problemas resueltos automatica, Ejercicios de Ingeniería Industrial

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Automática:

Problemas resueltos

3ª Edición

Manuel de la Paz Moya

Natividad de la Paz Moya

Dpto. de Ingeniería de Sistemas y

Automática

Universidad de Málaga

C(s)

• -^ +

R(s) + G(s)

H(s)

K

N(s)

Automática: problemas resueltos

Automática: problemas

resueltos

Automática: problemas resueltos

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o método sin la autorización escrita de los autores.

© Manuel de la Paz Moya y Natividad de la Paz Moya I.S.B.N. 84-605-6982- Depósito Legal MA-1292-

A los profesionales, familiares y amigos que, desde el anonimato, luchan contra el cáncer.

M. de la Paz

Contenidos:

• Tema 1.- Nociones básicas de sistemas y señales.
• Tema 2.- Herramientas matemáticas.
• Tema 3.- Descripción externa.
• Tema 4.- Descripción interna.
• Tema 5.- Modelado matemático de sistemas dinámicos.
• Tema 6.- Acciones básicas de control.
• Tema 7.- Análisis de la respuesta transitoria.
• Tema 8.- Precisión.
• Tema 9.- Criterio de estabilidad de Routh.
• Tema 10.- Análisis por el método del lugar de las raíces.
• Tema 11.- Diagramas de Bode.
• Tema 12.- Criterio de estabilidad de Nyquist.
• Tema 13.- Técnicas de diseño y compensación.
• Bibliografía

Automática: problemas resueltos

Tema 1:

Nociones

básicas de

sistemas y

señales.

Automática: problemas resueltos

a) x(t − 2 ) b) x( 1 − t)

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

x(t-2)

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

x(1-t)

c) x( 2 t + 2 ) (^) d) x(2 − t 3

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

x(2t+2)

-4 -12 -6 0 6 12

0

1

2

3

4

t(s)

x(2-t/3)

e) [ x(t) + x(2 − t)]u(1 − t) f) h(t^ +^3 )

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

[x(t)+x(2-t)]u(1-t)

-4 -6 -4 -2 0 2

0

1

2

3

4

t(s)

h(t+3)

g) h( t 2

− 2) h)h(^1 −^2 t)

-4 -4 0 4 8 12

0

1

2

3

4

t(s)

h(t/2-2)

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

h(1-2t)

i) 4 h( t 4

) j) h( t 2

) δ (t + 1)

-4 -8 -4 0 4 8

0

1

2

3

4

t(s)

4h(t/4)

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

h(t/2) (^) δ(t+1)

k) x(t)h(t + 1 ) l) x(t)h(−t)

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

x(t)h(t+1)

-4 -4 -2 0 2 4

0

1

2

3

4

t(s)

x(t)h(-t)

m) x(t − 1 )h( 1 − t)

2.- Estudiar la invarianza en el tiempo de los sistemas de tiempo continuo definidos por las funciones:

a) y t( ) =sen( ( ))x t

b) y t d dt ( ) = ( ( ))x t

c) y t x d

t ( ) = ( ) −∞

∫^ τ^ τ

3

d) y t x d

t ( ) = ( ) −∞

∫^ τ^ τ

Solución:

Para demostrar que un sistema es invariante en el tiempo, debemos comprobar que si x 1 (t) tiene como salida y 1 (t) y x 2 (t)=x 1 (t-t 0 ) tiene como salida y 2 (t), entonces y 2 (t)=y 1 (t-t 0 ), es decir, un desplazamiento en el tiempo de la entrada provoca otro similar en la salida. a) y t( ) =sen( ( ))x t Sea x 1 (t) una entrada cualquiera al sistema cuya salida será y 1 ( )t =sen( x 1 ( ))t Sea x 2 (t)=x 1 (t-t 0 ) otra entrada cuya salida viene dada por y 2 ( )t = sen( x 2 ( ))t = sen( x 1 ( t −t 0 )) Por la definición de y 1 (t) sabemos que y 1 ( t − t 0 ) = sen( x 1 (t −t 0 ))

por lo que podemos afirmar que

y 1 (t − t 0 ) =y 2 ( )t

Automática: problemas resueltos

y concluir que el sistema definido por la función y t( ) = sen( ( ))x t es invariante en el tiempo.

b) y t d dt ( ) = ( ( ))x t Sea x 1 (t) una entrada cualquiera al sistema cuya salida será

y t d dt 1 ( )^ = (^ x^1 ( ))t Sea x 2 (t)=x 1 (t-t 0 ) otra entrada cuya salida viene dada por

y t

d dt x t

d dt 2 ( )^ =^ (^2 ( ))^ =^ (^ x^1 (^ t^ −t 0 ))

Por la definición de y 1 (t) sabemos que

y t t d dt 1 (^ −^0 )^ =^ (^ x^1 (t^ −t 0 ))

por lo que podemos afirmar que

y 1 (t − t 0 ) =y 2 ( )t

y concluir que el sistema definido por la función y t d dt ( ) = ( ( ))x t es

invariante en el tiempo.

c) y t x d

t ( ) = ( ) −∞

∫^ τ^ τ

3

Sea x 1 (t) una entrada cualquiera al sistema cuya salida será

y t x d

t 1 1

3 ( ) = ( ) −∞

∫^ τ^ τ

Sea x 2 (t)=x 1 (t-t 0 ) otra entrada cuya salida viene dada por

y t x d x t d

t t 2 2

3 1 0

3 ( ) = ( ) = ( − ) −∞ −∞ ∫ τ^ τ ∫ τ^ τ

donde realizamos el cambio de variable τ´= τ-t 0 quedando que

Automática: problemas resueltos

Tema 2:

Herramientas

matemáticas

De donde podemos comprobar que las condiciones de Cauchy- Riemanm se cumplen para todo el plano s, excepto en el punto s=-2+0j, que es el único del plano s donde G(s) no es analítica.

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4.- Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función:

f t

t t t t

cos cos ;

2 ω 3 ω 0

Solución:

Si aplicamos que: cos( A ± B) = cos A cos B msen A senB

donde:

A=3 ωt

B=2 ωt

obtenemos las dos expresiones siguientes:

cos( 5 ω t ) = cos 3 ω t cos 2 ω t −sen 3 ω t sen 2 ωt

cos( ωt ) = cos 3 ω t cos 2 ω t +sen 3 ω t sen 2 ωt

que sumadas miembro a miembro nos permiten obtener:

cos( 5 ω t ) + cos ωt = 2 cos 3 ω t cos 2 ωt

donde calculamos la transformada de Laplace en la forma siguiente:

L t t L t t s s

s s

(cos 3 cos 2 ) (cos cos )

ω ω ω ω

ω ω

^