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1. La tabla siguiente muestra la curva de demanda a la que se enfrenta un monopolista que produce con un coste marginal de 5€
Precio Cantidad 30 0 27 2 24 4 21 6 18 8 15 10 12 12 9 14 6 16 3 18 0 20
a) Calcule la curva de ingresos de la empresa.
Para encontrar la curva de ingreso marginal, primero buscaremos la curva inversa de demanda. El precio al que la curva inversa de demanda corta el eje vertical es 30. La pendiente de la curva inversa de demanda es el cambio en el precio dividido por el cambio en la cantidad. Por ejemplo, una reducción en el precio de 30 a 27 produce un incremento en la cantidad de 0 a 2. Por tanto, la pendiente es -3/2 y la curva de demanda es
P = 30 - 3/2X
La curva de ingreso marginal es una recta con el mismo punto de corte en el eje de ordenadas y con una pendiente que es el doble. Por tanto, la curva de ingreso marginal es,
IMa = 30 - 3X.
b)¿Cuál es el nivel de producción y el precio que maximizan los beneficios de la empresa? Cuales son los beneficios de la empresa?
El nivel de producción que maximiza los beneficios del monopolista se encuentra donde los ingresos marginales se igualan a los costes marginales. El coste marginal es constante e igual a 5€. Si igualamos IMa y CMa :
5 = 30 - 3X por tanto
X = 25/3 unidades.
Para encontrar el precio que maximiza los beneficios, sustituimos esta cantidad en la ecuación de la demanda:
P = 30 - (3/2) (25/3) = 17,5 €.
Los ingresos totales son el precio por la cantidad:
IT = (35/2) (25/3) = 145,83 €.
Los beneficios de la empresa vienen dados por el ingreso total menos el coste total, y el coste total equivale al coste medio multiplicado por el nivel de output producido. Teniendo en cuenta que el coste marginal se constante, el coste medio se igual al marginal y por tanto el coste total se 5X o 125/3, y los beneficios son
145.83 - 125/3 = 104,16 €
c) Cuales serian el precio y la cantidad de equilibrio en una industria competitiva?
Para a una industria competitiva, el precio se igual al coste marginal en el equilibrio. Igualamos el precio al coste marginal de 5 €:
30 - 3/2X = 5 y
X = 50/3 unidades.
2. Sea un monopolista con una función de demanda de P = 40 - X y una función de costes de CT = 0,08X^3 – 3,88X^2 + 65,92X.
a) Determine el beneficio máximo, el precio y la cantidad del monopolista.
Los ingresos totales serán:
IT = P X = (40 - X ) X = 40X - X^2
La función de beneficios es:
π = IT - CT = 40X - X^2 – 0,08X^3 + 3,88X^2 – 65,92X = -0,08X^3 + 2,88X^2 – 25,92X
Para maximizar beneficios hacemos (∂π/∂x) = 0 (IMa = CMa):
40-2X = 0,24X^2 – 7,76X + 65, 0.24X^2 - 5.76X + 25.92 = 0
y de aquí obtenemos dos soluciones posibles X = 18 ó X = 6.
Aplicando las condiciones de segundo grado, que exigen por el máximo de beneficios que la segunda derivada de π respecto X sea menor a 0, encontramos que la cantidad maximizadora de beneficios es X = 18. Para esta cantidad el precio resulta ser 22.
d) Suponga que la Administración impone al monopolista un impuesto de suma fija por valor de 4. Calcule la cantidad, el precio y el beneficio de equilibrio.
π = IT - (CT + T), siendo T el impuesto de suma fija.
π = (40X - X^2 ) - (0,08X^3 – 3,88X^2 + 65,92X + 4)
(∂ π / ∂ x) = 0 es la condición de primer orden. Dado que el impuesto es una constante cuando derivemos desaparecerá y encontraremos la solución inicial, es decir, X = 18, con el precio asociado, que es P = 22
Pero con la aplicación del impuesto, el monopolio pasa a tener pérdidas (a causa de la aplicación de un nuevo coste fijo). En definitiva, ahora π = -4.
e) Si la Administración establece un impuesto de 0,2 para cada unidad vendida, ¿cuáles serían ahora el precio, la cantidad y el beneficio del monopolista?
