¡Descarga Problemes 08/09 y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Cap´ıtol 1
Preliminars (Continuaci´o)
Inducci´o
- Provau les igualtats seg¨uents:
a) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1) per a tot n ≥ 1.
b) 1^2 + 3^2 + · · · + (2n − 1)^2 = n(2n+1)(2 3 n−1)per a tot n ≥ 1.
c) 1 + 2 + 2^2 + · · · + 2n^ = 2n+1^ − 1 per a tot n ≥ 1.
d) 1 + 2n^ < 3 n^ per a tot n ≥ 2.
e)
∑n i=1 i
(^2) = n(n+1)(2n+1) 6 per a tot^ n^ ≥^1.
Trobau el menor enter positiu n 0 tal que 2n^0 > n^20. Demostrau que 2n^ > n^2 per a tot n ≥ n 0.
Sigui la successi´o definida per
p 0 = 3; p 1 = 7 i pn = 3pn− 1 − 2 pn− 2 , n ≥ 2.
Demostrau que pn = 2n+2^ − 1 per a n ≥ 0.
- Provau que tot enter n ≥ 14 es pot escriure com una suma de tresos i vuits.
a) Enunciau el principi d’inducci´o.
b) Utilitzau el principi d’inducci´o per demostrar la igualtat ∑^ n
i=
i 2 i^
n + 2 2 n
3. Introducci´o a la combinat`oria
Principi de l’addici´o. Principi d’inclusi´o-exclusi´o
a) Verificau el principi d’inclusi´o–exclusi´o si tenim els conjunts A = {a, b, c, d, e} i B = {c, e, f, h, k, m}
b) El mateix si consideram els conjunts seg¨uents A = {b, d, e, g, h, k, m, n}, B = {a, b, e, g, h} i C = {a, b, c, d, e}
Una empresa ha de contractar 25 persones per realitzar treballs de programaci´o de sistemes i 40 per realitzar programes d’aplicaci´o. Quants de programadors s’han de contractar si s’espera que deu de les persones contractades puguin realitzar ambd´os treballs?
Una empresa municipal ha fet un estudi sobre els metodes de viatge amb transbord, que utilitzen els habitants de l’area metropolitana. Cada participant enquestat havia de marcar el mitja principal de transport que emprava: autob´us, tren o cotxe (podia donar m´es d’una resposta).
L’enquesta ha donat els seg¨uents resultats: autob´us, 30 persones; tren, 35; cotxe, 100; autob´us i tren, 15; autob´us i cotxe, 15; tren i cotxe, 20, i els tres mitjans, cinc.
Quantes persones varen emplenar l’enquesta?
- Quants de nombres hi ha entre 1000 i 10000 que no siguin divisibles per 3 ni per 5?
Principi de la multiplicaci´o
Quants d’etiquetes es poden formar amb una de les 26 lletres de l’alfabet i un d´ıgit (per exemple A0, H6, X2,...)?
Escriviu una demostraci´o per inducci´o del principi de la multiplicaci´o per a n conjunts: |A 1 ×... × An| = |A 1 | ·... · |An|.
Escrivim An^ per denotar el producte cartesi`a A ×... × A n vegades.
a) Si A t´e k elements, quants de elements t´e el conjunt An?
- Escriviu totes les combinacions amb repetici´o de dos elements escollits del conjunt {a, b, c, d}. Comprovau que n’hi ha CR 4 , 2 =
2
Una pizzeria vol elaborar les seves pizzes combinant sempre un total de quatre ingredients. Quants d’ingredients hauran de menester –pel cap baix– per poder oferir als clients una carta amb m´es de 30 pizzes?
Treim 5 cartes d’un joc de 52.
a) De quantes formes es pot fer la selecci´o de manera que no hi hagi cap tr`evol?
b) De quantes formes es pot fer de manera que hi hagi, almenys, un tr`evol?
- De quantes maneres podem fer un comit`e de cinc persones d’un grup de 12, de les quals quatre s´on homes i vuit s´on dones, si volem que:
a) el comit`e tengui exactament dues dones?
b) el comit`e tengui almenys tres dones?
c) el comit`e contengui una dona i un home concrets?
