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Aplicación de ecuaciones diferenciales
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
1 / 12
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¡No te pierdas las partes importantes!
Proyecto # 1
Proyecto Matemática Intermedia 3
Presentación
Ejercicios resueltos
Ejercicio(s) calificado(s)
CALIFICACIÓN TOTAL
La elaboración de proyectos con el uso de algún software matemático sirve como
herramienta, en el vital desarrollo y aprendizaje de la tecnología que se tiene al
alcance y la manera en la que se aprovecha. Hoy día la comunidad científica, el
área de ingeniería, y en general todas las ciencias se apoyan de la tecnología para
avanzar en las investigaciones y proyectos con bases mejor estructuradas y mejor
esquematizadas. Por tal razón resulta indispensable para los estudiantes adquirir la
capacidad de relacionar los conocimientos adquiridos junto al software utilizado.
El actual proyecto se basa en la aplicación de las ecuaciones diferenciales, dando
paso al siguiente problema que consta de 5 fases que se resolvieron a través del
razonamiento lógico y el uso de la tecnología como herramienta útil.
Para realizar el proyecto se aplicaron los conocimientos adquiridos en clase para
encontrar las soluciones a los problemas propuestos, se realizó la solución del
problema por medio del programa de cómputo Scientific Notebook así como también
se utilizó el programa de geogebra para la graficación del problema.
interacción entre neuronas. Las ecuaciones diferenciales que se plantean para
resolver problemas de la vida real, no necesariamente son resolubles directamente,
es decir, sus soluciones no tienen una expresión en forma cerrada. Cuando sucede
esto, las soluciones se pueden aproximar usando métodos numéricos.
Muchas leyes de la física y la química se formalizan con ecuaciones diferenciales.
En biología y economía, las ecuaciones diferenciales se utilizan para el modelado
del comportamiento de sistemas complejos. La teoría matemática de las ecuaciones
diferenciales se desarrolló inicialmente con las ciencias donde las ecuaciones se
originan y donde se encontraron resultados para las aplicaciones. Sin embargo,
algunas veces se originan problemas diversos en campos científicos distintos, de los
cuales resultaban ecuaciones diferenciales idénticas. Esto sucedía porque, detrás
de la teoría matemática de las ecuaciones, puede verse un principio unificado detrás
de los fenómenos. Como por ejemplo, si se considera la propagación de la luz y el
sonido en la atmósfera, y de las ondas sobre la superficie de un estanque. Todos
estos fenómenos pueden describirse con la misma ecuación en derivadas parciales
de segundo orden, la ecuación de onda, la cual nos permite pensar a la luz y al
sonido como formas de onda, y en forma similar a las ondas en el agua. “La
conducción de calor”, la teoría que fue desarrollada por Joseph Fourier, está
gobernada por otra ecuación en derivadas parciales de segundo orden, la ecuación
de calor. Resulta que muchos procesos de difusión, aunque aparentan ser
diferentes, están descritos por la misma ecuación. La ecuación de Black-Scholes en
las finanzas, está por ejemplo, relacionada con la ecuación del calor.
Figura 1. Visualización de transferencia de calor en una cámara de una bomba,
creada resolviendo la ecuación de calor. El calor se genera internamente en la
cámara y se enfría en los bordes, dando un estado estacionario de distribución de
temperatura.
Fuente: Wikipedia, 2021.
Inciso C: Graficar, en un mismo plano cartesiano, las soluciones particulares de la
cantidad de sal en el tanque 1 [ 𝑥1(𝑡) ] y la cantidad de sal en el tanque 2 [ 𝑥2(𝑡) ].
Gráfica de las Funciones:
y
Gráfico 1. Soluciones gráficas de la cantidad de sal en los tanques A y B
Elaboración propia, 2021.
[𝑡→ ∞] de las gráficas del inciso C.
Cuando el sistema inicia (t=0), y como se indica en la gráfica del inciso “C” el tanque
1 contaba con 25 lb de sal “gráfica f” y el tanque 2 con 0 lb “gráfica g”, y a medida
que el tiempo va transcurriendo e ingresa agua pura al sistema, ambos depósitos en
el tiempo 13.73 min tendrán la misma cantidad de sal 9.62 lb, seguidamente el
tanque 2 tendrá más sal por un tiempo determinado porque toda la sal que contiene
el taque 1 pasará hacia el tanque 2 por fuerza mayor ya que es la única línea de
evacuación que continúa, posteriormente la sal inicial que tenemos en el tanque 1 y
tanque 2 llegará a 0 lb libras por el agua pura que ingresa al sistema. Por tal razón
se puede afirmar que la tendencia del tiempo al infinito significa que en el sistema
(ambos tanques), se quedaran sin sal.
Una ecuación diferencial es aquella que relaciona las variables independientes con la variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.
En definitiva el planteamiento y resolución de las ecuaciones diferenciales se construye a partir de ciertos pasos, estos comienzan con la identificación de las variables que ocasionan el cambio del sistema, así como la identificación de donde se incorporarán todas las variables en el modelo desde el comienzo, seguido de ese proceso se establece un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis acerca del sistema del sistema que se trata de describir; un sistema implica con frecuencia la rapidez de cambio o una razón de cambio de una o más variable. Una vez ya formulado el modelo matemático, se resuelve el sistema y se observa si se considera razonable si su solución es consistente con los datos o hechos conocidos a razón del comportamiento del sistema. Estos son algunos de los procesos que conlleva la resolución de un problema como el que se resolvió en este proyecto.
Uno de los factores claves para la resolución del proyecto fue el uso del razonamiento lógico, el trabajo en equipo y el aprovechamiento de los procesadores matemáticos con los que se cuentan hoy en día.
