Análisis de la continuidad de una función: Propiedades y aplicaciones, Diapositivas de Matemáticas

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Continuidad. Discontinuidad.

Situación problemática En el Perú y en América del Sur los contagios por Covid 19 han ascendido rápidamente, ha sido muy complicado poder contralar este contagio. Podemos apreciar en la gráfica un continuo ascenso de contagios por millón de personas en cada país. ¿Puedes indicar que país tuvo el mayor contagio al día 31?

LOGRO

Al finalizar la sesión, el

estudiante analiza el

comportamiento de funciones

continuas o discontinuas

haciendo uso de sus propiedades

en un contexto real de forma

coherente.

Temario CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COTINUIDAD DE UNA UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO «a» CUMPLE LAS SIGUIENTES CONDICIONES: DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO «a» NO ESENCIAL (^) ESENCIAL 1ra ESPECIE

• Con salto finito
  • Con salto infinito
• Asintótica 2da ESPECIE

2. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD Discontinuidad Esencial o No Evitable 1ra Especie Salto Finito Salto Infinito Asintótica 2da Especie No esencial o Evitable

DE PRIMERA ESPECIE CON SALTO FINITO Los limites laterales en el punto existen pero no son iguales (salto no nulo). Se le denomina también discontinuidad escalonada o finita.

2.1 DISCONTINUIDAD ESENCIAL O NO EVITABLE

DE PRIMERA ESPECIE ASINTÓTICA Si los dos límites laterales de la función en el punto x = a son infinitos.

2.1 DISCONTINUIDAD ESENCIAL O NO EVITABLE

DE SEGUNDA ESPECIE Si la función no existe en uno de los lados del punto, presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

2.1 DISCONTINUIDAD ESENCIAL O NO EVITABLE

EJEMPLO 1

Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos Estudie la continuidad de la siguiente función: 𝑓 (𝑥) =

2

• 1 𝑥 − 2 Solución:

lim 𝑥→ 2 𝑓 (𝑥) = ∄ 𝑓 (𝑎) ≠ lim 𝑥→𝑎 𝑓 (𝑥)

1. 𝑓( 2 ) =^ ∄^ lim 𝑥→ 2 − 𝑓 (𝑥) ≠ lim 𝑥→ 2

𝑓 (𝑥) Debido a que: −∞ ≠ +∞ Como los límites izquierda y derecha son infinitos tenemos una función discontinua esencial de primera especie asintótica en x = 2.

Veamos la gráfica de la función:

Cuando me acerco a 2

- la función va hacia - ∞ Cuando me acerco a 2+ la función va hacia +∞ Aquí tendremos Una Asíntota vertical De ecuación x=

EJEMPLO 1

𝑓 (𝑥) =

2

• 1 𝑥 − 2

ESTUDIAMOS ANALÍTICAMENTE EL CASO PARA X = 2

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x= 2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua esencial de 1 ª especie con salto finito en x = 2 , donde se produce un salto de 3 unidades. 𝑓 (𝑥) =

2

lim 𝑥→ 2 𝑓 (𝑥) = ∄ 𝑓 ( 2 ) ≠ lim 𝑥→ 2 𝑓 (𝑥)

1. 𝑓( 2 ) =^5 lim 𝑥→ 2 − 𝑓 (𝑥) ≠ lim 𝑥→ 2

𝑓 (𝑥) 5 ≠ 2

ESTUDIAMOS ANALÍTICAMENTE EL CASO PARA X = 5

𝑓 (𝑥) =

2

lim 𝑥→ 5 𝑓 (𝑥) = 5 𝑓 ( 5 ) = lim 𝑥→ 5 𝑓 (𝑥)

1. 𝑓( 5 ) =^5 lim 𝑥→ 5 − 𝑓 (𝑥) = lim 𝑥→ 5

𝑓 (𝑥) 5 = 5 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

Veamos ahora la gráfica de la función

Tenemos un punto abierto, para x = 1 𝑓 (𝑥) =

2 −3𝑥+ 2 𝑥 − 1

EJEMPLO 4:

Estudie la continuidad de la siguiente función: (^) 𝑓 (𝑥) =

2 −3𝑥+ 2 𝑥 − 3 Solución: Tenemos que Dominio de f(x) es R - { 3 } (^) , entonces solo tendríamos que estudiar el caso para x = 3

lim 𝑥→ 3 𝑓 (𝑥) = ∄ 𝑓 ( 3 ) ≠ lim 𝑥→ 3 𝑓 (𝑥)

1. 𝑓( 3 ) =^ ∄^ lim 𝑥→ 3 − 𝑓 (𝑥) = lim 𝑥→ 3

𝑓 (𝑥) =

lim

𝑥→ 3 −

2

= lim

𝑥→ 3 −

lim

𝑥→ 3

2

= lim

𝑥→ 3 +

−∞ +∞

Por lo tanto, diremos que lim

𝑥→ 3

f(x) es discontinua esencial de 1ª especie asintótica