- En el sistema Braille s’aconsegueix representar un s´ımbol (una lletra, un s´ımbol de puntuaci´o,... ) ressaltant, almenys, un dels sis punts disposats en dues columnes de tres elements cada una. Per exemple, les 3 primeres lletres de l’alfabet s´on:
a
b
c
a) Quants de s´ımbols podem aconseguir amb aquest sistema?
b) Quants de s´ımbols tenen exactament tres punts ressaltats?
c) Quants tenen un nombre parell de punts ressaltats?
Si en el joc del d`omino el total de punts en la meitat de cada fitxa fos un element del conjunt { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, quantes fitxes hi hauria?
De quantes formes es poden col.locar 12 llibres diferents en tres prestatgeries, sense importar l’ordre en qu`e estiguin dins cada prestatgeria, de forma que n’hi hagi quatre en cadascuna d’elles?
Es volen transmetre nou s´ımbols diferents i 15 espais en blanc de manera que entre dos s´ımbols sempre hi hagi, com a m´ınim, un espai en blanc. De quantes formes es pot fer la transmissi´o?
De quantes formes es poden distribuir deu bolles id`entiques entre cinc nins si:
a) no hi ha restriccions?
b) cada nin ha de rebre, almenys, una bolla?
c) el major ha de rebre, almenys, dues bolles?
c) el major ha de rebre, exactament, quatre bolles?
Nombres binomials. F´ormula del binomi
Escriviu les set primeres files del triangle de Pascal.
Emprau la f´ormula del binomi per fer els desenvolupaments de (x+1)^4 , (x−1)^5 , (2x + 3)^3 i (a^2 − b)^4.
Trobau els coeficients dels termes en x^4 i x^5 en el desenvolupament de (x+2)^7.
Trobau el coeficient del terme en x^10 de (2x + 3x^2 )^8.
Demostrau per inducci´o que es verifica 2n^ <
( 2 n n
< 4 n^ per tot enter n ≥ 2.
Variacions sense i amb repetici´o
Escriviu totes les variacions sense repetici´o de tres elements escollits del con- junt {a, b, c, d}. Comprovau que n’hi ha V 4 , 3 = 4 · 3 · 2 = 24.
Escriviu totes les combinacions amb repetici´o de dos elements escollits del conjunt {a, b, c, d}. Comprovau que n’hi ha V R 4 , 2 = 4^2 = 16.
Considerem totes les banderes amb tres franges horitzontals que es poden fer amb cinc colors diferents (les franges, en principi, no tenen per qu`e ser de diferent color).
a) Quantes banderes podem fer en total?
b) Quantes d’elles s´on monocrom`atiques (d’un sol color)?
(indicaci´o: la fila 12 del triangle de Stirling ´es 1 2047 86526 611501 1379400 1323652...)
a) Es distribueixen a l’atzar set bolles id`entiques en quatre caixes numerades de manera que cada bolla va a una caixa i cada caixa cont´e, com a m´ınim, una bolla. De quantes maneres es pot fer?
b) I si les bolles s´on totes distintes?
- Considerem el conjunt A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Quantes relacions d’equival`encia es poden definir sobre A? Quantes d’elles satisfan que 1, 2 ∈ [4]?
(recordau que [4] = {x ∈ A|x R 4 })
Quantes aplicacions exhaustives hi ha d’un conjunt de n elements en un de k?
Considerem el desenvolupament de (2x + y + z)^7. Quin ´es el coeficient del terme x^2 y^2 z^3? I el de x^3 y^4?
Exercicis diversos
- Al campionat de F´ormula 1 hi ha vint pilots i deu equips, amb dos pilots per equip.
a) Quants de podis (primer, segon i tercer llocs) hi pot haver?
b) Quants de podis amb pilots de diferents equips hi pot haver?
c) Quants de podis amb dos pilots d’un mateix equip hi pot haver?
- En problemes de disseny de xarxes d’interconnexi´o se solen fer servir grafs que tenen per v
ertexos paraules d’un alfabet. Per exemple, els anomenats grafs de Kautz tenen per vertexos les paraules de longitud k que es poden formar amb un alfabet de n s´ımbols amb la condici´o que dues lletres consecutives no poden ser iguals.
a) Quantes d’aquestes paraules hi ha?
b) Quantes n’hi ha que tenen almenys dues lletres consecutives iguals?
