¡Descarga Puntuaciones Estadística y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Publicado en: Morales Vallejo, Pedro (2008) Estadística aplicada a las Ciencias Sociales.
Madrid: Universidad Pontificia Comillas ([email protected])
Tipos de puntuaciones individuales
- Universidad Pontificia Comillas • Madrid • Facultad de Ciencias Humanas y Sociales ©Pedro Morales (última revisión, 9 de Septiembre de 2007)
Índice
- Las puntuaciones directas y su transformación .......................................................................... 3
- Proporción de respuestas correctas ............................................................................................. 4
- Puntuaciones diferenciales .......................................................................................................... 4
- Puntuaciones típicas .................................................................................................................... 4 4.1. Qué son las puntuaciones típicas .......................................................................................... 4
4.2. Propiedades de las puntuaciones típicas............................................................................... 6 4.3. Utilidad de las puntuaciones típicas ..................................................................................... 7 4.4. Puntuaciones tipificadas (puntuaciones típicas transformadas) .......................................... 10
- Percentiles ................................................................................................................................... 11
5.1. Concepto e interpretación .................................................................................................... 11 5.2. Cálculo de los percentiles .................................................................................................... 15 5.2.1. Cálculo directo ........................................................................................................... 15 5.2.2. Cálculo por interpolación ........................................................................................... 16
5.2.3. Cálculo de los percentiles mediante la representación gráfica de las frecuencias relativas acumuladas..................................................................... 17
- Puntuaciones normalizadas ......................................................................................................... 19 6.1. Puntuaciones típicas normalizadas ...................................................................................... 19
6.2. Puntuaciones típicas normalizadas y agrupadas: los estaninos y otras puntuaciones.......... 20 6.2.1. Los estaninos ........................................................................................................... 21 6.2.2. Las pentas ................................................................................................................ 23 6.2.3. Otras puntuaciones normalizadas ............................................................................ 23 6.3. Percentiles normalizados: cálculo de los percentiles a partir de la media y de la desviación típica ....................................................................... 25 6.4. Equivalencias de diversos tipos de puntuaciones en la distribución normal ....................... 27
- Puntuaciones típicas y sus puntuaciones derivadas: resumen ..................................................... 27
- Resumen del cálculo de las puntuaciones derivadas ................................................................... 28
las puntuaciones directas como sistemas o modos de calificación, pero la información que aportan puede ser también útil con esta finalidad.
2. Proporción de respuestas correctas
En el caso de tests de rendimiento (pruebas objetivas) una transformación sencilla de las puntuaciones directas consiste en calcular la proporción (porcentaje si multiplicamos por 100) de respuestas correctas. 20 respuestas correctas de un total de 25 es igual al 80 % de respuestas correctas (20/25 = .80); en cambio 20 respuestas correctas de un total de 50 es igual al 40 % de respuestas correctas (20/50= .40).
Esta proporción de respuestas correctas aporta una información sobre cada sujeto que no es relativa al grupo y es especialmente útil en exámenes y otras pruebas de rendimiento académico (pruebas tipo test), cuando va a seguir una calificación. Pero no siempre hay respuestas correctas en sentido propio (por ejemplo en un test de personalidad).
Otros tipos de puntuaciones que son relativas al grupo (como los percentiles ) son más útiles en otro tipo de medidas (tests de variables no cognitivas) y en cualquier caso, incluso en tests de rendimiento académico, aportan un tipo distinto de información que con frecuencia es de interpretación más útil y sencilla, o la única apropiada.
3. Puntuaciones diferenciales
Se denominan puntuaciones diferenciales a la diferencia entre cada puntuación directa y la media de su distribución.
Un símbolo frecuente de estas puntuaciones es x (equis minúscula) y también, para evitar confusiones con el símbolo de las puntuaciones directas (X, equis mayúscula), a veces se utiliza d:
x = d = (X - X )
Las puntuaciones superiores a la media tendrán signo positivo, y las inferiores tendrán signo negativo. Estas puntuaciones no suelen utilizarse como expresión habitual de resultados individuales, pero intervienen en el cálculo de las puntuaciones típicas (y de la desviación típica como ya se vio en su lugar).
4. Las puntuaciones típicas
4.1. Qué son las puntuaciones típicas
Una puntuación típica expresa en cuántas desviaciones típicas se aparta una puntuación individual de la media de su grupo.
Las puntuaciones típicas son por lo tanto puntuaciones diferenciales (diferencias con respecto a la media) expresadas tomando como unidad la desviación típica (σ). En las puntuaciones típicas sí se puede decir que hay una unidad, que es la desviación típica.