π = IT - (CT + tX), siendo t = 0.
π = 40X - X^2 - 0.08X^3 + 3.88X^2 - 65.92X - 0.2X
∂ π / ∂ X = 0 = 40 - 2X - 0.24X^2 + 7.76X - 65.92 - 0.
0.24X^2 - 5.76X + 26.12 = 0
Se obtienen dos soluciones para la X, X = 17.93 y X = 6.07. Aplicando la condición de segundo orden que exige que (∂^2 π/∂x^2 )< 0, tenemos que la solución adecuada es X = 17.93. El precio asociado a esta cantidad resulta ser P = 22.07.
Los ingresos totales son IT = 395.72. Los costes totales son de 399.3, distribuidos entre 395,72 correspondientes a los costes de producción estrictos y 3,586 (imputables al impuesto específico). Vemos, entonces, que el monopolista experimenta unas pérdidas de 3,586.
Por tanto, el establecimiento de un impuesto específico sobre unidad vendida, aumenta el precio y reduce los beneficios del monopolista.
3. Una empresa es monopolista en su mercado nacional, y su demanda viene dada por X = 20 - 10/3 Pn. Opera con una función de costes C = 0.45X^2
a) Determine la elección óptima de precio-cantidad por el monopolista maximizador de beneficios.
El precio que estan dispuestos a pagar los consumidores se obtiene de la función de demanda,
Pn = 6 - 0.3X
El IMa es: ∂IT / ∂X = 6 – 0,6X El CMa es: ∂dCT/∂X = 0,9X
La maximización de beneficios requiere IMa = CMa:
6 – 0,6X = 0,9X ⇒ X = 4
y sobre la curva de demanda le corresponde un precio de X = 4,8 (punto A).
Los beneficios del monopolista serían:
πm = 4,8 (4) – 0,45 (16) = 12
y el excedente del consumidor, EC = ((4 – 0) (6 – 4,8)) / 2 = 2,4.
b) Ahora el país se abre al comercio internacional. Se puede obtener cualquier cantidad del mismo producto que fabrica el antiguo monopolista al precio mundial Pw = 3. Analice los efectos que esta acción supondría.
Con una oferta mundial del producto perfectamente elástica en Pw = 3, ningún consumidor estará dispuesto a pagar el producto local a un precio superior. El monopolista tomará como un dato el precio mundial (actuará como precio aceptante), con P = CMa como “oferta doméstica”.
Al precio Pw = 3 la cantidad demanda es
X = 20 - (10/3) 3 =10 → Punto A ( vease grafico)
A este precio el productor nacional ofrece la cantidad que cumple
3 = 0,9X , es decir, Xs = 3,33 Æ Punto B
Las restantes unidades (10 – 3,33 = 6,66) se importarán (distancia entre A y B).
La empresa nacional ve reducidos sus beneficios a:
π = 3 (3,33) - 0.45 (3,33)^2 = 5, mientras que el EC pasa a valer 15.
En cuanto el contingente , p ara limitar a 5,4 unidades la cantidad importada
- la cantidad que se importaba con el arancel supuesto- podria imponerse alternativamente una cuota por esta cuantía. El monopolista retiene parte de su poder de mercado y su curva de demanda se vera reducida en esas 5,4 unidades. Gráficamente, la demanda del monopolista se ha desplazado a la izquierda en 5,4 unidades de producto: curva D’ = D – 5,4.Es decir, la nueva demanda D’sera
D’: X’ = Xn – 5,4 = 20 - 10/3 P – 5,4 = 14,6 - 10/3 P
o P’ = 4,38 – 0,3X’
Dada esa demanda, el monopolista aplica el criterio maximizador de beneficios:
IMa = CMa ⇒ 4,38 – 0,6X = 0,9X ⇒ Xm = 2,
Y la cantidad consumida será:
Xm + cuota = 2,92 + 5,4 = 8,32 unidades
y el precio en el mercado nacional, calculado sobre D’ será:
P’ = 4,38 – 0,3·2,92 = 3,5 € (punto E)
o calculado sobre D,
P = 6 – 0,3·8,32 = 3,5 €
corresponde al punto F del gráfico anterior. El monopolista obtiene unos beneficios de 6,38 y queda un EC = 10,
4. Un monopolio vende su producto en dos mercados diferentes e independientes. La curva de demanda de la empresa en el primer mercado es P 1 = 200 - 10X 1 , donde P 1 es el precio del producto y X 1 es la cantidad vendida en el primer mercado. La curva de demanda de la empresa en el segundo mercado es: P 2 = 100 - 5X 2 , donde P 2 es el precio de la producción y X 2 es la cantidad vendida.El coste marginal de la empresa es CMa = 5 + X, donde X es la producción total (destinada a
cualquier de los dos mercados).¿Cuántas unidades de output debería vender en cada mercado?