- Es vol dividir un grup de n persones en dos.
a) De quantes maneres es pot fer?
b) I si els dos grups han de tenir el mateix nombre de persones?
c) I si un grup ha de tenir k vegades m´es persones que l’altre?
(indicau en cada cas, si ´es necessari, quina condici´o ha de complir n)
- De quantes maneres podem posar n bolles en n capses numerades de forma que quedi buida exactament una capsa?
(considerau dos casos: bolles distingibles i bolles indistingibles)
- En un acte en Llu´ıs, na Maria, en Pere, en Pau, na Llu´ısa i n’Ant`onia han de parlar en p´ublic.
a) De quantes formes ho poden fer de manera que en Llu´ıs parli abans que en Pere?
b) I per a que na Maria parli just despr´es que en Llu´ıs?
c) I si han d’alternar-se persones de diferent sexe?
- De quantes maneres es poden permutar les 12 lletres de l’alfabet
A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}
de forma que no apareguin cap dels grups bac, f eg, hijd?
- Volem col.locar m persones a n despatxos.
a) De quantes formes es pot fer sense que quedi cap despatx buit, si m ≥ n? I si m < n?
b) De quantes formes es pot fer sense si hi ha d’haver, com a m´axim, una persona a cada despatx, si m ≤ n? I si m > n?
- Es volen assignar cinc tasques diferents, {t 1 , t 2 , t 3 , t 4 , t 5 } a quatre persones, {p 1 , p 2 , p 3 , p 4 }, de forma que cada tasca la realitza una ´unica persona.
a) De quantes maneres es pot fer?
b) De quantes maneres es pot fer de forma que cap persona es quedi sense fer res?
c) De quantes maneres es pot fer de forma que exactament una persona es quedi sense fer res?
a) Demostrau que el nombre de subconjunts de r elements d’un conjunt de n elements es
(n r
b) Demostrau que un conjunt de n elements t´e 2n^ subconjunts.
b) Escriviu els subconjunts de A = {a, b, c} i comprovau que n’hi ha 2^3 = 8.
- Al conjunt de totes les paraules bin
aries de longitud n definim la distancia entre dues paraules com el nombre de bits en qu`e difereixen.
a) Calculau quantes paraules hi ha a dist`ancia d d’una paraula donada.
b) Si n = 16, quantes paraules hi ha a dist`ancia menor o igual a 13?
- Quantes relacions bin`aries es poden definir sobre el conjunt A = { 1 , 2 , 3 }?
a) Enunciau el principi de les caixes i donau un exemple on s’apliqui.
b) Deu persones estan assegudes al voltant d’una taula circular. Davant de cada una d’elles hi ha una tarja amb el nom dels comensals i resulta que cap d’ells est`a en el seu lloc. Demostrau que es pot girar la taula de manera que almenys dues persones ocupin el lloc que els hi correspon. Indicaci´o: principi de les caixes.
- Un estudiant respon exactament 8 preguntes de les 10 preguntes d’un examen. De quantes maneres ho pot fer si
a) no hi ha restriccions.
b) respon les tres primeres preguntes.
c) respon almenys quatre de les set primeres preguntes.
4. Grups, anells i cossos
Grups
- Determinau quines de les propietats de grup tenen les operacions difer`encia i divisi´o en els conjunts N, Z i R.
Sigui ta,b la funci´o del conjunt R en s´ı mateix definida per ta,b(x) = ax + b, on a, b s´on nombres reals amb a 6 = 0. Demostrau que el conjunt de totes les funcions d’aquest tipus formen un grup amb la composici´o de funcions.
Demostrau que el conjunt A = {(a, b) ∈ Q | a 6 = 0}, amb l’operaci´o ∗ definida per (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d), ´es un grup. Es commutatiu?´
Considerem el conjunt { 1 , − 1 , i, −i} on i denota la unitat imagin`aria dels nombres complexos. Comprovau que aquest conjunt amb l’operaci´o producte ´es un grup i calculau la seva taula multiplicativa.
