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6. La temporada de cosecha de trigo en el medio oeste estadounidense es corta, y la mayoría de
los granjeros entregan sus camiones con cargas del cereal a un silo (granero) central gigantesco en
un lapso de dos semanas. Debido a esto, se sabe que los camiones llenos de trigo esperan para
descargar y regresar a los campos a una cuadra de distancia del depósito. El silo central es de
propiedad cooperativa, por lo cual beneficiaría a cada uno de los granjeros incrementar tanto
como sea posible el nivel de eficacia del proceso de descarga y almacenaje. El costo del deterioro
del grano causado por los retrasos en la descarga, el costo de la renta de los camiones y el tiempo
ocioso del conductor mientras llega su turno son preocupaciones importantes para los miembros
de la cooperativa. A pesar de que los granjeros tienen problemas para cuantificar el daño a la
cosecha, es fácil asignar un costo de $18 por hora por concepto de espera y descarga por cada
camión y conductor. El silo permanece abierto y funciona 16 horas al día, los siete días a la
semana, durante la temporada de cosecha, y tiene una capacidad de descarga de 35 camiones por
hora de acuerdo con una distribución exponencial. Los camiones llenos llegan a lo largo del día
(durante el horario en que el silo está abierto) a una tasa aproximada de 30 camiones por hora,
con un patrón de Poisson. Para ayudar a la cooperativa a atender el problema de la pérdida de
tiempo mientras los camiones están en espera en la línea o mientras descargan en el silo,
encuentre:
Datos:
m = 1 , Cw = 18
hora
, 1 día = 16 horas , 1 semana = 7 días
μ = 35
camiones
hora
λ = 30
camiones
hora
a) El número promedio de camiones en el sistema de descarga.
L =
λ
( μ − λ )
L =
= 6 camiones / hora
b) El tiempo promedio por camión en el sistema.
W =
( μ − λ )
W =
=0,2 horas = 12 minutos
c) La tasa de utilización del área del silo.
Factor de utilización:
ρ =
λ
μ
ρ =
d) A probabilidad de que haya más de tres camiones en el sistema en un momento dado.
K= unidades en el sistema Prob
n > k
λ
μ
k + 1
Prob ( n > 3 )=
3 + 1
e) El costo diario total para los granjeros por tener los camiones detenidos en el proceso de
descarga.
Costo de la espera= Cw =( λ )( cw )( W )
Cw =( 30 )( 18 )(0,2)
Cw = 108
hora
día
Como se mencionó, la cooperativa utiliza el silo únicamente dos semanas al año. Los granjeros
estiman que ampliar el silo reduciría en 50% los costos de descarga durante el próximo año.
Costaría $9,000 hacerlo durante la temporada en que no hay labores. ¿Valdría la pena para la
cooperativa ampliar el área de almacenamiento?
1 año = 2 semanas
Ampliar el silo = reducción de 50% de costos de descarga
Costo de ampliar = $
Costo de descarga o costo anual:
Cw = 1728
día
x
7 días
1 semana
x
2 semanas
1 año
año
Reducción= 50% = 0,5(24192) = $ 12096.
Costo de Ampliar= $ 9000
Rpta: Sí valdría la pena, ya que mi ahorro será de 12096-9000= $3096.
Para saber si se debería contratar a otro empleado el departamento pasaría ser M/M/2:
Wq = W −
μ
Utilizamos el programa QM, por lo tanto: λ = 12 , μ = 15 , m=
Wq =0,
Total de 0,76 minutos
Costo total = m ∗ Cs + λ ∗ Wq ∗ Cw
Costo TOTAL = 2 ∗ 10 + 12 ∗0,0127∗ 50 = $ 27,
Ahorro = $170,02 - $27,62 = $141,
Rpta: Sí debería contratar a otro empleado ya que tendrían un ahorro de $ 142,4.
8. Los automóviles llegan a la ventanilla de atención en una oficina postal a una tasa de 4
cada 10 minutos. El tiempo promedio de servicio es de 2 minutos. La distribución de
Poisson es adecuada para la tasa de llegadas y los tiempos de servicio se distribuyen de
manera exponencial.
Datos:
λ = 24 servicio/hora
μ = 30 servicio/hora
Utilizamos el programa QM y obtenemos lo siguiente:
Y respondemos:
a) ¿Cuál es el tiempo promedio que un auto está en el sistema?
El tiempo es W = 0,17 horas que serían 10 minutos que un auto pasa en el sistema.
b) ¿Cuál es el número promedio de autos en el sistema?
El promedio sería L= 4 autos en el sistema.
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que los autos pasan en espera de recibir el servicio?
El tiempo promedio es de Wq= 0,13 horas que serían 8 minutos de espera.
d) ¿Cuál es el número promedio de autos que están en la línea detrás del cliente
que está recibiendo el servicio?
El promedio de autos que están en la cola es de Lq = 3,.
e) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya autos en la ventanilla?
La probabilidad de que no haya autos es de Po = 0,20 osea el 20%.
a) ¿Cuál es el tiempo promedio que está un auto en el sistema?
El tiempo promedio es de W= 0,04 que serían 2,38 minutos que el auto está en el
sistema.
b) ¿Cuál es el número promedio de autos en el sistema?
El número promedio de autos en el sistema es de L= 0,95.
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que los autos esperan para recibir el servicio?
El tiempo promedio es de Wq=0,01 horas que serían 0,38 minutos de espera.
d) ¿Cuál es el número promedio de autos que están detrás del cliente que recibe el
servicio en ese momento?
El promedio de autos es de Lq= 0,15 que están detrás del cliente.
e) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya autos en el sistema?
La probabilidad de que no haya autos en el sistema es de Po=0,43 es decir el 43%.
f) ¿Qué porcentaje del tiempo están ocupados los empleados?
El porcentaje de tiempo es de p=0,4 es decir el 40% los empleados están ocupados.
g) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos autos en el sistema?
La probabilidad es de 0,14 osea el 14% de que haya dos autos.
