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Grado en Ingenieria de Tecnologias Industriales
Matem´aticas I - Problemas
- Capitulo 2 - Sucesiones y series num´ericas -
1 - Sucesiones num´ericas
- Demostrar, aplicando la definici´on, que
a) (^) nlim→∞ n^2 − 3 n^2 + 1 = 1 b) (^) nlim→∞ n^2 + 5n n^3 + 3n + 5
- Sean (xn), (yn) sucesiones de n´umeros reales estrictamente positivos.
a) Si (^) nlim→∞^ xn yn = 0 demostrar que se verifican las siguientes implicaciones:
(i) xn → ∞ =⇒ yn → ∞ (ii) (yn) acotada =⇒ xn → 0 b) Si (^) nlim→∞ xn yn = ∞ demostrar que se verifican las siguientes implicaciones:
(i) yn → ∞ =⇒ xn → ∞ (ii) (xn) acotada =⇒ yn → 0
c) Si (^) nlim→∞ xn yn^ =^ l^ ∈^ R^ \ {^0 }^ demostrar que:^ xn^ → ∞ ⇐⇒^ yn^ → ∞
- Calcular los l´ımites de las siguientes sucesiones recurrentes
a)
b) a 1 = 1, an+1 = 1 + an 2
c) a 1 = 10, a 2 = 1, an+2 = an+1 +
an
d) a 1 = − 210 , an+1 = an + n
- Se considera la sucesi´on a 1 = 3, an+1 = 3(1 +^ an) 3 + an . Demostrar que a^2 n ≥ 3 ∀n y que
nlim→∞ an^ =^
- Se considera la sucesi´on x 1 = 2, xn = 1 3 − xn− 1 , ∀n ≥ 2. Demostrar que es mon´otona y acotada. Calcular su l´ımite.
- Sean p y q las ra´ıces de la ecuaci´on x^2 − x − 1 = 0. Se define la sucesi´on
xn = pn^ − qn p − q
(i) Utilizando el m´etodo de inducci´on probar que x 1 = 1, x 2 = 1, xn = xn− 1 + xn− 2.
(ii) Encontrar la expresi´on del t´ermino general de la sucesi´on de Fibonacci:
{ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , · · ·}
- Demostrar que (^) nlim→∞^ n
nα^ = 1 para todo α ∈ R.
- Demostrar las siguientes reglas para c´alculo de l´ımites de sucesiones: Criterio de la media aritm´etica: si existe lim an, lim a 1 + a 2 + · · · + an n = lim an (Ayuda: criterio de Stolz)
Criterio de la media geom´etrica: si existe lim an y an > 0, lim n
a 1 · · · an = lim an (Ayuda: n
a = e
ln( na )) ) Criterio de la raiz n-´esima: si existe lim an+ an y an > 0, lim n
an = lim an+ an (Ayuda: an = a 1 a 2 a 1
a 3 a 2
an an− 1
- Utilizar los criterios anteriores para calcular los siguientes l´ımites:
(i) lim
n + 1
a +
a + 1 + 3
a + 2 + · · · + n
a + n − 1
, a ≥ − 1
(ii) lim
a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n) n!
) 1 /n , a > 0
- Calcular (^) nlim→∞
n^2 − 2 n + 1 n^2 + n − 2
) n n^32 −+1 1 .
- Calcular (^) nlim→∞
tan πn 2 n + 1
) (^1) n .
- Encontrar un polinomio de tercer grado P (n) tal que P (n) = 1 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2.
Calcular (^) nlim→∞ 1 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 n^3
- Obtener los l´ımites siguientes:
a) lim n→∞
√^1
n^2 + 1
√^1
n^2 + 2
√^1
n^2 + n
b) (^) nlim→∞
n^2 + 3n −
n^2 + 3
c) (^) nlim→∞
2 n^2 + 3 −
n^2 − n
d) (^) nlim→∞
n^2 sin
n n^2 +
(n + 1) cos
πn− 8 6 n− 1
e) (^) nlim→∞
sin
n^2 + 1
n^2 + 2
n^2 + n
f) lim n→∞
1 − cos 2 bn
sin( n
a − 1)
((n 0
(n 1
(n 2
(n n
n^3 + n^4 +
d)
∑^ ∞
n=
n − 1 n
)n e)
∑^ ∞
n=
arctan (^) n^1 n^2 + 3
f)
∑^ ∞
n=
an siendo an = 1 2 n^ si n par y an = 1 3 n^ si n impar.
g)
∑^ ∞
n=
n(log n)^2 h)
∑^ ∞
n=
n^2 + 1 − n
i)
∑^ ∞
n=
(log n)n
- Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las series:
a)
∑^ ∞
n=
(−1)n 2 n − 1
b)
∑^ ∞
n=
(−1)n n^2
c)
∑^ ∞
n=
(−1)n n log^2 n
d)
∑^ ∞
n=
(−1)nn^3 2 n
e)
∑^ ∞
n=
an siendo an =
n^2 si n par y an =
n si n impar.
f)
∑^ ∞
n=
(−1)n
(2n n
22 n
g)^2 1!
+^4
+^6
- Discutir el car´acter de las siguientes series:
(i)
∑ (^) n + 1 n − 1 a
n, a ∈ R
(ii)
∑ (^ n + a n + 1
)n^2 , a ≥ 0
(iii)
∑ (^) 1 + an 1 + n^2 , a ≥ 0
(iv)
(−1)n^ 1 + an 1 + n^2 ,^ a^ ≥^0
(v)
∑ (^ a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n) n!
) 1 /n , a > 0
- Si
an es convergente y an ≥ 0, ¿qu´e puede decirse acerca del car´acter de las siguientes series?
(i)
ln(1 + an) (ii)
exp(1 + an) (iii)
an (iv)
a^2 n
(v)
∑ (^) (−1)n 1 + a 1 + a 2 + · · · + an
- Calcular la suma de las siguientes series, cuando ello sea posible:
9.1.
n≥ 3
n^2 − 4
9.2.
n≥ 2
n + 1 n − 1 an, a ∈ R
n≥ 2
(n − 2)!n
9.4.
n≥ 0
a^2 n (2n)!
9.5.
n≥ 0
a^2 n+ (2n + 1)! ,^ a^ ∈^ R
9.6.
n≥ 1
n (2n + 1)!
9.7.
n≥ 3
3 n − 1 n^3 + 3n^2 + 2n
9.8.
n≥ 3
2 −^2 n n!
9.9.
n≥ 3
n + 2 2 n 9.10.
n≥ 3
n^2 an
n≥ 3
n(2n + 1)
9.12.
n≥ 3
an n(4n^2 − 1)
9.13.
n≥ 3
(−1)n+ n
9.14. −
n≥ 0
αn (1 − αn)(1 − αn+1)
- Sabiendo que
∑^ ∞
n=
n^2
π^2 6 y que
∑^ ∞
n=
n! = e obtener la suma de las siguientes
series
a) 1 22
+^1
(2(2n − 1)^2 )
b)
∑^ ∞
n=
n + 1 n!
