Introducción a los Procesos Estocásticos: Conceptos Básicos y Aplicaciones, Diapositivas de Estadística

¡Descarga Introducción a los Procesos Estocásticos: Conceptos Básicos y Aplicaciones y más Diapositivas en PDF de Estadística solo en Docsity!

Proceso Estocástico

Unidad I

¿Qué son los

procesos

estocásticos?

• Un proceso estocástico es un concepto matemático que se utiliza para manejar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias llamada estocásticas, que evolucionan en función de otra variable. Un proceso estocástico está formado por variables dadas aleatoriamente que dependen de argumentos o parámetros.

Definición formal

• Un proceso estocástico puede definirse generalmente como cualquier colección de variables aleatorias X(t), t ϵ T, definida en un espacio de probabilidad común, donde T es un subconjunto de (-∞,∞) y se considera como el parámetro de tiempo establecido.
• El conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria se llama “espacio de estados” (espacio muestral) y se denota por “S”.

Entonces…

• El proceso estocástico X(t) como el número de personas que llegan en el intervalo ( 0 ,t). Con lo cual, para cada valor de t que se elija se tiene una variable aleatoria diferente que representará al número de personas en ese momento. En el proceso estocástico, generado por el problema, se hace evidente que el resultado puede variar dependiendo del tiempo, por lo que queda definido como {X(t) : t ∈ T }, donde T representa al tiempo.

Ejemplo 1

• Marcador de un partido de fútbol.
• 𝑋𝑡 = Marcador de un partido de fútbol en el instante t.
• 𝑆 = 0 , 1 , 2 , 3 … No de goles Discreto
• T= 0 , 90 Minutos Continuo
• Es un proceso estocástico con espacio de estados discreto

Ejemplo 2

• Probabilidad de lluvia dentro de los próximos 5 días siendo que existe un porcentaje del 40% de que esto ocurra y un 60% de que no suceda así.
• 𝑋 𝑡 = Estado meteorológico en el día t.
• 𝑆 = 0 , 1 Lluvia (0), No lluvia (1) Discreto
• T= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 día de ocurrencia Discreto
• Es una serie estocástica con espacio de estados discreto

En conclusión

• Estocástico = aleatoridad
• Entonces un proceso estocástico es un sistema que nos permite darle seguimiento a un fenómeno aleatorio a través del tiempo. Cada valor obtenido mediante la variable aleatoria definida, nos dará información de lo que sucede con el fenómeno aleatorio conforme transcurre el tiempo. A cada valor posible se le llama un estado y a los distintos cambios de un estado a otro transición. A cada registro de este seguimiento se le conoce como realización del proceso , y son aplicables a cualquier sistema que comprenda variabilidad al azar conforme transcurre el tiempo.

Algunas aplicaciones de los procesos estocásticos Telecomunicaciones Computadoras Fabricación Finanzas Seguros Internet Call-center Aerolíneas Cadenas de suministro Militar Medicina Seguridad Infraestructura

Cadenas de Markov

• La cadena de Markov, también conocida como modelo de Markov o proceso de Markov, es un concepto desarrollado dentro de la teoría de la probabilidad y la estadística que establece una fuerte dependencia entre un evento y otro suceso anterior. Su principal utilidad es el análisis del comportamiento de procesos estocásticos.
• La propiedad de las cadenas de Markov es que las transiciones entre los estados, sólo puede producirse entre estados vecinos. Solo se puede llegar al estado i desde el estado i- 1 o bien de i+1.

Cadenas de Markov

• Por medio de estas se pronostica el comportamiento futuro de ciertas variables. Este pronóstico se hace mediante el análisis de los cambios que han sufrido dichas variables en el presente.
• Con el fin de hacer estas predicciones, se establece una matriz llamada de transición (matriz estocástica) que está dada por las probabilidades de los diferentes cambios observados.
• Para está técnica se requiere que la probabilidad de un suceso dependa solamente del suceso anterior.

Planteamiento de una matriz de transición o estocástica Propiedades

1. Sus elementos son no negativos.
2. La sumatorio de los elementos (estados) de cada fila debe ser igual a 1.
3. La matriz debe ser cuadrada.

Estado y Transición

• Un estado es una caracterización de la situación en la que se halla un determinado sistema en un instante dado, y puede ser tanto cuantitativo como cualitativo.
• El sistema que pretende modelizar una cadena es, por consiguiente, una variable aleatoria que cambia de valor (cuantitativo o cualitativo) en el tiempo. A dicho cambio se le denomina transición.

Ejemplo 1

• En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov.

Ejemplo 2:

• En una población de 10 , 000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5 % de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2 % de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10 % de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10 % de que pasen a fumar más de una paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5 % de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10 % de que pasen a fumar un paquete o menos. Plantee la matriz.