problemas matematicas 3 con solucion, Ejercicios de Matemáticas

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MATEM ´ATICAS III

Problemas

Ecuaciones diferenciales de primer orden

1. Encontrar la ecuaci´on diferencial que satisfacen las siguientes familias de curvas:

a) y = C 1 e^2 x^ + C 2 e−^2 x, con C 1 , C 2 constantes arbitrarias b) x^2 − 2 Cx + 2y^2 = 0, con C constante arbitraria c) y = C 1 ex^ + C 2 xex, con C constante arbitraria

2. Hallar la ecuaci´on diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el origen y tienen su centro en la recta y = k, con k constante conocida.
3. Hallar las isoclinas relativas a las ecuaciones diferenciales:

a) y′^ =

x^2 + y^2

b) y′^ =

y x c) y′^ =

−x y

4. Aplicar el Teorema de existencia y unicidad a los siguientes PVI:

a)

y′^ = y y(0) = 3

b)

y′^ = x

y y(0) = 0

5. Se considera el PVI (^) { xy′^ = 2y y(−1) = 1

a) ¿Qu´e se deduce de la aplicaci´on a este problema del teorema de exis- tencia y unicidad? b) Comprueba que las funciones

y(x) =

x^2 si x ≤ 0 Cx^2 si x > 0

son soluciones del PVI. ¿Existe alguna contradicci´on con lo obtenido en el apartado anterior?

j ) (y − yx^2 )

dy dx

= (y + 1)^2

k )

dy dx

xy + 3x − y − 3 xy − 2 x + 4y − 8

l )

dy dx

= sin x(cos 2y − cos^2 y)

m) x

1 − y^2 dx = dy

n) (ex^ + e−x)

dy dx

= y^2

11. Resolver los problemas de valor inicial:

a) y′^ = y^2 − 4 , y(0) = − 2 b) sin x(e−y^ + 1) dx = (1 + cos x) dy, y(0) = 0 c) y dy = 4x

y^2 + 1 dx, y(0) = 1

d )

dx dy

= 4(x^2 + 1), x(π/4) = 1

e) x^2 y′^ = y − xy, y(−1) = − 1

12. Calcular la soluci´on de las siguientes ecuaciones diferenciales homog´eneas:

a) 2x^3 y dx + (x^4 + y^4 ) dy = 0 b) (x^3 + y^3 ) dx − 3 xy^2 dy = 0 c) x dx + (y − 2 x) dy = 0 d ) (y^2 + yx) dx − x^2 dy = 0

e)

dy dx

y − x y + x f ) −y dx + (x +

xy) dy = 0 g) 2x^2 y dx = (3x^3 + y^3 ) dy

h)

dy dx

y x

x y

i) y

dx dy

= x + 4ye−^2 x/y

j ) (y + x cot

y x

) dx − x dy = 0

k ) (x^2 + xy − y^2 ) dx + xy dy = 0

13. Resolver los problemas de valor inicial:

a) xy′^ = y + xey/x, y(1) = 1

b) xy^2

dy dx

= y^3 − x^3 , y(1) = 2

c) 2x^2

dy dx

= 3xy + y^2 , y(1) = − 2

d ) y^2 dx + (x^2 + xy + y^2 ) dy = 0, y(0) = 1

e) (x +

y^2 − xy)

dy dx

= y, y(1/2) = 1

14. Calcular la soluci´on de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

a) (cos x sin x − xy^2 ) dx + y(1 − x^2 ) dy = 0 b) xy′^ = 2xex^ − y + 6x^2

c)

x

• y

dx +

y

• x

dy = 0

d )

x^2 y^3 −

1 + 9x^2

dx dy

• x^3 y^2 = 0

e) (tan x − sin x sin y) dx + cos x cos y dy = 0

f ) (1 − 2 x^2 − 2 y)

dy dx

= 4x^3 + 4xy

g) (y^2 exy 2

• 4x^3 ) dx = (3y^2 − 2 xyexy 2 ) dy

15. Resolver los problemas de valor inicial:

a) (x + y)^2 dx + (2xy + x^2 − 1) dy = 0, y(1) = 1 b) (4y + 2x − 5) + (6y + 4x − 1)y′^ = 0, y(−1) = 2 c) (y^2 cos x − 3 x^2 y − 2 x) dx + (2y sin x − x^3 + ln y) dy = 0, y(0) = e

