´ondores ser´ıa necesario observar para poder estimar la envergadura media con la misma confianza y un error inferior a 5 cm?
- Se admite que el n´umero de microorganismos en una muestra de 1 mm c´ubico de agua de un r´ıo sigue una distribuci´on de Poisson de par´ametro λ. En 40 muestras se han detectado, en total, 833 microorganismos. Calcula un estimador puntual y un intervalo de confianza al 90% para λ.
- Nueve personas participan en el estudio de un producto que intenta reducir el apetito (clorofe- nilpiperacina). Cada uno de ello recibe este producto durante 2 semanas y placebo durante otras 2 semanas (naturalmente, el orden de los per´ıodos de 2 semanas es aleatorio y ellos no lo conocen). Al final de cada per´ıodo, se les pide que expresen su sensaci´on de hambre (en una escala del 0 al 150). Los resultados son los siguientes:
Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Despu´es del producto 79 48 52 15 61 107 77 54 5 Despu´es del placebo 78 54 142 25 101 99 94 107 64
(a) Hallar un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de las sensaciones medias de hambre con el producto y con placebo (asumir Normalidad). (b) Lo mismo, pero trabajando (equivocadamente) con las muestras como si fueran independientes (asumir Normalidad e igualdad de varianzas).
- En una poblaci´on se est´a estudiando la proporci´on p de individuos al´ergicos al polen de las acacias. En 200 individuos tomados al azar se observaron 8 al´ergicos. Calcula un intervalo de confianza para p con un nivel de confianza de 0.95. ¿Cu´antos individuos necesitar´ıamos observar para estimar esa proporci´on con un error inferior al 1%, al nivel de confianza 0.95?
- La producci´on de trigo (en Tm/Ha) por parcela en cierta regi´on sigue una distribuci´on Normal.
Se escogen 8 parcelas al azar y se obtienen las siguientes producciones:
11 , 04 11 , 13 9 , 04 10 , 60 11 , 26 8 , 78 9 , 51 10 , 78.
Indicaci´on:
xi = 82, 14,
x^2 i = 850, 3646. a) Hallar un intervalo de confianza del 99% para la media de la producci´on por parcela. b) ¿Cu´al debe ser el n´umero de parcelas observadas para estimar la media con un error menor que 0.3 y un nivel de confianza del 99%?
- Variedad normal 380 321 366 356 283 349 402 462 356 410 329 399 350 384 316 272 345 455 360 431
- Variedad mejorada 361 447 401 375 434 403 393 426 406 318 467 407 427 420 477 392 430 339 410 326
a) Asumiendo Normalidad e igualdad de varianzas, ¿se puede considerar que hay suficiente evidencia estad´ıstica para afirmar que la ganancia media de peso es mayor con la variedad mejorada? Dar una respuesta con un nivel de significaci´on 0,10. b) ¿Era razonable aceptar la hip´otesis de igualdad de varianzas? Dar una respuesta con un nivel de significaci´on 0,10.
- Se desea comparar la proporci´on de viviendas con calefacci´on en Extremadura y en Galicia. Se hace un muestreo en las dos comunidades con los siguientes resultados: Extremadura: De 500 viviendas elegidas al azar, 300 disponen de calefacci´on. Galicia: De 1000 viviendas elegidas al azar, 680 disponen de calefacci´on. ¿Hay suficiente evidencia estad´ıstica para concluir, con un nivel de significaci´on del 5%, que es menor la proporci´on de viviendas con calefacci´on en Extremadura que en Galicia?
- Se est´an estudiando dos colonias de ˜n´ues azules, una que vive en un parque de Tanzania, y otra que vive en un parque de Kenia. Parece que la altura en Tanzania es mayor que la altura en Kenia. Se estudia una muestra de 10 ˜n´ues en Tanzania, obteni´endose una altura media muestral de 130 cm con una cuasi-varianza muestral de 80, y otra muestra de 15 ˜n´ues en Kenia, obteni´endose una altura media muestral de 124 cm con una cuasi-varianza muestral de 75. Asumiendo Normalidad para las alturas en las dos colonias, se pide: (a) Con un nivel de significaci´on de 0.10, ¿podemos aceptar igualdad de varianzas de las alturas en las dos colonias? (b) ¿Disponemos de suficiente evidencia muestral para asegurar que la altura media en Tanzania es mayor que en Kenia (al nivel de significaci´on 0.10)?
- Se quiere comparar el tama˜no medio de dos especies de flamencos: el andino y el chileno.
Tenemos, por un lado, una muestra de 15 flamencos andinos. Su media muestral es de 108 cm y su cuasi-desviaci´on t´ıpica de 10. Por otro lado, tenemos un muestra de 15 flamencos chilenos con una media muestral de 115 cm y una cuasi-desviaci´on t´ıpica de 12. Asumiremos Normalidad en ambas especies. (a) Con un nivel de significaci´on del 10%, ¿podemos aceptar igualdad de varianzas en las dos especies? (b) Con un nivel de significaci´on del 10%, ¿tenemos suficiente evidencia estad´ıstica para concluir que los flamencos andinos son m´as peque˜nos que los chilenos?