El símbolo de las puntuaciones típicas es z (zeta minúscula); también suelen denominarse simplemente puntuaciones zeta y a veces puntuaciones estandarizadas ( standard score en inglés). Su fórmula es:
puntuación típica (z) = desviacióntípica
puntuaciónobtenida-media
Y en símbolos convencionales z =
X − X
σ
[1]
El valor de z indica por lo tanto cuántas desviaciones típicas contiene la diferencia X- X (a cuántas desviaciones típicas equivale esa diferencia); la desviación típica es ahora nuestra unidad de medición; el dato individual lo expresamos en términos de desviaciones típicas por encima o por debajo de la media.
Por ejemplo imaginemos los resultados de tres sujetos (suponemos que la muestra es mayor) en un examen; la media es X = 10 y la desviación típica es σ = 2 (tabla 1)
puntuación directa X
desviación con respecto a la media: X -
puntuación típica z = (X - 10)/
12 12 - 10 = +2 2/2= + 1
10 10 - 10 = 0 0/2 = 0
8 8 - 10= -2 -2/2 = -
Tabla 1
La puntuación directa de estos tres sujetos ha quedado transformada en un nuevo valor.
En este ejemplo ya podemos ir viendo que:
a) Si un sujeto tiene un resultado igual a la media, su puntuación típica será igual a cero; al restar a todos la media, el que tenga como resultado personal la media se queda en cero. b) Todos los que tengan una puntuación directa superior a la media, tendrán una puntuación típica con signo positivo;
c) Todos los que tengan una puntuación directa inferior a le media, tendrán una puntuación típica con signo negativo.
Todos los datos quedan por lo tanto distribuidos en torno a una media = 0. El orden de los sujetos es naturalmente el mismo (el primero sigue siendo el primero, etc.), pero los valores absolutos son muy distintos.
Por lo general estos valores, de signo más y signo menos, tienen decimales (se suelen conservar dos decimales) y los valores extremos tienden a estar entre -3 y + 3 cualquiera que sea la magnitud de las puntuaciones originales; es muy difícil superar estos valores por encima o por debajo como veremos más adelante al hablar de la distribución normal.
Ya podemos ir intuyendo la utilidad de estas puntuaciones típicas, por ejemplo para comparar y valorar resultados individuales. De todas las puntuaciones derivadas, las puntuaciones típicas son probablemente las más interesantes y las más útiles. Un tema complementario y que ayudará a entender mejor la utilidad de las puntuaciones típicas es el de su relación con la distribución normal.
5º Si multiplicamos todas las puntuaciones directas por una constante, la desviación típica queda multiplicada por esa constante, porque en esa cantidad ha aumentado la diferencia con respecto a la media.
Lo vemos en este ejemplo:
grupo A: 8 10 12 media: 10 σ = 1. grupo B (= Ax2): 16 20 24 media: 20 σ = 3.
Al multiplicar por dos las puntuaciones del grupo A, la desviación típica (lo mismo que la media) también queda multiplicada por dos (1.63 x 2 = 3.26).
Estas dos propiedades son importantes porque nos permiten transformar las puntuaciones típicas en otras más cómodas; son las puntuaciones tipificadas que veremos más adelante.
6º En la distribución normal hay una relación exacta entre cada puntuación típica y el número de casos que caen por encima y por debajo de cada puntuación, o lo que es lo mismo:
a) En la distribución normal conocemos la probabilidad que tiene de ocurrir cada puntuación típica,
b) En la distribución normal a cada puntuación típica le corresponde siempre el mismo percentil (o proporción de sujetos o casos que caen por debajo de esa puntuación).
En estas propiedades radican muchas de las ventajas y de los usos de estas puntuaciones y de sus puntuaciones derivadas, que veremos a continuación, como son las puntuaciones tipificadas y las puntuaciones normalizadas.
4.3. Utilidad de las puntuaciones típicas
- Al traducir todas las puntuaciones directas a puntuaciones típicas tenemos una única escala métrica cualquiera que sea la magnitud de las puntuaciones originales, por lo que podemos comparar unos resultados con otros con más objetividad y realismo que las puntuaciones directas. Podemos comparar, por ejemplo, peso con altura (¿qué es más, 58 Km. de peso ó 1.69 m de altura?) o 20 respuestas correctas en un examen de 30 preguntas con otro resultado de 20 respuestas correctas en un examen de 50 preguntas.
Como en las puntuaciones típicas la media es siempre 0 y la desviación típica es siempre 1 las puntuaciones superiores a la media son positivas, y las puntuaciones inferiores a la media son negativas. Una puntuación que coincida con la media del grupo, equivale siempre a una puntuación típica de cero.
