CINEM `
ATICA
Utilitzeu g=9.81 m/s2.
1. El vector posici´o d’una part´ıcula ve donat per r(t) = (3t3)ˆı +(40t−t2) ˆȷ, on r
s’expressa en metres i ten segons. Escriviu els vectors velocitat instant`ania
i acceleraci´o instant`ania en funci´o del temps, i calculeu-los a t=5 s.
2. L’acceleraci´o d’un coet ve donada per a=bt, on b´es una constant positiva.
Trobeu les expressions que donen la posici´o i la velocitat del coet en funci´o
del temps i pinteu una gr`afica de cada una de les tres magnituds. Calculeu
la posici´o i la velocitat a t= 4 s sabent que b= 3 m/s3i que x0= 10 m i
v0=0 m/s.
(Sol a t=4 s: a= 12 m/s2,v= 24 m/s i x= 42 m)
3. Un coet inicialment en rep`os es fa accelerar verticalment cap amunt a 20
m/s2. Al cap de 25 s el combustible s’esgota i el coet continua com una
part´ıcula lliure fins que torna a arribar a terra. Negligint la fricci´o amb
l’aire, calculeu:
a) L’al¸cada m`axima ha la qu`e ha arribat el coet.
b) El temps total tque el coet ha estat a l’aire.
b) La velocitat vdel coet just abans de xocar contra el terra.
(Sol: h=19 km, t=2 min 18 s i v=610 m/s)
4. Un ascensor de 3 m d’al¸cada puja amb una acceleraci´o d’1 m s−2. Quan
est`a a una certa al¸cada, la l`ampara del sostre es deixa anar. Calculeu el
temps que triga a arribar al terra de l’ascensor.
(Sol: t= 0.75 s)
5. Una rentadora gira a 15000 r.p.m. Calculeu l’acceleraci´o centr´ıpeta
que pateix una samarreta que est`a girant a 15 cm de l’eix de rotaci´o.
Per aconseguir la velocitat de rotaci´o anterior, la rentadora ha accelerat
uniformement des del rep`os durant 1 min i 15 seg. Quina ha sigut
l’acceleraci´o tangencial que ha patit la samarreta durant aquest temps?
Quan acaba de centrifugar, el motor s’apaga per`o el tambor encara fa 12700
voltes abans de frenar degut a la fricci´o. Quina ´es l’acceleraci´o tangencial
que ha patit la samarreta durant aquest darrer per´ıode?
(Sol: ac=3.7 105m/s2,at=3.14 m/s2iat=−2.32 m/s2)
6. Una part´ıcula es mou en el pla segons la traject`oria r(t) = (0.4 cos(32t)ˆı +
0.4 sin(32t)ˆȷ) m.
a) Demostreu que la part´ıcula descriu un moviment circular.
b) Indiqueu el radi de curvatura i el per´ıode de la traject`oria.
c) Calculeu quin ´es el vector velocitat i el seu m`odul.
d) Calculeu la velocitat angular.
e) Calculeu l’acceleraci´o centr´ıpeta.
f) Calculeu l’acceleraci´o tangencial.
g) Calculeu la posici´o i l’acceleraci´o de la part´ıcula a l’instant inicial.
7. La posici´o en el pla del centre de masses d’un cos ve donat per r(t) =
(−2t2ˆı + (12 exp(t)−12)ˆȷ) m. Trobeu el m`odul de la velocitat, les
components tangencials i normals de l’acceleraci´o i el radi de curvatura
al cap de 10 s.
8. Amb l’ajuda d’una corda es fa girar amb una velocitat angular constant de
1.18 rad/s un cos d’1 kg en una circumfer`encia vertical d’1 m de radi, el
centre de la qual est`a a 10.81 m per damunt del terra. La corda es trenca
quan el cos passa pel punt m´es baix de la traject`oria. Calculeu el m`odul
de la velocitat just abans que el cos xoqui contra el terra.
(Sol: vf=13.9 m/s)
9. Es dispara un pro jectil des de dalt d’un tur´o de 300 m d’al¸cada, fent un
angle de 30oper sota de l’horizontal.
a) Determineu el m`odul de la velocitat inicial del projectil per a qu`e
impacti sobre un blanc que est`a situat a una al¸cada de 0 m i a una
dist`ancia horitzontal de 119 m del punt de llan¸cament.
b) Quan el projectil es troba a 200 m d’al¸cada, calculeu les components
tangencial i normal de l’acceleraci´o i el radi de curvatura. Dibuixeu
un esquema amb el vector velocitat i les components de l’acceleraci´o.
(Sol: vo= 20.0 m/s, at=9.17 m/s2,an= 3.50 m/s2ir= 675 m)
10. Tenim una placa plana de grans dimensions carregada positivament amb σ
i situada verticalment (veure dibuix). Un electr´o ´es
injectat a una dist`ancia dde la placa conductora
amb una velocitat vom/s en la direcci´o paral.lela
a la placa. Tenint en compte la gravetat i sabent
que l’acceleraci´o que pateix l’electr´o degut al camp
el`ectric que crea la placa ´es de ax=−eσ/(2meϵo), a
quina dist`ancia yl’electr´o xocar`a amb la placa?
(e´es la c`arrega fonamental, me´es la massa de
l’electr´o i ϵo´es la permitivitat del buit)
vo
e−x
y
d
+σ
