Problemas de Matem´aticas Biolog´ıa 2007/2008 Hoja 6
1. Hallar la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:
(a) y0= 2 −y(b) y0= 3 + t(c) y0= 2y(t+ 1) (d) yy0+ (1 + y2)sen t= 0
(e) y0= 2t+y(f) e−y(1 + y0) = 1 (g) y0
−2ty =t(h) y0
−5y=−
5
2t
En cada caso hallar, si existe, la soluci´on que verifica y(1) = 1.
2. En 1990 se arro jaron a un lago 1000 ejemplares de una especie de peces. En 1997 se calcul´o
que la cantidad de peces de esta especie que hab´ıa era de 3000. Suponiendo que la tasa de
crecimiento es constante, calcular la cantidad de peces en 2000 y 2010.
3. Si el n´umero de bacterias contenida en 1 litro de leche se duplica en 4 horas, suponiendo que la
tasa de multiplicaci´on es constante, calcular en cuanto tiempo se har´a 25 veces mayor.
4. La ley de enfriamiento de Newton afirma que el ritmo de cambio de la temperatura de un objeto
es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del aire que lo rodea. Si una habitaci´on
se mantiene a temperatura constante de 70oF y un objeto que estaba a 350oF pasa a 150oF
en 45 minutos, ¿qu´e tiempo se necesita para que el objeto adquiera una temperatura de 80oF?
5. El comisario Maigret, mientras pasea por una calle a 20oC, encuentra un cad´aver cuya tempe-
ratura es de 35oC. Si al cabo de una hora su temperatura ha descendido a 34oC, y suponiendo
que en el momento de la muerte la temperatura del cuerpo era de 37oC, ¿a qu´e hora se produjo
el crimen, sabiendo que la temperatura del cuerpo sigue la ley de enfriamiento de Newton?
6. La semivida de una sustancia radiactiva se define como el tiempo necesario para que se desintegre
la mitad de una cantidad inicial de esa sustancia. Determinar la semivida del uranio 238 sabiendo
que la desintegraci´on es proporcional a la cantidad restante y que despu´es de 15 a˜nos se ha
desintegrado el 0’0043% de la cantidad inicial.
7. Un modelo de crecimiento restringuido de una poblaci´on es el modelo de Von Bentalanffy que
asegura que la longitud de un pez de edad tsigue la ley
L0= 2(34 −L).
Sabiendo que L(0) = 2, calcular la soluci´on general.
8. Resolver las siguientes ecuaciones log´ısticas:
(a)(y0=y−y2
y(0) = 2 (b)(y0= 2y−y2
y(0) = 1 (c)(y0=y−3y2
y(0) = 2 (d)(y0= 3y−2y2
y(0) = 1
9. Un dep´osito contiene 100 litros de una disoluci´on salina cuya concentraci´on es de 2.5 gramos
de sal por litro. Una disoluci´on conteniendo 2 gramos de sal por litro entra en el dep´osito a
raz´on de 5 litros por minuto y la mezcla (que se hace uniformemente) sale a la misma velocidad.
Encontrar la cantidad de sal que hay en cada instante en el dep´osito.
10. La corriente sangu´ınea lleva un medicamento hacia el interior de un ´organo a raz´on de 3 cm3/sg
y sale de ´el a la misma velocidad. El ´organo tiene un volumen de l´ıquido de 125 cm3.Si la
concentraci´on del medicamento en la sangre que entra en el ´organo es de 0.2 gr/cm3, se pide:
(a) ¿Cu´al es la concentraci´on del medicamento en el ´organo en cada instante si inicialmente no
hab´ıa vestigio alguno del medicamento?
(b) ¿Cu´ando la concentraci´on del medicamento en el ´organo ser´a de 0.1 gr/cm3?