Todo tipo de puntuación, cualquiera que sea la unidad original, queda transformado en un sistema común; por lo tanto se puede comparar todo con todo: resultados de exámenes con niveles de dificultad muy distintos, calificaciones puestas con criterios de exigencia distintos, etc. y también resultados que provienen de instrumentos distintos cuyas puntuaciones directas no serían comparables (por ejemplo si el número de preguntas es distinto, o si una es una prueba objetiva y otra una prueba abierta, etc.).
- Concretamente en el caso de exámenes (y en otros casos, pero el ejemplo de los exámenes es muy claro) las puntuaciones típicas reflejan mejor dónde está un sujeto independientemente de la facilidad o dificultad del examen.
Tenemos por ejemplo estos datos de dos exámenes de 20 preguntas (con distinta media e idéntica desviación típica):
examen fácil examen difícil media: 18 8 desviación típica 1.6 1.
Un alumno que en el examen fácil tenga 13 respuestas correctas tendrá esta puntuación típica:
z =
No es un mal resultado en términos absolutos (65% de respuestas correctas) pero la puntuación típica es muy baja; no sabe lo que sabe la mayoría de sus compañeros.
Un alumno que en el examen difícil también tenga 13 respuestas correctas tendrá esta puntuación típica:
z =
Tiene también un 65% de respuestas correctas, pero la puntuación típica es muy alta; este alumno sabe lo que no sabe la mayoría de sus compañeros.
Estas puntuaciones típicas reflejan mejor lo que saben estos alumnos teniendo en cuenta la facilidad o dificultad del examen.
Vamos a verlo con un ejemplo real: 48 alumnos responden a tres supuestos exámenes; cada examen consta de 8 preguntas, que son los nombres de otras tantas ciudades; los alumnos tienen que responder escribiendo el país donde está cada ciudad. En un examen se trata de ciudades fáciles, en otro de ciudades menos fáciles y en el tercero de ciudades pretendidamente difíciles.
En la tabla 3 tenemos las distribuciones de frecuencias, la media y desviación de cada examen y la puntuación típica que corresponde a cada resultado en cada uno de los tres exámenes^1.
1. Ciudades más fáciles 2. Ciudades menos fáciles 3. Ciudades difíciles X frecuencia z 8 ||||||| 8 +1. 7 ||||| 5 +0. 6 |||||||||||||| 14 +0. 5 |||||||||||| 12 -0. 4 ||||||| 7 -1. 3 | 1 -1. 2 | 1 -2. 1 0
X frecuencia z 8 7 | 1 +3. 6 5 4 |||| 4 +1. 3 |||||| 6 +0. 2 ||||||||||| 11 +0. 1 ||||||||| 9 -0. 0 ||||||||||||||||| 17 -0.
X frecuencia z 8 7 6 5 4 3 | 5 +5. 2 1 ||| 3 +1. 0 |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 44 -0. Media = 5.75 σ = 1.436 Media = 1.50 σ = 1.527 Media = 0.125 σ = 0. Tabla 3
Qué podemos observar en estos datos.
Al menos podemos fijarnos en que la puntuación típica más alta es z = 5.99 en el examen más difícil: saber tres ciudades difíciles es mucho más que saber las ocho fáciles (z = 1.57), e incluso conocer una sola ciudad difícil (z = 1.82) supone más que conocer las ocho fáciles. También conocer donde están cuatro ciudades de las menos fáciles (z = 1.64) es más que conocer todas las fáciles. Si nos fijamos en las
(^1) Ciudadades más fáciles: Londres, Oporto, Venecia, Canberra, Dublín, Milán, Coimbra y Bruselas
Ciudades menos fáciles: Montreal, Toronto, Madrás (ahora Chennai), Macao, Yakarta, Bucarest, Praga y Orán Ciudades difíciles: Iquitos, Manaos, Zamboanga, Sanaa, Cahabón, Chichicastenango, Champerico y Kuala- Lampur (Iquitos está en Perú, Manaos es la capital de la amazonía brasileña, Zamboanga está en la isla filipina de Zamboanga, Sanaa es la capital del Yemen, Kuala-Lampur es la capital de la Federación Malaya, y Cahabón, Chicicastenango y Champerico no tienen especial dificultad si se conoce Guatemala).
y -1 puntuaciones típicas (entre esos límites se puede considerar que está aproximadamente la normalidad estadística), y puntuaciones que superen +2 o no lleguen a -2 son aproximadamente el 5%. Prácticamente el 100% de los casos está comprendido entre z = +3 y z = -3. En un ejemplo puesto antes, 13 respuestas correctas en el examen fácil es un resultado atípicamente bajo , y en el examen difícil es un resultado atípicamente alto. En los exámenes de ciudades de la tabla 3, conocer 7 ciudades de las menos fáciles o 3 de las más difíciles son resultados anormalmente altos.