El ingreso marginal del primer mercado es 200 - 20X 1 y el ingreso marginal del segundo mercado es 100 - 10X 2. Los costes marginales son: 5
200 - 20X 1 = 5 + X 1 + X 2
100 - 10X 2 = 5 + X 1 + X 2
de donde: 195 - 21X 1 = X 2 95 - 11X 2 = X 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos que la empresa debería de vender
X 2 = 180/23 en el segundo mercado a un precio de 60,87 € X 1 = 205/23 unidades en el primero mercado a un precio de 110,87 €.
- Una empresa tiene dos plantas, la 1 y la 2, siendo los costes de producción de cada planta C 1 (X 1 ) = 20X 12 y C 2 (X 2 ) = 40X 22 respectivamente La empresa se enfrenta a una curva de demanda, P = 1400 - 10X, donde X es el total de output producido (X = X 1 + X 2 ). Calcule el nivel de producción que maximiza los beneficios de cada planta, el nivel de producción total y el precio.
La curva de ingreso marginal sera
IMa = 1400 - 20X
Siendo el coste marginal de la producción en las plantas 1 y 2, 40X 1 y 80X 2 ( las derivadas de las funciones de coste). Si escribimos la inversa de las ecuaciones del coste marginal y las sumamos horizontalmente, obtenemos el coste marginal total CMaT:
X (= X 1 + X 2 ) = CMa 1 /40 + CMa 2 /80 = 3 CMaT/
CMaT = 80X/
ΠA = 18xA – 0,06xA^2 – 0,04xBxA + p*xB
ΠB = 12,6xB – 0,02xAxB – 0,04xB^2 – p*xB
aplicando les condiciones de primer grado para la maximización de la empresa B respecto a xB, que es la variable que controla, tenemos
∂ΠB/∂xB = 12,6 – 0,02xA –0,08xB – p* = 0
xB = 157,5 – 0,25xA – 12,5p* (1)
que nos da la cantidad xB que maximiza el beneficio de B para diferentes valores de p* y xA
sustituimos esta expresión en la del beneficio de A
ΠA = 18xA – 0,06xA^2 – 0,04xA(157,5 – 0,25xA – 12,5p) + p(157,5 – 0,25xA – 12,5p*)
y de aquí obtenemos les condiciones de primer grado para el máximo ΠA
∂ΠA/∂xA = 18 – 0,12xA – 6,28 + 0,02xA + 0,5p* - 0,25p* = 0
∂ΠA/∂p* = 0,5xA + 157,5 – 0,25xA – 25p* = 0
y simplificando nos dan el sistema
11,72 – 0,1xA + 0,25p* = 0 157,5 + 0,25xA – 25p* = 0
cuya solucion es xA = 136,36 ; p* = 7,66 y por la ecuación (1)
xB = 27,
y dado que xA + xB = 164,02 < 500, la restricción de materia prima no es relevante
Con estos datos, sustituyendo en las funciones de demanda obtenemos
pA = 10,71 ; pB = 11,
y unos beneficios asociados de
ΠA = 10,71· 136,36 + 7,66 · 27,66 – 2 · 136,36 = 1.399,
ΠB = 11,16 · 27,66 – 2,4 · 27,66 = 242,
Si, por el contrario, A no vende materia prima a B, esta ultima por los supuesto de partida no producira nada. Los beneficios de la A seran
ΠA = 20xA – 0,06xA^2 –2xA
y la cantidad optima sera
∂ΠA/∂xA = 20 – 0,12xA – 2 = 0
y xA = 150
y, dada la función de demanda de A , el precio sera pA = 11, con un beneficio de ΠA = 1.350 inferior al obtenido antes. Por lo tanto la primera situación es la que interesa a la empresa A.