16. Se considera la ecuaci´on diferencial

(−xy sin x + 2y cos x) dx + 2x cos x dy = 0.

a) Comprueba que no es exacta. b) Comprueba que μ(x, y) = xy es un factor integrante. c) Resolver la ecuaci´on dada.

21. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (varios tipos):

a) x^2 y′^ + x(x + 2)y = ex b) (1 + 2y) dx + (4 − x^2 ) dy = 0

c)

dy dx

y x

ln

y x d ) (y cos x + 2xy) dx + (x^2 + sin x) dy = 0 e) (y^2 − x^2 ) dx + xy dy = 0 f ) (2y^2 + 3x) dx + 2xy dy = 0

22. Dada la ecuaci´on diferencial

(x^3 + xy^2 ) dx + (α x^2 y + β x y^2 ) dy = 0,

a) Calcula los valores de α y β para que dicha ecuaci´on diferencial sea exacta, y en este caso, determina la soluci´on o soluciones que satisfacen la condici´on y(−2) = 0. b) Explica razonadamente qu´e se deduce de la aplicaci´on del teorema de existencia y unicidad al PVI formado por la ecuaci´on diferencial con los valores de α y β calculados en el apartado anterior junto con la condici´on inicial y(−2) = 0. c) Razonadamente: ¿existe alguna contradicci´on entre el resultado obte- nido en el apartado a) y la explicaci´on que has dado en el apartado b)?

23. Encontrar las trayectorias ortogonales a las familias de curvas dadas:

a) y = Cx^2 b) Cx^2 + y^2 = 1 c) y = x/(1 + Cx) d ) 2x^2 + y^2 = 4Cx e) 4y + x^2 + 1 + Ce^2 y^ = 0

24. Sea u(x, y) = xy el potencial de velocidades de una corriente l´ıquida en el plano. Hallar la ecuaci´on diferencial de las l´ıneas de corriente. (Nota: Las l´ıneas de corriente son las trayectorias ortogonales de la familia de l´ıneas equipotenciales).
25. Encontrar el miembro de la familia de trayectorias ortogonales de x + y = Cey^ que pasa por el punto (0,5).

26. Dada la ecuaci´on diferencial y′(x) = −x + arctan(y), se pide:

a) Calcular las trayectorias ortogonales de las curvas isoclinas de la ecua- ci´on diferencial dada. b) Determinar la curva de la familia de trayectorias ortogonales calculada en el apartado anterior que satisface la condici´on inicial y(0) = 1. c) Explicar razonadamente si el Teorema de existencia y unicidad de so- luci´on permite asegurar que el PVI formado por la ecuaci´on diferencial de la familia de trayectorias ortogonales determinada en (a) junto con la condici´on inicial y(0) = 1, tiene soluci´on ´unica.

27. Un cultivo tiene inicialmente N 0 bacterias. Para t = 1 hora, el n´umero de bacterias medido es (3/2)N 0. Si la rapidez de multiplicaci´on es proporcional al n´umero de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario para que el n´umero de bacterias se triplique.
28. Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el is´otopo plutonio 239. Despu´es de 15 a˜nos se determina que el 0,043 % de la cantidad inicial A 0 de plutonio se ha desintegrado. Calcular la vida media de este is´otopo, es decir el tiempo necesario para que se reduzca a la mitad la cantidad inicial, si la rapidez de desintegraci´on es proporcional a la cantidad restante.
29. Una bater´ıa de 12V (volts) se conecta a un circuito simple en serie en el que la inductancia es 1/ 2 H (henrys), y la resistencia es de 10Ω (ohms). Calcular la corriente i si la intensidad inicial es cero.
30. Un estudiante portador de un virus de gripe va a un campus universitario aislado que tiene 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que el virus se propaga es proporcional, no s´olo al n´umero y de estudiantes contagiados, sino tambi´en al n´umero de alumnos no contagiados, calcular el n´umero de estudiantes contagiados al cabo de 6 d´ıas, si adem´as se observa que despu´es de 4 d´ıas, y(4) = 50.