Donat un grup qualsevol (G, ·), demostrau que el conjunt definit per
C = {a ∈ G | ag = ga, per a tot g ∈ G},
´es sempre un subgrup de G, que es coneix amb el nom de centre de G (un subcon- junt de un grup G que tamb´e t´e estructura de grup es diu que ´es un subgrup de G).
Sigui G un grup amb la propietat que g^2 = 1 per tot a g ∈ G. Demostrau que G es abel.lia.
Demostrau que un grup G ´es abel.li`a si i nom´es si per a tots a, b ∈ G , (ab)−^1 = a−^1 b−^1.
Donades les permutacions α = 365142 i β = 451623, de S 6 , trobau βα, αβ, α−^1 i β−^1.
Trobau la permutaci´o σ ∈ S 6 de forma que la igualtat (1 2 3)σ = (2 3 4 5) sigui certa.
Donada la permutaci´o σ =
∈ S 6 , trobau totes les permutacions de la forma σn, amb n ≥ 1, i demostrau que el conjunt que formen, amb la composici´o, ´es un grup. Donau el cardinal d’aquest grup i comprovau que el seu cardinal ´es el menor n tal que σn^ = Id.
Sigui G un grup i sigui g ∈ G, g 6 = e tal que gk^ = e per a un cert k ∈ N. Demostrau que el conjunt format per les potencies gn^ amb n ≥ 1 ´es un grup de k elements. Deim que un grup G ´es un grup c´ıclic quan tots els seus elements es poden expresar com a potencies d’un element g ∈ G. I, en aquest cas, deim que g ´es un generador de G.
Demostrau que el conjunt de les arrels quartes de 1, { 1 , − 1 , i, −i} ⊂ C, amb el producte habitual, ´es un grup c´ıclic i que i n’´es un generador.
Cap´ıtol 2
Aritm`etica entera i modular.
Anell de polinomis
2.1 Nombres enters. Divisi´o entera
Definici´o axiom`atica dels nombres enters
- Demostrau que per a m i n enters qualssevol se satisf`a
m − (−n) = m + n.
- Demostrau, explicant l’axioma emprat en cada pas, les seg¨uents propietats:
a) a0 = 0
b) (a + b)c = ac + bc
c) a(−b) = (−a)b = −ab
d) a ≤ b ⇒ −b ≤ −a
- Demostrau que hi ha un ´unic element 0 ∈ Z que satisf`a l’axioma I4 : a+0 = a.
(indicaci´o: suposau que existeixen dos enters 0 i 0′^ que satisfan a+0 = a i a+0′^ = 0′ per a tot enter a, i demostrau que llavors 0 = 0′)
Donats dos nombres enters a i b, demostrau que existeix un altre nombre enter c tal que (a + b)c = a^2 − b^2. Qui ´es c?
Demostrau que si x, y s´on enters tals que xy = 0 a Z i x 6 = 0, aleshores y = 0.
- Demostrau que si a i b s´on enters tals que ab = 1, aleshores a = b = 1 o a = b = −1.
Divisibilitat
Demostrau que si c|a i c|b, aleshores c|xa + yb per a x i y enters qualssevol.
Demostrau que per a tot enter no negatiu n, 3 · 52 n+1^ + 2^3 n+1^ ´es m´ultiple de
Demostrau que per a tot enter no negatiu n, 3^2 n+2^ + 2^6 n+1^ ´es m´ultiple de 11.
Demostrau que cap terme de la successi´o an = n (^2) +3n 2 −^1 , n^ ≥^ 1, ´es m´ultiple de 3.
Provau que en tot conjunt de cinc enters positius n’hi ha sempre tres tals que la seva suma ´es divisible per 3.
(indicaci´o: podeu utilitzar el principi de les caixes; teniu present que qualsevol nombre enter ´es de la forma 3n, 3n + 1 o 3n + 2)
a) Demostrau que per a tot enter n el valor de n(n^2 + 2) ´es m´ultiple de 3.
b) Dedu¨ıu de l’apartat anterior que la suma dels cubs de tres enters consecutius, n − 1, n i n + 1, ´es sempre m´ultiple de 9.