- Las puntuaciones típicas pueden ser un buen marco de referencia (aunque no necesariamente) para establecer criterios de calificación, pero teniendo siempre en cuenta que se trata de puntuaciones relativas al grupo, por lo que es discutible utilizarlas para establecer el nivel mínimo para el apto (que es preferirle determinar con otros criterios; el que sabe menos puede saber lo suficiente). Es menos cuestionable su uso para asignar las calificaciones más altas (una puntuación típica en torno a +2, e incluso menor, indica ya un resultado excelente para lo que de hecho da de sí un determinado grupo).
- Para interpretar debidamente las puntuaciones típicas hay que tener en cuenta de qué tipo de datos se trata: no es lo mismo número de respuestas correctas en una prueba objetiva que las calificaciones puestas por el profesor al corregir un examen abierto, notas, etc.
En principio estos cálculos son de interpretación más clara cuando están hechos a partir de puntuaciones o resultados directos más que cuando los números expresan calificaciones o juicios de valor.
4.4. Puntuaciones tipificadas (puntuaciones típicas transformadas)
Las puntuaciones tipificadas son puntuaciones derivadas de las puntuaciones típicas. El símbolo general de las puntuaciones tipificadas es Z (zeta mayúscula); algunas puntuaciones tipificadas tienen sus símbolos particulares.
Las puntuaciones típicas son incómoda s para expresar resultados porque:
a) siempre, o casi siempre, tienen decimales, b) Más o menos la mitad de las puntuaciones típicas con signo negativo (todas las inferiores a la media).
Por estas razones, y sobre todo para poder expresar resultados de tests de manera más fácilmente comprensible, suelen transformarse en otras puntuaciones más cómodas.
Se trata de una transformación linear, cuya fórmula genérica es
Z = (z • a) + b [2] donde a y b son dos constantes.
Un símbolo frecuente de estas puntuaciones es Z (zeta mayúscula). Es decir, todas las puntuaciones típicas:
1º Se multiplican por una cantidad constante (a) y así se eliminan los decimales (estas puntuaciones se redondean y se expresan sin decimales); 2º Se les suma una cantidad constante (b) y así s e elimina el signo menos.
Entre las puntuaciones tipificadas son muy utilizadas las puntuaciones T:
T = 10z + 50 [3]
También es frecuente hacer estas transformaciones: Z = 20z + 100 Z = 15z + 100 Z = 100z + 500
Al tipificar una serie de puntuaciones, automáticamente tenemos una nueva media y una nueva desviación típica, que son siempre las mismas cualquiera que sea la escala métrica de las puntuaciones directas originales:
- La nueva media es igual a la constante que se suma a todas las puntuaciones.
Un sujeto cuya puntuación directa coincidiera con la media de la distribución, tendría z = 0, y su puntuación T sería 10(0) + 50 = 50; si la constante que se suma es 100, la media sería 100, etc.
- La nueva desviación típica es igual a la constante por la que se han multiplicado las puntuaciones típicas.
Un sujeto cuya puntuación directa supere en una desviación típica a la media, tendría una puntuación típica de z = 1, y su puntuación T sería T = 10(1) + 50 = 60 (la media, 50, + 1σ = 50 +10).
Podemos establecer que los valores de la media y de la desviación sean los que queramos. Si deseamos transformar las puntuaciones de manera que la media sea 20 y la desviación típica valga 5, tendremos que Z = 5z + 20, etc.
Lo mismo que en las puntuaciones típicas, a cada puntuación tipificada le corresponde en la distribución normal el mismo percentil.
Las puntuaciones tipificadas resultan mucho más fáciles de interpretar que las puntuaciones directas, sobre todo cuando se trata de tests. Si los resultados de un test de inteligencia se han transformado de esta manera (como es frecuente) Z = 20z + 100:
Un sujeto con una puntuación de 100 está en la media (porque a la media le corresponde una z igual a 0; (20)(0)+100 = 100). Un sujeto que tenga 160 supera a la media en tres desviaciones típicas (100 +20 +20 +20); (que es ya excepcional)
Un sujeto que tenga 60 (100 - 20 -20) está a dos desviaciones típicas por debajo de la media, y ya se va apartando mucho de la normalidad.