j ) y′′^ + y =

cos x

k ) y′′^ − 2 y′^ + y =

ex 1 + x^2 l ) y′′^ + 2y′^ + y = e−x^ ln x m) 4y′′^ − 4 y′^ + y = 8e−x^ + x

5. Hallar la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea con coeficientes constan- tes del menor orden posible para que las siguientes funciones formen un conjunto fundamental de soluciones:

a) y 1 = ex, y 2 = xex, y 3 = e^2 x b) y 1 = 1, y 2 = e^3 x^ sin x, y 3 = e^3 x^ cos x

6. a) Determinar la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea con coeficientes constantes del menor orden posible para que y 1 (x) = x, y 2 (x) = x sin (3x) sean soluciones de ella. b) Determinar la ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea cuya ecuaci´on homog´enea asociada sea la obtenida en a), de forma que y(x) = 2x^3 sea una soluci´on particular suya.
7. Sabiendo que una ecuaci´on lineal no homog´enea con coeficientes constantes de segundo orden tiene las soluciones

y 1 (x) = −e−^2 x^ +

x, y 2 (x) =

x + 3e−^2 x^ − e−^3 x, y 3 (x) =

x,

calcula la soluci´on general de dicha ecuaci´on.

8. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on

xy′′^ − 2(x + 1)y′^ + (x + 2)y = x^3 e^2 x, x > 0 ,

sabiendo que la ecuaci´on homog´enea tiene una soluci´on de la forma y(x) = emx.

9. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on

x^2 (1 − x)y′′^ + 2x(2 − x)y′^ + 2(1 + x)y = x^2 , x > 1 ,

sabiendo que la ecuaci´on homog´enea tiene una soluci´on de la forma y(x) = xm.

10. Hallar la soluci´on general de las ecuaciones siguientes (x > 0):

a) x^2 y′′^ − 2 xy′^ − 4 y = 0 b) 4x^2 y′′^ + 8xy′^ + y = 0 c) x^2 y′′^ + 3xy′^ + 3y = 0 d ) x^2 y′′^ − 3 xy′^ + 3y = 2x^4 ex e) x^2 y′′^ − 2 y = x^3 ex f ) x^3 y′′′^ − 3 x^2 y′′^ + 6xy′^ − 6 y = x^4 ln x

11. Reducir a un sistema de primer orden en forma normal:

a) y′′′^ + 3y′′^ + 2y′^ − 5 y = sin 2t

b)

x′′^ − x′^ + 5x + 2y′′^ = et − 2 x + y′′^ + 2y = 3t^2

c)

2 x′′^ + 6x − 2 y = 0 y′′^ − 2 x + 2y = 40 sin 3t

12. a) Resuelve la siguiente ecuaci´on diferencial, con y = y(x):

y′′′^ − 2 y′′^ + y′^ − 2 y = sin x

b) Transforma la ecuaci´on dada en un sistema lineal de primer orden equivalente. c) Sin calcular valores y vectores propios, da la soluci´on del sistema obte- nido en el apartado anterior utilizando la soluci´on de la ecuaci´on dada hallada en a).