- Demostrau per inducci´o que, per a tot n ≥ 0,
a) n^2 + 3n ´es divisible per 2
b) n^3 + 3n^2 + 2n ´es divisible per 6
- Demostrau que si p ´es un nombre primer tal que p|a · b, aleshores p|a o p|b.
a) Demostrau que si p ´es primer llavors
(p r
´es m´ultiple de p per qualsevol enter r tal que 1 ≤ r ≤ p − 1.
b) Donau un contraexemple de que la propietat anterior no ´es certa si p no ´es primer.
b) 136 i 51
c) 64 i 230
d) 357 i 942
e) 481 i 325
f) -12 i 86
g) -253 i 94
h) 8771 i 3206
Donats a i b dos nombres enters, demostrau que ab = mcd(a, b)mcm(a, b).
Emprau el resultat anterior per trobar el m´ınim com´u m´ultiple dels parells de nombres del problema 19.
Demostrau que mcd(a, b) = mcd(b, r), per a a i b enters amb b 6 = 0 i r la resta de la divisi´o entera de a per b.
Demostrau que no existeixen enters a i b tals que el seu maxim com´u divisor ´es 7 i a + b = 100. D’altra banda, existeixen infinites parelles a, b tals que el seu maxim com´u divisor ´es 5 i a + b = 100.
Demostrau que si a, b ∈ Z i d = mcd(a, b) llavors mcd
(a d ,^
b d
Demostrau que si mcd(a, b) = 1 llavors mcd(a + b, a − b) ´es, o b´e 1 o b´e 2.
Siguin a, b, c ∈ Z tals que mcd(a, b) = 1. Demostrau:
a) a|bc ⇒ a|c
b) a|c i b|c ⇒ ab|c
Equacions diof`antiques
Resoleu l’equaci´o diof`antica 323x + 15y = 3.
Un comprador t´e nom´es bitllets de 45 euros i un venedor nom´es bitllets de 19 euros. Plantejant i resolent una equaci´o diof`antica, explica com pot comprar el primer un article de 550 euros, amb el m´ınim nombre de bitllets, de manera que el canvi sigui exacte.
En Joan tarda 10 minuts en resoldre un problema d’An`alisi i 6 en resoldre un d’ Algebra. Si sabem que ha estat 104 minuts resolent problemes de Matem`` atiques, quants problemes ha resolt de cada assignatura?
Disposam d’un subministrament il·limitat d’aigua, un gran poal i dues gar- rafes de 7 i 9 litres respectivament. Com es podria posar un litre d’aigua en el poal?
La unitat monetaria de Tl¨on ´es el sou, pero tamb´e utilitzen el talent, que equival a 30 sous, i el ral, que equival a 19 sous. Passejant pel mercat ens ofereixen un tap´ıs que, despr´es de molt regatejar, volem comprar per 4024 sous. El venedor no t´e canvi i nosaltres nom´es tenim talents i rals. Com i de quantes maneres diferents podrem pagar el tap´ıs?
Una empresa ha renovat el seu parc inform`atic i ha comprat ordinadors a 1298 euros i impressores a 231 euros. Per certs problemes al departament de comptabilitat, s’ha perdut la factura i no se sap si el cost total de la compra va ser 7215 ´o 7216 euros. Podr´ıeu deduir el cost total? Quants ordinadors i quantes impressores varen comprar?
A un ordinador s’executen dos processos A i B. Sabem que el proc´es A tarda 9 segons menys que el proc´es B. Un dia en qu`e es varen executar 19 processos el temps total emprat va ser de 261 segons. Quants de processos de cada tipus es varen executar? Quant de temps tarda en executar-se cada proc´es?
2.3 Congruencies. Aritmetica modular.
Demostrau que la relaci´o de congruencia definida sobre Z ´es efectivament una relaci´o d’equivalencia.
Resoleu les seg¨uents congru`encies:
a) 3x ≡ 5 (mod 9)
b) 4x ≡ 8 (mod 12)
c) x^2 ≡ 6 (mod 9)
d) 3x^2 ≡ −1 (mod 12)
e) 3x^2 + 6x + 5 ≡ 0 (mod 7)
f) x^2 + 5x + 3 ≡ 0 (mod 4)
cada mercat hi ha unitats de mesura diferents; aix´ı en el primer mercat la unitat de mesura ´es de 870 gr, en el segon de 1700 gr i en el tercer de 1430 gr. Els tres pagesos venen totes les mesures possibles d’arros, pero retornen a la col·lectivitat amb 180 gr, 580 gr i 400 gr. respectivament. Quina quantitat d’arr`os havien collit entre tots tres, aquest any?