5. Percentiles
5.1. Concepto e interpretación
1º Los percentiles indican el tanto por ciento de sujetos que están por debajo de cada puntuación.
Los percentiles son por lo tanto fáciles de interpretar, de entender y de comunicar. Si un sujeto con una puntuación de 19 (en un test, en una prueba objetiva, etc.) supera al 45% de su grupo:
La puntuación 19 es el percentil 45 (P 45 ), Del sujeto se dice que tiene un rango percentil de 45. El percentil indica la posición relativa del sujeto en el grupo, y en sentido propio no se trata de una puntuación porque no está referido al rasgo o variable que se ha medido; no hay una unidad : entre dos percentiles contiguos no hay la misma distancia en aquello que estamos midiendo. Así si un sujeto en un examen está en el Percentil 80, no podemos decir que sabe el doble del que esté en el Percentil 40, sino que tiene por debajo el doble número de sujetos.
Los percentiles por lo tanto indican la posición relativa de un sujeto en su grupo, sin referencia a
a) La desviación semi-intercuartílica Q es la medida de dispersión que se utiliza cuando la medida de tendencia central es la mediana. Mide la dispersión en el 50% central de la muestra. Lo podemos ver con los datos concretos de un test en la figura 1.
25% más alto
25%
25%
50% central (^) 4. 47 2
- 15 27. 2 = − Q =
25% más bajo
Puntuación más alta 48
Q 3 (Percentil 75) 36.
Mediana (Percentil 50) 32
Q 2 (Percentil 25) 27.
Puntuación más baja 11
Figura 1 b) Tanto los deciles como los cuartiles se calculan por el método de interpolación que veremos más adelante. c) Los valores de Q 1 y Q 3 se calculan con decimales cuando se van a utilizar en el cálculo de Q.
d) La mediana y Q, como medidas de tendencia central y dispersión, se utilizan preferentemente con distribuciones muy asimétricas y en cualquier caso son medidas descriptivas complementarias, aunque menos utilizadas que la media y la desviación típica; e) La mediana y Q, como medidas de tendencia central y dispersión, son especialmente útiles siempre que se prefiera que sujetos con puntuaciones muy extremas no influyan en las medidas de tendencia central y de dispersión porque en su cálculo sólo se tiene en cuenta el 50% central de la muestra.
5º Una limitación importante es que entre percentil y percentil no hay una unidad constante en sentido propio y referida a aquello que se está midiendo.
Del Percentil 95 al 90 no hay la misma distancia que del Percentil 45 al 40; sí hay una proporción igual de sujetos (un 5%), pero no una cantidad de ciencia (o de otra variable o rasgo) igual. Por la misma razón no se puede afirmar que el que esté en el Percentil 80, si se trata de un test de conocimientos, sabe el doble del que esté en el Percentil 40 (o que es el doble de neurótico si se trata de un test de neuroticismo). De hecho las distancias en la variable medida son mucho mayores entre los percentiles extremos (muy altos o muy bajos) que entre los percentiles del centro de la distribución (entre el Percentil 80 y el 85, o entre el 10 y el 15, hay más distancia que entre el Percentil 40 y el 45).
Al no haber una unidad no se pueden sumar y calcular percentiles medios pues se prestan a interpretaciones equívocas. Si los diversos percentiles son muy parecidos, la información del percentil medio ofrece menos distorsión, pero en principio no se deben hacer manipulaciones aritméticas con los percentiles porque se trata de puntuaciones ordinales; para hacer operaciones aritméticas con los percentiles se deben convertir antes en puntuaciones típicas (que a su vez se pueden después convertir en percentiles según la distribución normal).
Una manera de entender o más bien de visualizar que entre percentiles contiguos no hay una unidad en sentido propio es imaginarlos como una escalera de peldaños de altura desigual: los peldaños de los extremos (los más altos y los más bajos) son mayores, de mayor altura que en el centro. Esto se entiende mejor al ver la relación entre percentiles y puntuaciones típicas en la distribución normal.
6º En la distribución normal existe una correspondencia exacta entre percentiles y puntuaciones típicas.