13. Dado el sistema diferencial lineal:

Y ′(t) =

Y (t)

a) Comprobar que

Y 1 (t) =

e−^2 t −e−^2 t

e Y 2 (t) =

3 e^6 t 5 e^6 t

son soluciones de ese sistema en t ∈ I = (−∞, +∞). b) Comprobar que son linealmente independientes en I. c) Hallar la soluci´on general del sistema en I.

b) Y ′^ =

 Y, Y (0) =

c) Y ′^ =

Y, Y (0) =

d ) Y ′^ =

 Y, Y (0) =

e) Y ′^ =

 Y, Y (0) =

17. Dado el sistema lineal no homog´eneo:

Y ′(t) =

Y (t) +

t 0

a) Comprobar que Φ(t) =

e^2 t^ te^2 t 0 e^2 t

es una matriz fundamental del sistema homog´eneo correspondiente. b) Utilizando el m´etodo de variaci´on de los par´ametros, encontrar la so- luci´on del sistema no homog´eneo que verifica Y (0) =

18. Utilizar el m´etodo de variaci´on de los par´ametros para resolver:

a) Y ′^ =

Y −

te−^2 t, Y (0) =

b) Y ′^ =

Y + et

csc t sec t

c) Y ′^ =

Y +

4 e^2 t 4 e^4 t

, Y (0) =

d ) Y ′^ =

 Y +

tet

 , Y (0) =

19. Sobre una superficie horizontal lisa se sujeta una masa de 2 kg a una su- perficie vertical por medio de un muelle cuya constante es de 4 N/m. Otra masa de 1 kg se conecta al primer objeto mediante un muelle con constante 2 N/m. Los objetos se alinean horizontalmente de modo que los muelles se quedan con sus longitudes naturales y adem´as a la segunda masa se le aplica

una fuerza externa F (t) = 37 cos (3t). Las funciones de desplazamiento x(t), y(t) de la primera y segunda masa, respectivamente, satisfacen el sistema:

{ 2 x′′(t) + 6x(t) − 2 y(t) = 0 y′′(t) + 2y(t) − 2 x(t) = 37 cos (3t)

a) Hallar la soluci´on general del sistema dado. b) Si ambas masas se desplazan 2 unidades a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se sueltan (x(0) = y(0) = 2, x′(0) = y′(0) = 0), hallar las funciones de desplazamiento x(t), y(t).

se considera el m´etodo Runge–Kutta: yn+1 = yn + h

9 g^1 +^

3 9 g^2 +^

4 9 g^3

, con

g 1 = f (tn, yn)

g 2 = f (tn +

h, yn +

h 2

g 1 )

g 3 = f (tn +

h, yn + (

− α)hg 2 + αhg 3 )

a) Escribir su tabla de coeficientes. b) Estudiar el orden del m´etodo seg´un los valores de α.

6. Se considera el m´etodo Runge–Kutta de 3 etapas dado por la tabla de coeficientes 0 0 0 0 1/2 a 21 0 0 1 a 31 a 32 0 b 1 b 2 b 3

a) Determina los coeficientes de m´etodo para que tenga orden 3. b) Calcula la aproximaci´on a la soluci´on del PVI { y′(t) = 2y, t > 0 , y(0) = 1,

que da el m´etodo obtenido en a) en el punto t = 0.1 con paso h = 0.1.

7. Para la resoluci´on del PVI { y′^ = f (t, y), t ∈ [t 0 , t 0 + T ], y(t 0 ) = y 0 ,

se consideran los siguientes m´etodos num´ericos:

yn+1 = yn + hf

tn +

h 2

, yn +

h 2

f (tn, yn)

, n = 0, 1 , 2 ,...

yn+1 = yn +

h 2

f (tn, yn) + f (tn+1, yn + hf (tn, yn))

, n = 0, 1 , 2 ,...

a) Comprobar que se trata de m´etodos Runge–Kutta, dar sus tablas de coeficientes y estudiar el orden de cada uno de ellos. b) Comprobar que ambos m´etodos dan las mismas aproximaciones al apli- carlos al PVI (^) { y′^ = −y + t + 1, t ∈ [0, 1], y(0) = 1.

c) Calcular la aproximaci´on a la soluci´on de este PVI que dan ambos m´etodos en el instante t = 0.2 con paso h = 0.1.

8. Considerar la tabla Runge–Kutta

0 0 1/4 1/ 2/3 α 2/3-α b 1 b 2 0 (orden 2) ˆb 1 ˆb 2 ˆb 3 (orden 3)

Hallar el valor de α y de los par´ametros bi, ˆbi de manera que se obtenga un par encajado de ´ordenes 2(3).