- S’han llan¸cat a un ordinador tres processos que peri
odicament accedeixen a un recurs compartit. Si dos d’ells ho fan a la vegada no hi ha cap problema, pero si ho fan tres a la vegada es produir`a un bloqueig. Considerant pels processos la taula seg¨uent:
Proc´es Accedeix per primera vegada al recurs Accedeix cada 1 10:00 hores 5 min. 2 10:02 hores 12 min. 3 c minuts despr´es de les 10:00 h 4 min.
a) Plantejau un sistema de congru`encies i estudiau per a quins valors de c es produeixen bloqueigs.
b) Si c = 6, trobau l’hora del primer bloqueig que es produir`a despr´es de les 16 h.
- Demostrau que Zm amb les operacions suma i producte definides per
[a]m + [b]m = [a + b]m [a]m · [b]m = [a · b]m
satisf`a les seg¨uents propietats:
I1. [a]m + [b]m i [a]m[b]m s´on de Zm.
I2. [a]m + [b]m = [b]m + [a]m i [a]m[b]m = [b]m[a]m.
I3. ([a]m + [b]m) + [c]m = [a]m + ([b]m + [c]m) i ([a]m[b]m)[c]m = [a]m([b]m[c]m).
I4. [a]m + [0]m = [a]m i [a]m[1]m = [a]m.
I5. [a]m([b]m + [c]m) = [a]m[b]m + [a]m[c]m
I6. Per a cada [a]m existeix un ´unic element, [−a]m, tal que [a]m +([−a]m) = [0]m.
Donau les tables de la suma i la multiplicaci´o a Z 6.
Resoleu en Z 7 i en Z 5 el sistema d’equacions:
4x+2y= 4x+3y=
Resoleu l’equaci´o x^2 + 3x + 4 = 0 en Z 11.
Sabem que si x, y s´on enters tals que xy = 0 a Z i x 6 = 0, aleshores y = 0. Donau un contraexemple que mostri que aquesta propietat no se safisf`a a Z 6 , Z 8 i Z 15. En podeu donar algun a Z 7 ?.
Demostrau que l’equaci´o x = x−^1 en Zp implica que x^2 −1 = 0 en Zp. Dedu¨ıu d’aix`o que 1 i -1 s´on els ´unics elements de Zp que s´on iguals al seu propi invers.
(a) Trobau el conjunt U de les unitats (elements invertibles) de Z 20 .Comprovau que la funci´o f : U → U , donada per f (x) = 3x en Z 20 , ´es una bijecci´o.
(b) En general: sigui Un el conjunt d’unitats de Zn. Demostrau que la funci´o f : Un → Un definida per f (x) = ux ´es una bijecci´o del conjunt Un en si mateix per a qualsevol u fixat de Un.
- Considerau una funci´o bijectiva f : Z 100 −→ Z 100 definida per f (x) = kx:
a) Quines condicions ha de complir k?
b) Quantes aplicacions d’aquest tipus existeixen?
c) Demostrau que f transforma elements invertibles en invertibles.
- Considerau la funci´o f : Zp −→ Zp amb p primer, definida com f (x) = xp−^1.
a) Per a quins valors de p la funci´o anterior ´es bijectiva?
b) Provau que g : Zp −→ Zp, g(x) = xp^ ´es la identitat.
Demostrau que si n > 4 no ´es primer, aleshores (n − 1)! ≡ 0 (mod n).
Calculau 1 + 2n^ + 2^2 n^ m`odul 7.
Per a cada n ≥ 2, la funci— d’Euler φ(n), Zs el nombre d’entersˇ a, tals que 1 ≤ a ≤ n i mcd(a, n) = 1. Si n = pe 11 pe 22 · · · pe r r, aleshores la funci— d’Euler ´es
φ(n) = n(1 −
p 1
p 2
pr
a) Comprovau la f—rmula que hem donat per n = 10, 11 , 12 ,... , 20.