En la distribución normal, a cada percentil le corresponde siempre la misma puntuación típica. El que por ejemplo supere a la media en una desviación típica (z = 1), estará en el Percentil 84 (aproximadamente).
z -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -.50 0 +.50 +1.0 +1.5 +2.0 +2.5 +3. Percentil^2 7 16 50 84 93 ← 2 → percentiles
percentiles
percentiles
percentiles
percentiles
percentiles
Tabla 5 En la tabla 5 podemos ver: 1º Cómo a una puntuación típica de z = 0 (la media), le corresponde el percentil 50 (caen por debajo el 50% de los sujetos); a una z = 1, le corresponde el percentil 84 (caen por debajo el 84% de los sujetos), etc.; en las tablas de la distribución normal podemos encontrar los percentiles exactos para cada puntuación típica. 2º Cómo los percentiles se acumulan en el centro de la distribución; por ejemplo, entre z = 0 y z = 1 hay 34 percentiles, en cambio entre z = +1 y z = +2 hay 14 percentiles, y por encima de z = +2 (como por debajo de z = -2) solamente hay dos percentiles. La misma cantidad (de lo que se esté midiendo) está repartida de manera desigual; dicho en términos simples, los percentiles extremos tocan a más (como se puede observar en la tabla 5). Esto es lo que quiere decir que entre los percentiles no hay una unidad, y que la distancia entre percentil y percentil en aquello que se mide (no en número de sujetos) es mayor en los extremos de la distribución. Un percentil más o un percentil menos por el centro de la distribución, no supone una diferencia importante, pero sí en los extremos. Por esta razón en la interpretación de los tests (por ejemplo de personalidad) hay que prestar más atención a los percentiles extremos.
En la figura 2 podemos ver también (gráficamente y de manera aproximada) cómo una misma diferencia en percentiles no corresponde a diferencias iguales en puntuaciones típicas, donde sí cabe hablar de una unidad (la desviación típica).
z = +1.65 Percentil 95
.97 σ 20 percentiles
z = +0.68 Percentil 75
.55 σ 20 percentiles
z = +0.13 Percentil 55
Figura 2
Entre los percentiles 95 y 75 existe la misma diferencia en percentiles que entre los percentiles 75 y 55, pero si substituimos los percentiles por las puntuaciones típicas que les corresponden, las diferencias son muy desiguales. Del percentil 75 al 95 hay una distancia mayor que del percentil 55 al 75 cuando utilizamos como unidad la desviación típica.
i = Valor o amplitud del intervalo; aquí i = 3 porque las puntuaciones están agrupadas de tres en tres. Si las puntuaciones estuvieran sin agrupar (una sola puntuación en cada intervalo) tendríamos i =1. No hay que confundir el número de intervalos (10 en este caso), con el valor del intervalo (que interviene en algunas fórmulas, como en el cálculo de percentiles por interpolación). f = Frecuencia, o número de casos en cada intervalo. fa = Frecuencias acumuladas: se van sumando las frecuencias de abajo arriba. La frecuencia acumulada en el intervalo superior debe ser igual al número de sujetos (es útil caer en la cuenta para detectar posibles errores; en este caso N = 40 = fa en el intervalo más alto). fam = Frecuencias acumuladas al punto medio; a cada frecuencia acumulada se le resta la mitad de su f correspondiente. También se calculan a veces los percentiles a partir de las frecuencias acumuladas (P = [fa/N] 100), pero lo convencional es hacerlo a partir de las frecuencias acumuladas al punto medio. La razón de hacerlo así es porque suponemos que cada uno de los que están en cada intervalo (si pudiéramos matizar mucho la medición) superan a la mitad de los que tienen idéntica puntuación y tienen por encima a la otra mitad. Se supone que los que aparecen igualados en realidad son distintos y así aparecerían con medidas de mayor matiz. P = Percentil, o tanto de por ciento de sujetos que caen debajo de cada puntuación. Los percentiles se redondean y se presentan sin decimales. Los percentiles se presentan sin decimales. Un sujeto con una puntuación directa (número de respuestas correctas, suma de todas sus respuestas, etc.) que esté entre 26 y 28, tiene un rango percentil de 72, o tiene por debajo (supera) al 72% del grupo en el que se han calculado los percentiles.
5.2.2. Cálculo por interpolación
Con frecuencia interesa conocer el valor de determinados percentiles; por ejemplo: La mediana o P 50 , y los percentiles 75 y 25 (P 75 o Q 3 y P 25 o Q 1 ) como datos descriptivos o para calcular la medida de dispersión Q, Los decile s (P 10 , P 20 , P 30 , etc. también simbolizados como D 1 , D 2 , D 3 , etc.) para simplificar la interpretación de un test. El cálculo directo de los percentiles no suele darnos estos valores a no ser que un sujeto los haya obtenido, por lo que es necesario hacer el cálculo por interpolación.
El procedimiento puede parecer complicado a primera vista, pero es muy simple si se procede con orden. Podemos verlo con un ejemplo (tabla 7).