7. Hay un monopolio bilateral. El monopolista A, con una funcion de costes CA =2q^2 , vende a un monopsonista B un input que este transforma para producir un producto que vende en un mercado cuya funcion de demanda es q = 20000-pB, siendo q la cantidad vendida y pB el precio que fija la empresa B por su producto. 1 unidad de input permite obtener una unidad de producto y los costes de transformación de B – distintos de lo que tiene que pagar para adquirir el factor a A- son de CB= 8000q. Por ultimo, B , a su vez tiene poder de mercado respecto a los consumidores
a) Solucion de monopolio
Para obtener la solucion de monopolio el primer paso es conocer la curva de demanda que B hace a A por el input. El monopsonista siempre intentara maximizar beneficios siendo la demanda del factor una demanda derivada. Por tanto πB = (20000-q) q- pA q – 8000q ( notese que el precio pA es un parametro para B)
dπB / dq = 20000-2q- pA -8000=
y la curva de demanda sera
Notese que el precio pA esta indeterminado ya que lo que es un ingreso para A es un coste del mismo valor para B. Un precio pactado elevado beneficia a A pero perjudica a B. Lo contrario ocurriría si el precio es bajo. Sin embargo, la discrecionalidad para determinarlo no es ilimitada ya que hay unos limites entre los que puede oscilar esa horquilla de precios. Por un lado, A no aceptaría un precio pA lo suficientemente bajo como para que sus beneficios fuesen negativos. Por lo tanto el limite inferior viene
dado por πA =0, o lo que es lo mismo
pA = Cme pA = 2q = 4000
Algo similar acontece con B. El precio del afctor no puede ser tal elevado como para que los beneficios de esta sean negativos. En tal caso, preferiria abandonar la industria. Por lo tanto πB =0, o lo que es lo mismo pB = Cme ; PB = 8000 + pA Y como pB era 18000, pA =10000.
Por otra parte , la cantidad intercambiada es mayor que la que se habia encontrado en las soluciones de monopolio o monopsonio. La razon es que al ponerse de acuerdo para maximizar los beneficios conjuntos eliminaran el problema de la doble marginalización. Es decir, en la solucion de monopolio, pongamos por caso, este se rige por los valores marginales. Una vez obtenida la demanda dirigida al factor que vende, deducida a partir de la demanda de los consumidores al producto final al ser una demanda derivada, le interesa la curva de ingreso marginal para igualarla a su coste marginal. Esta solucion es optima para el pero restringe innecesariamente la cantidad desde la perspectiva de la otra empresa. Este efecto desaparece cuando se busca la maximización conjunta de beneficios.
Alternativamente , si se ponen de acuerdo lo logico es que pactasen una cantidad que fuera un optimo paretiano para ellas. La cantidad en la cual se han acabado las mejoras paretianas es la correspondiente a la que se produciria si el mercado fuese competitivo. Si existiese ese mercado las empresas igualarian el coste marginal al precio y la cantidad resultante seria la optima.
