Problemes Tema 5, Ejercicios de Lógica

¡Descarga Problemes Tema 5 y más Ejercicios en PDF de Lógica solo en Docsity!

Logica i Algebra

Curs 2012-

Grau d’Enginyeria Inform`atica

Tema 5: C`alcul d’enunciats

Problemes

E.P.S.E.V.G.

Departament de Matem`atica Aplicada IV

1. Suposeu que p representa Li cal un metge, q ´es Li cal un advocat, r diu Ha tingut un accident, s ´es Esta malalt i t Esta ferit. Interpreteu en llenguatge natural les f´ormules seg¨uents: a) (s → p) ∧ (r → q) b) p → (s ∨ t) c) (p ∧ q) → r d) (p ∧ q) ↔ (s ∧ t) e) ¬(s ∨ t) → ¬p
2. Formalitza i identifica els enunciats que diuen el mateix. a) Per aprovar ´es suficient fer les practiques i el test. b) Per aprovar ´es necessari fer les practiques i el test. c) Si no aproves no has fet les practiques o no has fet el test. d) No aproves llevat que hagis fet les practiques i el test. e) Nom´es si has fet les practiques i el test, aproves. f) Aproves si i nom´es si has fet les practiques i el test.
3. Formalitzeu i vegeu si el raonament ´es correcte: Si vaig a classe al mat´ı m’he de llevar d’hora i si surto a la nit anir´e a dormir tard. Si vaig a dormir tard i em llevo d’hora, dormir´e poc. No puc dormir poc. Per tant, o no vaig a classe al mat´ı o no surto a la nit.
4. Formalitzeu i vegeu si el raonament ´es correcte: Si vaig en autob´us i l’autob´us arriba tard, faltar´e a la cita. Si falto a la meva cita i estic desmoralitzat, no anir´e a casa. Si no aconsegueixo la feina, em desmoralitzar´e i anir´e a casa. Per tant, si vaig en autob´us i l’autob´us arriba tard, aconseguir´e la feina.
5. Formalitzeu i veieu que el segon enunciat ´es consequ`encia del primer: En Joan no pot ser bon estudiant a no ser que sigui llest i son pare l’ajudi. En Joan nom´es pot ser bon estudiant si son pare l’ajuda.
6. Formalitzeu i vegeu si el raonament ´es correcte: No plora, riu. Si no plora, nom´es riu quan t´e una joguina. Per`o quan t´e una joguina no riu, menys en al cas que mengi un caramel. Per tant, menja un caramel.
7. Demostreu els teoremes seg¨uents usant Deducci´o Natural: a) ⊢ A → A (Principi d’Identitat) b) ⊢ ¬(A ∧ ¬A) (Principi de No Contradicci´o) c) ⊢ A ∨ ¬A (Principi del Tercer Excl`os) d) ⊢ A → (B → A) e) ⊢ (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C))

c) Si la ´unica que no fuma ´es l’Elena, qui diu la veritat? d) Si la ´unica que no menteix ´es la Marta, qui fuma? e) Si les que fumen s´on les que menteixen, qui diu la veritat?

