Programacion lineal y teoremas, Guías, Proyectos, Investigaciones de Investigación de Operaciones

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Instituto Tecnológico de Tijuana

Investigación de operaciones

Investigación (Temas)

Ing. Diseño Industrial

Profesor: Villanueva Wilberth

A 22 de Abril del 2019, Tijuana Baja California.

INDICE

Titulo

pág.

Programación lineal

Especificidades y algoritmo de resolución propuesto para la

programación no lineal

Teorema de suficiencia Kuhn-

Tucker…………………………………… 5

Condiciones de Kuhn – Tucker

Método de Newton

Referencias

La programación matemática (problemas de optimización cuyas restricciones se plantean en forma de desigualdades) soluciona ciertas limitaciones de la optimización con restricciones de igualdad. Entre ellas podemos incluir el hecho de que, a pesar de que es bastante obvio que determinadas variables económicas no pueden tomar valores negativos (por ejemplo: las cantidades, los precios, las probabilidades, etc.) la optimización con restricciones de igualdad no puede internalizar formalmente el requisito de no negatividad de dichas variables.

Asimismo, no queda bien en claro que ciertas restricciones deban cumplirse indefectiblemente con igualdad. La mecánica de resolución de estos problemas (los de programación no lineal) es muy similar a la de las optimizaciones con restricciones de igualdad:

1. Primero hay que encontrar los candidatos a óptimo. No obstante, en el camino realizado para encontrar los candidatos a óptimo, hay una diferencia respecto del caso anterior: mientras que, en los problemas cuyas restricciones eran de igualdad, las condiciones de primer orden eran necesarias para que cualquier punto sea un óptimo, en los problemas cuyas restricciones se plantean en forma de desigualdades, no hay condiciones necesarias únicas para cualquier situación. A lo que nos enfrentamos cuando resolvemos un problema de este tipo es a un conjunto de condiciones llamadas "condiciones Kuhn-Tucker", las cuales serán necesarias para la existencia de un candidato a óptimo solo si se cumple la calificación de todas las restricciones.

En cambio, si alguna de las restricciones no califica para algún punto que cumple con todas las restricciones, ese punto también se convierte automáticamente en un candidato a óptimo. La cuestión de la calificación de las restricciones es un tema para profundizar, sin embargo, aquí nos alcanza con saber que las restricciones lineales siempre califican. Por lo tanto, las condiciones de Kuhn-Tucker serán siempre necesarias si todas las restricciones son lineales.

2. Más tarde, lo que se debe hacer es averiguar cuál o cuáles de los candidatos son efectivamente óptimos. Para eso hay que observar el "teorema de suficiencia de Kuhn-Tucker" o el "teorema de suficiencia de Arrow-Enthoven", los cuales incluyen ciertos requisitos sobre la topología de las restricciones y de la función objetivo.

Teorema de suficiencia Kuhn-Tucker

Para garantizar que los candidatos a óptimo que vamos a hallar son, efectivamente, una solución al problema que acabamos de plantear, debemos primero verificar el cumplimiento de las condiciones de suficiencia. Para este propósito optamos por utilizar el herramental brindado por el "Teorema de Suficiencia de Kuhn-Tucker" (aunque también podríamos utilizar el de Arrow-Enthoven).

El teorema exige que respondamos las siguientes preguntas de manera afirmativa:

a) ¿La función objetivo es cóncava en el cuadrante positivo?

b) ¿La función g (α, β) = α+β es convexa en el cuadrante positivo? Efectivamente, los interrogantes se responden de manera afirmativa, por lo tanto, los puntos que satisfagan las condiciones Kuhn-Tucker serán máximos globales (dado que la calificación de las restricciones se cumple porque la única restricción presente es lineal).

Condiciones de Kuhn - Tucker

Estas condiciones sirven para comprobar si un punto dado es solución de un problema de la forma:

El cual es conocido como un problema de programación no lineal.

El lagrangeano para este problema se define como:

Las condiciones para este problema se definen de la siguiente manera :

a)

b)

Expresamos el desarrollo de Taylor de primer grado para f(x) en torno a :

Aquí sustituimos x=p, y, considerando:

Y despejando P tenemos:

El método de Newton consiste en tomar una aproximación inicial, , y a continuación obtener una aproximación más refinada mediante la fórmula de arriba. Es decir, se trata de acercarnos a la raíz p por medio de la fórmula recursiva:

Referencias

Mattig, F. (2015). Programación no lineal aplicada a problemas de decisión bajo incertidumbre. abril, 22, 2019, de economicas.uba

Sitio web: http://www.economicas.uba.ar/wp-content/uploads/2016/04/8-Programaci%C3%B3n-no- lineal-aplicada-a-problemas-de-decisi%C3%B3n-bajo-incertidumbre.-Francisco-Mattig.pd

Moreno, A. (2019). Condiciones de Kuhn - Tucker. abril, 22, 2019, de SITE-educa

Sitio web: https://gauss.acatlan.unam.mx/mod/book/view.php?id=16406&chapterid=

Gorostizaga, J. (2015). El método de Newton-Raphson. abril, 22, 2019, de Ehu.eus

Sitio web: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mn11b/temas/newton_ecuac.pdf

Programación no lineal aplicada a problemas de decisión bajo incertidumbre