- Nueve personas participan en el estudio de un producto que intenta reducir el apetito (clorofe- nilpiperacina). Cada uno de ello recibe este producto durante 2 semanas y placebo durante otras 2 semanas (naturalmente, el orden de los per´ıodos de 2 semanas es aleatorio y ellos no lo conocen). Al final de cada per´ıodo, se les pide que expresen su sensaci´on de hambre (en una escala del 0 al 150). Los resultados son los siguientes:
Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Despu´es del producto 79 48 52 15 61 107 77 54 5 Despu´es del placebo 78 54 142 25 101 99 94 107 64
(a) Asumiendo Normalidad, ¿podemos afirmar, al nivel de significaci´on del 5%, que la sensaci´on media de hambre con el producto es menor que con el placebo? (b) El p-valor, ¿es mayor o menor que 0,05?
- Con el objeto de estudiar la efectividad de un agente diur´etico, se eligieron al azar 11 pacientes, aplicando a 6 de ellos dicho f´armaco y un placebo a los restantes. La variable observada en esta experiencia fue la concentraci´on de sodio en la orina a las 24 horas, la cual dio los resultados siguientes:
Diur´etico 20.4 62.5 61.3 44.2 11.1 23. Placebo 1.2 6.9 38.7 20.4 17.
Se supone que las concentraciones de sodio, en ambos casos, tienen una distribuci´on N (μ 1 , σ) y N (μ 2 , σ) respectivamente. Contrasta, a un nivel de significaci´on del 5%, si existe diferencia en el efecto medio al usar el agente diur´etico.
- Se recomienda que una persona mayor de 50 a˜nos consuma 15 mg de zinc al d´ıa en su dieta. En un informe sobre los h´abitos alimentarios de una muestra de 100 individuos mayores de 50 a˜nos se se˜nala que ´estos consumieron una media de 11,3 mg de zinc diarios. La cuasidesviaci´on t´ıpica muestral correspondiente a estos datos fue de 6,43. Se supone que los datos siguen una distribuci´on normal. (a) ¿Permiten estos datos concluir (al nivel de significaci´on del 5%) que la ingesta media de zinc en la poblaci´on de esa edad es inferior a la recomendada? (b) Calcula un intervalo de confianza de nivel 95% para la varianza poblacional de la ingesta diaria de zinc.
- Se lleva a cabo un estudio morfom´etrico de cr´aneos de lobos de las Monta˜nas Rocosas y de lobos ´articos. Concretamente, medimos la anchura de la caja craneal de 16 lobos ´articos y de 9 lobos de las Rocosas, y los resultados muestrales (expresados en cent´ımetros) aparecen en la siguiente tabla:
N´umero de datos Media Cuasidesviaci´on t´ıpica Lobos ´articos 16 39,98 2, Lobos de las Rocosas 9 42,61 2,
Asumiendo Normalidad e igualdad de varianzas cuando sea necesario: (a) Calcula un intervalo de confianza para la media de la anchura de la caja craneal de los lobos de las Monta˜nas Rocosas (con nivel de confianza 0,95). (b) ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estad´ıstica (al nivel de significaci´on 0, 05) para concluir que los lobos de las Monta˜nas Rocosas tienen una mayor anchura craneal que los lobos ´articos, por t´ermino medio?
- Se est´an comparando los jabal´ıes de Soria con los de C´aceres. Los de Soria parecen un poco m´as grandes. Se estudia una muestra de 16 jabal´ıes de Soria, y da un peso medio muestral de 98 Kg y una cuasi-varianza muestral de 130. Tambi´en se estudia una muestra de 9 jabal´ıes de C´aceres, obteni´endose un peso medio muestral de 91 Kg y una cuasi-varianza muestral de 90. Asumimos normalidad para los pesos en las dos poblaciones de jabal´ıes. (a) Con un nivel de significaci´on de 0′10, ¿podemos aceptar igualdad de varianzas de los pesos en las dos poblaciones? (b) ¿Disponemos de suficiente evidencia muestral para asegurar (al nivel de significaci´on 0′10) que el peso medio en Soria es mayor que en C´aceres?
- Queremos comparar dos m´etodos r´apidos para estimar la concentraci´on de una hormona en una soluci´on. Tenemos 10 dosis preparadas en el laboratorio y vamos a medir la concentraci´on de cada una con los dos m´etodos. Se obtienen los siguientes resultados:
Dosis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M´etodo A 10. 7 11. 2 15. 3 14. 9 13. 9 15. 0 15. 6 15. 7 14. 3 10. 8 M´etodo B 11. 1 11. 4 15. 0 15. 1 14. 3 15. 4 15. 4 16. 0 14. 3 11. 2
BONDAD DE AJUSTE
- Despu´es de lanzar un dado 300 veces, se han obtenido las siguientes frecuencias:
Frecuencias 43 49 56 45 66 41
Al nivel de significaci´on 0,05, ¿se puede aceptar que el dado es regular?