9. Construir los pares de m´etodos encajados de ´ordenes 1 y 2 que son de la forma

0 1 1 1 b 2 ˆb 1 ˆb 2

10. Se considera el par de m´etodos Runge–Kutta:

0 0 0 0 1 / 2 1 / 2 0 0 1 a 31 a 32 0 0 1 0 ̂ b 1 ̂b 2 ̂b 3

a) Calcula los par´ametros disponibles para que se trate de un par enca- jado de ´ordenes 2 y 3. b) Aplica el m´etodo de orden 3 obtenido anteriormente para calcular una aproximaci´on de la soluci´on del PVI { y′(t) = y(t), y(0) = 1,

en t = 0.1 con paso h = 0.1. c) Utiliza el par encajado que has obtenido para estimar el error local del m´etodo de orden 2 partiendo de t = 0 con paso h = 0.1. ¿Aceptar´ıas ese paso si la tolerancia de error impuesta fuese 10−^5 ?.

5. Aplica el m´etodo de separaci´on de variables para obtener soluciones que satisfagan la ecuaci´on dada y, en su caso, las condiciones indicadas:

a)

∂^2 u ∂x^2

∂u ∂y

b) x

∂u ∂x

= y

∂u ∂y

c) k

∂^2 u ∂x^2

− u =

∂u ∂t

, k > 0

d ) a^2

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂t^2

e)

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂y^2

f )

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂y^2

= u

g)

k

∂^2 u ∂x^2

∂u ∂t

, k > 0 ∂u ∂x

(0, t) = 0,

∂u ∂x

(5, t) = 0

h)

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂y^2

u(0, y) = 0 u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0

i)

k

∂^2 u ∂x^2

∂u ∂t

, k > 0 , 0 < x < L, t > 0

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0

u(x, 0) =

1 , si 0 < x < L/ 2 0 , si L/ 2 < x < L

j )

a^2

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂t^2

, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0

u(x, 0) =

x(L − x),

∂u ∂t

(x, 0) = 0, 0 < x < L

k )

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂y^2

= 0, 0 < x < a, 0 < y < b u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, 0 < y < b u(x, 0) = 0, u(x, b) = f (x), 0 < x < a

l )

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂t^2

, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0

u(x, 0) =

sin x −

sin 3x,

∂u ∂t

(x, 0) = 0, 0 < x < π

m)

∂^2 u ∂x^2

∂u ∂t

• 4u, 0 < x < π, t > 0

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = sin x − 4 sin 2x, 0 < x < π

n)

∂u ∂t

∂^2 u ∂x^2

∂u ∂x

, en Ω = {(x, t) | 0 < x < π, t > 0 }

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 ∂u ∂t

(x, 0) = xex, 0 < x < π

n ˜)

∂^2 u ∂x^2

∂^2 u ∂y^2

= 0, en Ω = {(x, t) | 0 < x < 1 , 0 < y < 1 } u(0, y) = 0, u(1, y) = 1 − y, 0 < y < 1 ∂u ∂y

(x, 0) =

∂u ∂y

(x, 1) = 0, 0 < x < 1

o)

∂^2 u ∂t^2

∂^2 u ∂x^2

∂u ∂x

, en Ω = {(x, t) | 0 < x < π, t > 0 }

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = 0,

∂u ∂t

(x, 0) = ex, 0 < x < π

p)

∂u ∂t

∂^2 u ∂x^2

, 0 < x < 2 , t > 0

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0, t > 0

u(x, 0) =

x, si 0 < x ≤ 1 2 − x, si 1 < x < 2

6. Encuentra la temperatura u(x, t) de una varilla de longitud 2 si la tempe- ratura inicial en toda la varilla es

f (x) =

x, si 0 < x < 1 0 , si 1 < x < 2

y si los extremos x = 0 y x = 2 est´an aislados.

7. Una varilla de 50 cm. de longitud se sumerge en vapor hasta que su tem- peratura es de 100o^ en toda su extensi´on. Sus dos extremos se colocan en