Con los datos del problema, la demanda derivada del factor es pA = 12000 -2q ( quizas le sea mas facil interpretarla como el precio maximo que B estaría dispuesta a pagar por una unidad dado lo que obtiene con el producto que
vende a los consumidores una vez deducido lo que tiene que pagar por los demas factores distintos al que le vende A) y el coste marginal de A es 4q Igualando el precio al coste marginal , se deduce inmediatamente que q= Por ultimo podra comprobar fácilmente que esta solucion de maximización conjunta de beneficios implica unos beneficios globales que tendran que repartirse entre A y B de 12.000.000.
d) Franquicias
Alternativamente se podria conseguir la maximización conjunta de beneficios por medio de determinadas restricciones verticales. Una de las mas conocidas en el campo de la distribución es la franquicia. Con esta modalidad, un manufacturero (franquiciador) concede al franquiciado el derecho a vender su producto a cambio de pagarle un canon T. ( T = F+vq, donde F de cuantia fija – se puede interpretar como el pago que ha de efectuarse por el derecho a comprar a un precio v- y v el precio que debe pagar por unidad comprada al franquiciador) Se esta en el contexto del monopolio bilateral y se concede al franquiciado poder de mercado en relacion a los consumidores dandoles territorios en exclusiva en donde solo el puede vender el producto en cuestion. El primer problema es conseguir que la cantidad objeto del intercambio sea la correspondiente al de la maximización conjunta de beneficios, lo cual exige que v sea igual al coste marginal de A. El segundo problema es determinar la cuantia de F que nos indicara como se reparten los beneficios entre el franquiciador y el franquiciado. Por ultimo, siempre B intentara maximizar sus beneficios sea cualk sea T. Con los datos del problema, y sabiendo que el coste marginal de A es 4q
πB = (20000-q)q-F-vq-8000q
πB /dq =20000-2q-v-8000= 12000-6q =o
q=
En el caso extremo de que A quisiera quedarse con la totalidad de
beneficios propios de la maximización conjunta , pondría una F = πB+A En otras palabras, la F maxima seria la que corresponderia a πB = πB = (20000 – 2000-v-8000) q – F =(20000 – 2000- 8000-8000) 2000 – F= 0 y F= 4.000.
a) Cuando hay libertad
πd =(p-m)(a-bQ) = (p-m) ( a-p)/b dπd / dp = a/b – 2p/b +m/b = o
p= (a+m)/2 Q= (a-m)/2b
Los beneficios del manufacturero seran πm =(m-c) (a-m)/2b
Y la m que maximiza sus beneficios dπm / dm = a/2b- m/b+ c/2b =
m= (a+c)/
con un precio del producto p=(3a+c)/4 y unos beneficios para el manufacturero igual a πm =(a-c)^2 /8b
b) el manufacturero puede determinar p y m
Fijaria un p = m para hacer que los beneficios extraordinarios del distribuidor fuesen nulos. Es decir, πm =(p-c) Q = ( p-c) ( a-p)/b
dπm / dp = 0
y resolviendolo se obtendria p= (a+c)/2 ; con unos beneficios de πm =(a-c)^2 /4b claramente superiores.
- La demanda de mercado de un producto es Q= (1000-p) (ns)1/ Siendo n el numero de distribuidores y s el nivel de servicios que cada distribuidor proporciona. El precio fijado por el mayorista por el producto que vende es 3, cada unidad de servicio cuesta 0,5 y los distribuidores no tienen ningun otro coste. Hay libre entrada en el mercado y todos toman el precio del mercado como dado. En tal caso, ¿ que nivel de s se escogeria ante cualquier precio del mercado? ¿ cuales son los beneficios resultantes? ¿ Que ocurriria a los servicios prestados si p se forma en un mercado competitivo?
Cada distribuidor venderia
Q= Q/n = (1000-p) (s/n) 1/
Y los beneficios πd =(p-3) (1000-p) (s/n) 1/2^ - 0,5s
dπd / ds = ((p-3) (1000-p)/ n 1/2^ ) ( s -1/2^ /2) – 0,5s =
s -1/2^ = n ½^ / (p-3)(1000-p)
y los servicios que se decidirian ofertar ante cada precio del mercado serian s= ((p-3)(1000-p))^2 /n
Los beneficios que obtendría cada uno seria, sustituyendo el s encontrado en la funcion de beneficios πd == (p-3) (1000-p) ((p-3) (1000-p) n -1/2/ n 1/2^ )- 0,5((p-3)(1000-p))^2 /n = ((p-3) (1000-p))^2 /2n
La entrada ocurrira mientras ese beneficio sea positivo. Por lo tanto, el precio en el mercado tiene que ser igual a 3 y, dado ese precio volviendo a la ecuación que detrmian el nivel de servicios se evidencia que s=0.