- En 1778, H. Cavendish realiz´o una serie de 29 experimentos con objeto de medir la densidad de la tierra. Sus resultados, tomando como unidad la densidad del agua, fueron: 5’50 5’61 4’88 5’07 5’26 5’55 5’36 5’29 5’58 5’ 5’57 5’53 5’62 5’29 5’44 5’34 5’79 5’10 5’27 5’ 5’42 5’47 5’63 5’34 5’46 5’30 5’75 5’68 5’ Al nivel de significaci´on 0.05, ¿se puede aceptar que la densidad de la tierra se ajusta a una distribuci´on Normal?
- Nos dicen que un programa de ordenador genera observaciones de una distribuci´on N (0; 1). Como no estamos seguros de ello, obtenemos una muestra aleatoria de 450 observaciones, mediante dicho programa, obteni´endose los siguientes resultados: 30 observaciones menores que -2; 80 observaciones entre -2 y -1; 140 observaciones entre -1 y 0; 110 observaciones entre 0 y 1; 60 observaciones entre 1 y 2; 30 observaciones mayores que 2. ¿Se puede aceptar, al nivel α = 0, 01, que el programa funciona correctamente?
- Para estudiar el n´umero de ejemplares de cierta especie en peligro de extinci´on que viven en un bosque, se divide el mapa del bosque en nueve zonas y se cuenta el n´umero de ejemplares de cada zona. Se observa que 60 ejemplares viven en el bosque repartidos en las 9 zonas de la siguiente forma: 8 7 3 5 9 11 6 4 7 Mediante un contraste de hip´otesis, analiza si estos datos aportan evidencia emp´ırica de que los animales tienen tendencia a ocupar unas zonas del bosque m´as que otras.
- Se desea estudiar el n´umero de accidentes por d´ıa que se producen en cierto regimiento. Para ello se toman al azar los partes de 200 d´ıas dentro de los ´ultimos 5 a˜nos, encontrando los siguientes resultados: N´umero de accidentes/d´ıa 0 1 2 3 4 5 6 N´umero de d´ıas 58 75 44 18 3 1 1
a) ¿Se puede aceptar, con nivel de confianza del 90%, que el n´umero de accidentes por d´ıa sigue una distribuci´on de Poisson? a) Asumiendo que el n´umero de accidentes por d´ıa sigue una Poisson (λ), ¿hay suficiente evidencia estad´ıstica (tomar nivel de significaci´on α = 0′05) de que el verdadero valor medio λ del n´umero de accidentes por d´ıa es menor que 1,35? ¿El p−valor es mayor o es menor que 0,05?
- Se clasificaron 1000 individuos de una poblaci´on seg´un el sexo y seg´un fueran normales o dalt´onicos.
Masculino Femenino Normal 442 514 Dalt´onicos 38 6
Seg´un un modelo gen´etico, las probabilidades deber´ıan ser:
1 2 p^
1 2 p
(^2) + pq
1 2 q^
1 2 q
2
donde q = 1 − p = proporci´on de genes defectuosos en la poblaci´on. A partir de la muestra se ha estimado que q = 0, 087. ¿Concuerdan los datos con el modelo?
- Hemos desarrollado un modelo te´orico para las diferentes clases de una variedad de moscas. Este modelo nos dice que la mosca puede ser de tipo L con probabilidad p^2 , de tipo M con probabilidad q^2 y de tipo N con probabilidad 2pq (p + q = 1). Para confirmar el modelo experimentalmente tomamos una muestra de 100 moscas, obteniendo 10, 50 y 40, respectivamente. a) Hallar la estimaci´on de m´axima verosimilitud de p con los datos obtenidos. b) ¿Se ajustan los datos al modelo te´orico, al nivel de significaci´on 0’05?
- Un Ayuntamiento decide poner 4 contenedores para reciclar papel en una zona de la ciudad, con la idea de que sean utilizados por la misma cantidad de personas (aproximadamente). Para ver si esto es cierto, hace una encuesta en la zona a 300 personas, pregunt´andoles que contenedor utilizan. Los resultados obtenidos son los siguientes: El contenedor 1 es utilizado por 80 personas. El contenedor 2 es utilizado por 70 personas. El contenedor 3 es utilizado por 85 personas. El contenedor 4 es utilizado por 65 personas. a) Como consecuencia de estos resultados, ¿resulta aceptable que los 4 contenedores tienen el mismo nivel de utilizaci´on? Dar una respuesta razonada, con un nivel de significaci´on de 0.10. b) El p-valor del contraste anterior, ¿es inferior o superior a 0.10? Dar una respuesta razonada.
