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Facultad de Ingeniería
Departamento de matemática
PROYECTO 1
MATEMÁTICA INTERMEDIA 3
FECHA DE ENTREGA: VIERNES 29 DE SEPTIEMBRE DE 2023
El desarrollo de proyectos de grupo formado por 3 integrantes es importante para la formación del
estudiante, ya que le permite interactuar con sus compañeros en la solución de problemas, los
cuales requieren el uso de tecnología para su solución. Para resolver los problemas, el grupo de
estudiantes debe realizar un análisis matemático, así como realizar los cálculos utilizando el
software que consideren conveniente. Entre los programas que puede utilizar están: Scientific
Notebbok, Mathematica, Geogebra, etc. El informe debe ser presentado utilizando un procesador
de textos, en cuyo caso deben importarse los resultados del programa matemático o bien editando
completamente el informe con el editor que incluyen algunos programas como Scientific Notebook,
Mathematica, etc.:
Actividad Nota
Presentación (orden) 10
Investigación Teórica 30
Presentación (Diapositivas) 30
Video 30
1. INVESTIGACIÓN TEÓRICA
LEY DE TORRICELLI
Mediante la presente práctica el estudiante debe comparar la efectividad del cálculo
utilizando el modelo de vaciado de tanques mediante el método el modelo de Torricelli
con mediciones físicas en un recipiente con agua.
Si perforamos un agujero en un cubo lleno de agua,
el líquido sale con una razón gobernada por la ley de
Torricelli, que establece que la razón de cambio del
volumen es proporcional a la raíz cuadrada de la
altura dellíquido. La ecuación de la razón dada en la
figura mostrada a la derecha surge del principio de
Bernoulli de hidrodinámica que establece que la
cantidad 𝑃 +
1
2
2
- 𝜌𝑔ℎ es una constante. Aquí 𝑃 es la presión, 𝜌 es la densidad del
fluido, 𝑣 es velocidad y 𝑔 la aceleración de la gravedad. Comparando la parte superior del
fluido, a la altura ℎ con fluido en el agujero, tenemos que:
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Departamento de matemática
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
2
𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜
𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜
2
Si la presión en la parte superior y en el fondo son iguales a la presión atmosférica y el
radio del agujero es mucho menor que el radio del cubo, entonces:
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜
𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜
y 𝑣
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
= 0 , por lo que 𝜌𝑔ℎ = +
1
2
2
conduce a la ley
de Torricelli: 𝑣 = √ 2 𝑔ℎ. Puesto que
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜
𝑣, tenemos la ecuación diferencial
𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜
De acuerdo con lo anterior, la ley de Torricelli establece que cuando la superficie del agua
está a una altura ℎ, el agua se drena con una velocidad que tendría si cayera de manera
libre desde una altura ℎ (ignorando varias formas de fricción)
a. El tanque cónico de la figura mostrada con anterioridad tiene un radio de 30 cm,
cuando se llena hasta una profundidad inicial de 50 cm. Un pequeño agujero
redondo en el fondo tiene un diámetro de 1 cm. Determine 𝐴(ℎ) y 𝑎, luego resuelva
la ecuación diferencial 𝐴(ℎ) =
𝑑ℎ
𝑑𝑡
2 𝑔ℎ describiendo así en forma explícita
la altura del agua en función del tiempo.
b. Use la solución de (c) para predecir el tiempo que tardará el tanque en vaciarse
completamente.
c. ¿Qué se vaciará más rápido, el tanque con el agujero (el tanque del gráfico) o un
tanque cónico invertido con las mismas dimensiones, que se drena a través de un
agujero del mismo tamaño? ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse el tanque
invertido?
d. Busque un tanque de agua y calcule el tiempo que tarda en vaciarse. (Puede usar
una hielera grande). El tanque debe ser lo bastante grande como para tardar varios
minutos en vaciarse, y el agujero de drenado debe ser lo bastante grande como para
que el agua fluya con libertad. La parte superior del tanque debe estar abierta (de
modo que el agua no “succione”). Repita los pasos a) y b) para su tanque y compare
la predicción de la ley de Torricelli con sus resultados experimentales.
2. PRESENTACIÓN
Deben desarrollar una presentación por medio de Power Point, Canva, Genialy Prezi,
utilizando al menos 9 diapositivas donde se presenten el proceso de resolución del
experimento indicado en el inciso d), deben de participar los tres estudiantes.
Realizar un video de la presentación, anteriormente realizada, que dure un máximo de 15
minutos donde salgan todos los integrantes del grupo, con cámara encendida, y expliquen