X f fa 20 | 19 ||| 18 |||| (^17) |||||||| 16 |||||||||| 15 |||||||||||| (^14) || 13 |||||| 12 |||||| (^11) |||| 10 ||
1 3 4 8 10 12 2 6 6 4 2
58 57 54 50 42 32 20 18 12 6 2
Tabla 7
Vamos a calcular, por ejemplo, el Percentil 75. Corresponderá a la puntuación que deje por debajo al 75% de la muestra.
1º Calculamos el número de sujetos que necesitamos. El 75% de 58 es igual a (58)(.75) = 43.5. El Percentil 75 será la puntuación que deje por debajo a 43.5 sujetos o 75% de 58.
2 º Buscamos en las frecuencias acumuladas, el número de sujetos que necesitamos, que son 43.5 En este caso, como ninguna puntuación deja por debajo a 43.5 sujetos, localizamos la frecuencia acumulada inmediatamente inferior a la que vamos buscando, que es 42; en la siguiente, que es 50, ya nos hemos pasado.
3º Identificamos el límite superior de la puntuación que corresponde a la frecuencia acumulada localizada en el paso 2º; en este caso el percentil 75 tendrá un valor de por lo menos 16. (sumamos medio punto, .5, al valor superior del intervalo). 4º Calculamos el número de sujetos que todavía nos faltan. Tenemos 42 y necesitamos 43.5, por lo tanto nos faltan 1.5 sujetos (= número de sujetos que necesito [paso 1º] menos número de sujetos que tengo [paso 2º]). 5º Del intervalo siguiente tomamos la parte proporcional de sujetos que necesitamos; para esto dividimos el número de sujetos que nos faltan por la frecuencia (o número de sujetos) del intervalo inmediatamente superior : 1.5/8 =. 6º Esta cantidad la multiplicamos por el valor del intervalo. El valor del intervalo es igual al número de puntuaciones que hay en cada intervalo; en este caso este valor es igual a 1 porque las puntuaciones van de una en una. Si estuvieran agrupadas de dos en dos (9-10, 11-12, etc.) el valor del intervalo sería igual a dos. 7º La cantidad calculada en el paso anterior la sumamos al límite superior del intervalo inferior al que contiene el percentil buscado (paso 3º), con lo que el valor del Percentil 75 será igual a 16. +.1875 = 16.69.
Expresando todas las operaciones hechas tendríamos que: P 75 = 16.5 + ⎥
⎛ −^
Si vamos a utilizar este valor para interpretar las puntuaciones de un test o como dato descriptivo, redondeamos los decimales y obtendremos P 75 = 17. Si vamos a utilizar este valor para otros cálculos (por ejemplo para calcular le valor de Q), dejamos los decimales. La fórmula de los percentiles calculados por interpolación podemos expresarla tal como se indica en la figura 3
Percentil
Cálculo por interpolación
=
Límite superior del intervalo correspondiente a la frecuencia acumulada inferior al número de sujetos que necesitamos Paso 3º
+ númerodesujetosenelintervalosuperior
númerodesujetosquetodavíanosfaltan
Paso 5 º
x
valor del intervalo
Paso 6 º
Figura 3
5.2.3. Cálculo de los percentiles mediante la representación gráfica de las frecuencias
relativas acumuladas
Una representación gráfica frecuente de las puntuaciones directas es la de las frecuencias relativas acumuladas. La utilidad de esta representación gráfica está en que permite un localizar de manera muy aproximada, sin hacer ningún cálculo, los percentiles correspondientes a cada puntuación directa o a cada intervalo.
Posiblemente es preferible calcular los percentiles directamente, sin ayuda de gráficos, dada la facilidad de cálculo que permiten las calculadoras y programas de ordenador. Aun así este método puede ser útil, sobre todo cuando los sujetos son muchos; utilizando papel milimetrado da resultados muy
(en el ejemplo se ha hecho con rectas y sólo de manera aproximada). Si la distribución es simétrica el gráfico tenderá a tener la forma de una S.
Observando el gráfico que nos sirve de ejemplo puede verse cómo se calculan los percentiles, sin necesidad de operaciones. Basta con trazar desde cualquier percentil (los porcentajes del eje vertical) una paralela al eje X de las puntuaciones directas, y desde donde esta paralela corta la curva se traza una perpendicular al eje X, que nos indicará la puntuación directa correspondiente al percentil buscado.
En este caso la mediana (o percentil 50) es igual a 61: los que tienen una puntuación de 61 superan al 50% del grupo.
100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 38.5 41.5 44.5 47.5 50 .5 53.5 56.5 59.5 62.5 65.5 68.5 71.5 74.5 77.
