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Reglas para aplicar productos notables
Tipo: Apuntes
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Los productos notables son las operaciones que cumplen con ciertas re glas y que dan como resultado un factor sintetizado. Los productos notables más importantes son:
Ejemplo 1 : Desarrolla (𝒙 + 𝟕) 𝟐 **. Solución: Al aplicar la regla general:
Ejemplo 2 : ¿Cuál es el resultado de desarrollar (𝟑𝒎 + 𝟓𝒏) 𝟐 ? Solución: Se aplica la fórmula con 𝟑𝒎 como primer término y 𝟓𝒏 como segundo término: (𝟑𝒎 + 𝟓𝒏) 𝟐 = = (𝟑𝒎) 𝟐 +𝟐 𝟑𝒎 𝟓𝒏 + (𝟓𝒏) 𝟐 = 𝟗𝒎 𝟐
Por tanto: (𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) 𝟐 = 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚 𝟐 En este desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo.
Es de la forma (𝒂 + 𝒃) 𝟑 , su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (𝒂 + 𝒃) 𝟑 = 𝒂 𝟑
Ejemplo 1: Desarrolla (𝒎 + 𝟓) 𝟑 . Solución: Se obtiene cada uno de los términos que conforman al cubo perfecto:
1. El cubo del primer término: (𝒎) 𝟑 = 𝒎 𝟑 2. El triple del cuadrado del primero por el segundo: 𝟑 𝒎 𝟐 𝟓 = 𝟏𝟓𝒎 𝟐 3. El triple del primero por el cuadrado del segundo: 𝟑 𝒎 (𝟓) 𝟐 = 𝟑 𝒎 𝟐𝟓 = 𝟕𝟓𝒎
4. El cubo del segundo: 𝟓 𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 5. Estos resultados se suman y se obtiene: (𝒎 + 𝟓) 𝟑 = 𝒎 𝟑 + 𝟏𝟓𝒎 𝟐 + 𝟕𝟓𝒎 + 𝟏𝟐𝟓
El desarrollo del cubo de la diferencia de dos cantidades se obtiene con la fórmula: (𝒂 − 𝒃) 𝟑 = 𝒂 𝟑 − 𝟑𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 𝟐 − 𝒃 𝟑 Al utilizar la fórmula los términos se sustituyen con signo positivo.
¿Cuál es el resultado de (𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒚 𝟑 ) 𝟑 ? Solución: Se aplica la fórmula y se determina que: (𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒚 𝟑 ) 𝟑 = (𝟑𝒙 𝟒 ) 𝟑 −𝟑 𝟑𝒙 𝟒 𝟐 𝟐𝒚 𝟑
Ejemplo 1: Desarrolla (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟔). Solución: Ambos términos se elevan al cuadrado:
1. El cuadrado del término que no cambia de signo: (𝒙) 𝟐 = 𝒙 𝟐 2. El cuadrado del término que cambia de signo: (𝟔) 𝟐 = 𝟑𝟔 3. Finalmente, se realiza la diferencia y el resultado es: 𝒙 𝟐 − 𝟑𝟔
Ejemplo 1: Desarrolla (𝒎 − 𝟒) (𝒎 + 𝟒). Solución: Ambos términos se elevan al cuadrado:
1. El cuadrado del término que no cambia de signo: (𝒎) 𝟐 = 𝒎 𝟐 2. El cuadrado del término que cambia de signo: (𝟒) 𝟐 = 𝟏𝟔 3. Finalmente, se realiza la diferencia y el resultado es: 𝒎 𝟐 − 𝟏𝟔
Demostración Se realiza el producto de los binomios: (𝒙 + 𝒂) (𝒙 + 𝒃) = 𝒙 𝟐
Ejemplo: Desarrolla (𝒙 − 𝟔) (𝒙 + 𝟒). Solución: Se desarrolla el procedimiento descrito:
1. El cuadrado del término común: (𝒙) 𝟐 = 𝒙 𝟐 2. La suma de los términos no comunes, multiplicada por el término común: (− 𝟔 + 𝟒)(𝒙) = − 𝟐𝒙 3. El producto de los términos no comunes: (− 𝟔)(𝟒) = − 𝟐𝟒