Ese resultado es de esperar. La provision de servicios es valiosa como se evidencia a partir de la ecuación de demanda de mercado en donde un aumento de s va acompañado por un aumento en la cantidad vendida. Sin embargo, proporcionar tales servicios es costoso. Si cualquiera puede vender el producto nos encontramos con un dilema del prisionero. La racionalidad individual dicta que se gana mas si no se proporcionan los servicios siempre que los demas los hagan : me aprovecho de los esfuerzos de los demas y me ahorro los costes involucrados. Como esa logica esta abierta a todos , el resultado final es que nadie los proporcionaría. Por ello, y para asegurar que esta solucion indeseable no se de, el mayorista, normalmente, concede ventas en exclusiva para el distribuidor que los proporcione impidiendo de este modo que nadie se aproveche de sus esfuerzos y que el resultado de los mismos recaiga integramente en quien los proporciona.
- En un mercado competitivo al demanda de tulipanes es Q = 100.000-1000p. Para producir un tulipan se necesitan dos bulbos (B) y 1 minuto de trabajo siendo el salario de 20 unidades monetarias por minuto. Todos los bulbos se producen por un monopolista a un coste marginal constante de 10. ¿ Que precio m escogeria para cada bulbo? ¿
P = 20 – 0,05 (x 1 + x 2 )
En primer lugar, supongamos que no hay restricción de capacidad. La cantidad que maximiza los beneficios de la primera empresa sera
IT 1 = P × X 1 = [10 – 0,05(X 1 + X 2 )] × X 1 = 10 – 0, 05X 1 X 2 – 0,05X 12
IMa 1 = 10 – 0,1X 1 – 0,05X 2
CMa 1 = IMa 1
10 – 0,1X 1 – 0,05X 2 = 3
X 1 = 70 – 0,5X 2
Y simétricamente para a la segunda empresa:
IT 2 = P × X 2 = [10 – 0,05(X 1 + X 2 )] × X 2 = 10 – 0, 05X 1 X 2 – 0,05X 22
Ima 2 = 10 – 0,1X 2 – 0,05X 1
CMa 2 = Ima 2
10 – 0,1X 2 – 0,05X 1 = 2
X 2 = 80 – 0,5X 1
Del sistema de ecuaciones obtenido resolvemos:
X 1 = 40 y X 2 = 60
X = X 1 + X 2 = 40 + 60 = 100
Sustituyendo las cantidades en la función de demanda encontramos el precio:
P = 100 – 0,5·(100) = 15
Obviamente, esta solucion implica que la empresa 2 produciria por encima de su capacidad que determina que solo puede producir como máximo 10 unidades. Al ser la restricción operativa,
X 2 = 10
Y sustituyendo en la función de reacción de la primera empresa
X 1 = 70 – 0,5X 2 = 70 – 0,5·10 = 65
y la producción de la industria sera :
X = X 1 + X 2 = 65 + 10 = 75
Vendiendose a un precio
P = 20 – 0,05·75 = 16,
12. Dos duopolistas producen un producto homogéneo cuya demanda de mercado viene dada por: P = 10 – 0,5X. Ambas empresas operan con la misma función de costes: Ci = 4Xi.
a) Determine la solución de Cournot y comparela con la de monopolio y la competitiva.
La demanda del mercado puede escribirse,
P = 10 – 0,5 (x 1 + x 2 )
Por tanto, los beneficios de la empresa 1 serán:
π 1 = (10 – 0,5x 1 – 0,5x 2 ) x 1 - 4x 1
El supuesto de Cournot implica escoger x 1 , para maximizar π 1 , suponiendo x 2 fija: concretamente supone que ∂x 2 / ∂x 1 = 0. Teniendo en cuenta esto,
∂π 1 / ∂x 1 = 10 - x 1 – 0,5x 2 - 4 = 0
x 1 = 6 – 0,5x 2