14. Constru¨ıu la taula de veritat: a) ((p → q) ∨ r) → ¬(p ∨ r) b) ¬((p ∧ ¬q ∨ r) ∨ ¬(p ∧ ¬r ∨ q))
15. Demostreu que s´on tautologies: a) (p → q) ∨ (q → p) b) (p → q) ∨ (q → p) → (p ∨ q) c) p → (q → p) d) (p → q) → ((p → (q → r)) → (p → r)) e) (p → q) → ((p → ¬q) → ¬p) f) ((p ∧ q) → ) → (¬p ∨ ¬q)
16. Doneu valors a A i a B de V o F per tal que l’enunciat (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) sigui cert. Doneu un model en el llenguatge natural
17. Doneu valors de V o F a cadascun dels enunciats p, q, r i s per tal que siguin certes les proposicions: ¬p ∨ q, r, q ∧ r → s pero sigui fals p ∨ s. Aixo prova que el conjunt {¬p ∨ q, r, q ∧ r → s, p ∨ s} ´es inconsistent?.
18. Es tenen les premisses seg¨uents: O no hi ha molts gats o hi ha pocs ratolins. Hi ha moltes flors. Si hi ha pocs ratolins i hi ha moltes flors, hi haura molts borinots. Podem afirmar que hi ha molts gats o hi haura molts borinots?
19. Considera les hip`otesis A 1 : (¬a ∧ b) ∨ (¬b ∧ c), A 2 : ¬(b ∨ c) → a ∧ b, A 3 : ¬a ∨ ¬c → d i les conclusions B 1 : ¬c → ¬a, B 2 : ¬b ∨ ¬a, B 3 : d.

(a) ´Es B 1 conseq¨uencia logica de A 1 , A 2? (b) ´Es B 2 conseq¨uencia logica de A 1 , A 2? (c) ´Es B 3 conseq¨uencia logica de A 1 , A 2 , A 3? (d) En els casos afirmatius, demostra-ho amb deducci´o natural.

20. Formalitza i comprova si el raonament ´es valid: No menjo, bec suc de taronja. Si no menjo, nom´es bec suc de taronja quan tinc set. Pero quan tinc set no bec suc de taronja, menys en al cas que no tingui aigua. Per tant, no tinc aigua.

21. Formalitza el raonament seg¨uent i contesta a les q¨uestions. Utilitza f per Funciona el servidor; m per Es´ m´es tard de les 8h; t per Tu et connectes a Internet; i j per Jo em connecto a Internet. A: Funciona el servidor i ´es m´es tard de les 8h., nom´es si tu et connectes a Internet. B: Tu no et connectes a Internet a no ser que jo em connecti. C: Per tant, sempre que funcioni el servidor o sigui m´es tard de les 8h., jo em connecto a Internet. a) Es tracta d’un raonament valid o invalid? b) Es pot deduir que el conjunt {A, B, C} ´es insatisfactible?
22. Formalitza i demostra si ´es v`alid o no el seg¨uent raonament: No plou a no ser que hi hagi n´uvols. Per a que hi hagi n´uvols ´es necessari que s’evapori aigua. Per tant, ´es suficient que no plogui per a que no hi hagi n´uvols i no s’evapori aigua.
23. Formalitza i demostra la invalidesa del raonament: Nom´es si tens la contrasenya o la clau d’acces pots mirar el compte corrent per internet. No pot ser que tinguis la clau d’acces sense la contrasenya. Pero no tens la clau d’acces. Per tant, no has pogut mirar el compte corrent per internet.
24. Fent servir la definici´o de conseq¨uencia logica, demostra: a) p ∨ q → r ∨ s  (p → r) ∨ (q → s) b) (p → r) ∨ (q → s) 2 p ∨ q → r ∨ s c) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) =| |= p ∧ (q ∨ r)
25. Trobeu enunciats que corresponguin a les seg¨uents taules de veritat: p q r A B C D E 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
26. Demostra la validesa dels raonaments seg¨uents, comprovant que la soluci´o ´es conseq¨uencia logica de les premisses. a) p → q, q → r ⊢ p → r b) p ∨ q → r ⊢ (p → r) ∧ (q → r) c) p ∧ q → r ⊢ (p → r) ∨ (q → r) d) ¬t → ¬p ∧ ¬q, ¬q ∨ ¬r → t ⊢ r → t
27. Calculeu els valors de veritat dels enunciats seg¨uents mitjan¸cant l’algorisme de Quine: a) ¬p ∧ ((q ∧ ¬r) ∨ ¬(r → ¬p)) ∧ ¬(¬p → (q ∧ r)) b) ((¬r → ¬(p ∧ q)) ∨ (s → p)) → ((s ∧ q) → r)