Q
2
= P
25
Q
3
= P
75
M = P
50
Figura 4: Gráfico de las frecuencias relativas acumuladas (ojiva)
6. Puntuaciones normalizadas
Las puntuaciones normalizadas equivalen a las puntuaciones (típicas o tipificadas, o percentiles) que habría si la distribución fuera normal. Por eso mismo se denominan normalizadas : se supone que la distribución es normal. Si de hecho la distribución original se aparta mucho de la distribución normal, es discutible hacer esta transformación. Frecuentemente la distribución observada es parecida a la normal, y aumentando el número de sujetos podemos suponer que la distribución sería estrictamente la normal.
Las puntuaciones normalizadas pueden ser o puntuaciones típicas o percentiles. Lo más frecuente es que se trate de puntuaciones típicas (o de sus puntuaciones derivadas), pero los percentiles normalizados pueden ser sumamente útiles en ocasiones
6.1. Puntuaciones típicas normalizadas
El proceso de cálculo es semejante al cálculo directo de los percentiles; realmente seguiremos el mismo proceso, con la deferencia final de que no utilizaremos el percentil sino la puntuación típica asociada a cada percentil en la distribución normal.
1º Se calcula la proporción de sujetos que caen debajo de cada puntuación. Esta proporción de sujetos se calcula así para cada puntuación:
Proporción de sujetos que caen por debajo de cada puntuación =^ númerodesujetos
frecuencia acumuladaalpuntomedio
N
fam
Si multiplicáramos esta proporción por cien, tendríamos el percentil (cálculo directo). En ocasiones también se utiliza fa/N, o frecuencia acumulada (no al punto medio) dividida por N, pero posiblemente es preferible calcular fam/N, tal como se hace en el cálculo habitual de los percentiles (con un número muy grande de sujetos los resultados son casi los mismos); la convención más aceptada es utilizar frecuencias acumuladas al punto medio. Por qué acumulamos las frecuencias al punto medio está explicado al tratar del cálculo directo de los percentiles.
Para hacer los cálculos disponemos los datos como figuran en la tabla 9 (que es semejante a la tabla 8; aquí utilizamos un ejemplo ficticio, N = 10).
X f fa fam fam/N 40 2 10 9. 39 4 8 6. 38 3 4 2.5. 37 1 1 0.5. Tabla 9 En esta tabla 9: X = puntuaciones directas f = frecuencia o número de casos fa = frecuencias acumuladas fam = frecuencias acumuladas al punto medio (fa-f/2) fam/N = fam dividido por el número de sujetos (N)
El procedimiento lo veremos con más detalle y con un ejemplo más amplio al ver el cálculo directo de los percentiles, pero ya podemos adelantar que:
a) Las frecuencias acumuladas divididas por el número de sujetos (fam/N) indican la proporción de sujetos que caen debajo de cada puntuación directa.
b) Si multiplicamos estas proporciones por 100, tenemos el tanto por ciento de sujetos superados por cada puntuación: en este ejemplo el que tuviera una puntuación directa de 39 supera al 60% de sujetos del grupo; la puntuación 39 corresponde en este caso al percentil 60. También es frecuente denominar percentil a la proporción (sin multiplicar por 100). Una vez conocida la proporción de sujetos que caen debajo de cada puntuación, se consulta en las tablas de la distribución normal a qué puntuación típica corresponde esa proporción.
Por ejemplo: un sujeto con una puntuación directa de 38 (en la tabla 9) supera a una proporción de sujetos del .25 (ó 25%). En las tablas de la distribución normal una proporción de .25 corresponde a una puntuación típica de z = -.68: esta puntuación típica es ya una puntuación típica normalizada: es la que correspondería a una puntuación directa de 38 si la distribución fuera normal.
6.2. Puntuaciones típicas normalizadas y agrupadas: los estaninos y otras puntuaciones
Un tipo de puntuaciones muy utilizado consiste en:
1º Agrupar estas puntuaciones típicas en intervalos; el criterio para hacer esta agrupación suele ser el que en cada intervalo tengamos una misma magnitud en desviaciones típicas. 2º Numerar estos intervalos de manera consecutiva, y esta numeración es la nueva puntuación normalizada, y así tenemos los estaninos, pentas, etc.
Con estas agrupaciones minimizamos pequeñas diferencias inter-individuales y reducimos el número total de puntuaciones distintas; hacemos más manejable el uso e interpretación de las puntuaciones de un test.
Las puntuaciones normalizadas (y las tipificadas) se utilizan mucho en la interpretación de tests, en evaluaciones de diverso tipo, como dato previo para pensar en una calificación convencional, etc.
