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Cap´ıtulo 2
Razones Trigonom´etricas en el
Tri´angulo Rect´angulo
En este cap´ıtulo el ´angulo α que aparezca debe satisfacer:
0 < α < 90 ◦^ o 0 < α < π 2
2.1. Definiciones
a A
B P
O Q Figura 3
Sea el ´angulo AOB de medida α y tracemos una per- pendicular P Q al lado OA, form´andose as´ı un tri´angulo rect´angulo OP Q (Figura 3). A OQ y P Q se les acostumbran llamar catetos y a OP la hipotenusa.
Se definen las razones trigonom´etricas como
sen α =
cateto opuesto a α hipotenusa
P Q
OQ
, seno de α
cos α = cateto adyacente a α hipotenusa
OP
OQ
(coseno de α)
tg α = cateto opuesto a α cateto adyacente a α
P Q
OP
(tangente de α)
cotg α =
cateto adyacente a α cateto opuesto a α
OP
P Q
( cotangente de α)
Razones Trigonom´etricas en el Tri´angulo Rect´angulo 4
sec α = hipotenusa cateto adyacente a α
OQ
OP
(secante de α)
cosec α = hipotenusa cateto opuesto a α
OQ
P Q
(cosecante de α)
Ejemplo.
a
8
(^106)
A B
C Sea el tri´angulo ABC rect´angulo en B. Sea sus catetos AB=8cm y BC=6cm. Notemos de inmediato que la hipotenusa mide 10cm pues: 82 + 6^2 = 10^2 , as´ı:
sen α =
= 0, 6 cos α =
tg α =
= 0, 75 · · · cotg α =
sec α =
= 1, 25 · · · cosec α =
2.2. Observaciones
a A
B P
O Q
P
Q
Figura 4
Sea P ′Q′^ una perpendicular a OA, distinta a P Q (Figura 4). Demostraremos que la raz´on seno no var´ıa. De la geometr´ıa elemental 4 OP Q ∼ 4 OP ′Q′^ ,por tanto OP OP ′^
P Q
P ′Q′^
OQ
OQ′^
,de aqu´ı que
sen α =
P Q
OP
P ′Q′
OP ′^
relaci´on que establece que es indiferente usar P Q o P ′Q′, puesto que se obtiene el mismo valor para sen α.
- (Tarea para ud.)
a A
B P
O (^) Q P
Q
Figura 5
Si consideramos una perpendicular al lado OB en vez de una perpendicular al lado OA (Figura 5). Demuestre usted que sen α =
P Q
OP
P ′Q′
OP ′
Razones Trigonom´etricas en el Tri´angulo Rect´angulo 6
2.4. Razones de ´angulos especiales
Vamos a llamar ´angulos especiales a 30◦,45◦^ y 60◦.
Para ver las razones trigonom´etricas de 30◦^ y 60◦^ tomemos un tri´angulo equil´atero de lado (l = 2)
6
3
0
0 °
°
2 2
1 1
3
Figura 6
sen 30 ◦^ =
= cos 60 ◦^ cos 30 ◦^ =
= sen 60 ◦
tg 30 ◦^ =
√^1
= cotg 60 ◦^ cotg 30 ◦^ =
3 = tg 60 ◦
sec 30 ◦^ =
= cosec 60 ◦^ cosec 30 ◦^ =
= sec 60 ◦
Para 45◦, considere el tri´angulo notable:
5 °
2
1
1
4
Figura 6
sen 45 ◦^ =
= cos 45 ◦
tg 45 ◦^ = 1 = cotg 45 ◦
sec 45 ◦^ =
2 = cosec 45 ◦
Casos l´ımites Llamamos casos l´ımites a los ´angulos: 0◦^ y 90◦
a
P
Q
O Figura 7
Con la Figura 7 y recordando las definiciones de las razones trigonom´etricas, en forma intuitiva, podemos asumir que para sen α =
P Q
OQ
; para α tan peque˜no como se quiera OQ 6 = 0 ∧ P Q se achica tanto como se quiera, es decir sen 0 ◦^ = 0. Con el mismo razonamiento obtenemos cos 0 ◦^ = 1 , tg 0 ◦^ = 0 y sec 0 ◦^ = 1.
Notemos que para el caso de la tangente tg α =
P Q
OP
y α aproximandose a 90◦^ tanto co- mo se quiera P Q, crece indefinidamente mientras que OP se mantiene constante, es por esto que se acostumbra a expresar que: tg 90 ◦^ = +∞ o bien que tg 90 ◦^ no esta definida. Aceptemos ahora sin previa definici´on rigurosa +∞ simplemente como un s´ımbolo, es decir una abreviatura de lenguaje.
Sin mas, aceptemos las siguientes definiciones
Razones Trigonom´etricas en el Tri´angulo Rect´angulo 7
sen 90 ◦^ = sen π 2 = 1 sec 90 ◦^ = sec π 2
cos 90 ◦^ = cos π 2 = 0 cotg 90 ◦^ = cotg π 2
tg 90 ◦^ = tg π 2 = +∞ cosec 90 ◦^ = cosec π 2
2.5. Identidades fundamentales
Recordemos que una identidad matem´atica es una igualdad que siempre es v´alida, para todos los valores que puedan tomar las “variables”involucradas.
Ejemplo. x^2 − y^2 = (x + y)(x − y); ∀ x, y ∈ R
Teorema 1. ∀α : 0 < α < 90 ◦, se verifican:
sen^2 α + cos^2 α = 1 (1) 1 + tg^2 α = sec^2 α (2)
1 + cotg^2 α = cosec^2 α (3) sen α · cosec α = 1 (4)
cos α · sec α = 1 (5) tg α · cotg α = 1 (6)
tg α = sen α cos α (7) cotg α = cos α sen α
Nota:
sen^2 α = (sen α)^2 , sen^2 α 6 = sen α^2 = sen (α^2 ) cos^2 α = (cos α)^2 · · · etc.
Demostraci´on.
Dado el ´angulo α, en el tri´angulo rect´angulo de la Figura 8.
a A
B
a
b C
c
Figura 8
Del teorema de Pit´agoras se tiene que
a^2 + b^2 = c^2 como c > 0 (a c
b c
(sen α)^2 + (cos α)^2 = 1 lo que es igual a sen^2 α + cos^2 α = 1
