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Breve Repaso de las Ecuaciones de
Recurrencia
Francisco Palomo Lozano e Inmaculada Medina Bulo
Departamento de Lenguajes y Sistemas Inform´aticos. Universidad de C´adiz. Esc. Superior de Ingenier´ıa de C´adiz. C/ Chile, s/n. 11003 C´adiz. Espa˜na. {francisco.palomo, inmaculada.medina}@uca.es 14 de octubre de 2002
1. Ecuaciones de recurrencia
Definici´on 1. Una ecuaci´on de recurrencia (ER) de orden k es una ecuaci´on funcional F (n, fn, fn− 1 ,... , fn−k) = 0
con fn : N → C y n ≥ k.
La inc´ognita, fn, es una funci´on; o mejor dicho una familia de funciones (como con las EDO).
Ejemplos.
fn − nfn− 1 = 0 (n ≥ 1) fnfn− 1 = 2n^ (n ≥ 1) fn = fn− 1 + fn− 2 (n ≥ 2)
Resolver una ER es, en general, imposible. Normalmente estaremos inte- resados en versiones m´as simples. Restringiremos la ecuaci´on general para obtener otras m´as sencillas.
1.1. Relaci´on con el c´alculo de sumatorios y productorios
Las ER generalizan a los sumatorios:
fn =
∑^ n
i=
h(i) (n ≥ 0)
fn− 1 =
n∑− 1
i=
h(i) (n ≥ 1)
fn − fn− 1 = h(n) (n ≥ 1)
y tambi´en al c´alculo de productorios:
fn =
∏^ n
i=
h(i) (n ≥ 0)
fn− 1 =
n∏− 1
i=
h(i) (n ≥ 1)
fn fn− 1
= h(n) (n ≥ 1)
Ambas ER se completan con f 0 = h(0).
1.2. Clasificaci´on
Definici´on 2. Una ER es lineal (ERL) si tiene la siguiente forma:
fn + g 1 (n)fn− 1 + · · · + gk(n)fn−k = h(n)
Definici´on 3. Una ERL es homog´enea si h(n) = 0.
Definici´on 4. Una ERL es de coeficientes constantes si gi(n) = ai ∈ C.
Tipos m´as importantes de ER:
ERL de coeficientes constantes homog´enea
ERL de coeficientes constantes no homog´enea
ERL de coeficientes no constantes
Teorema 2. La dimensi´on del conjunto de soluciones de una ERL de coe- ficientes constantes homog´enea y de orden k es, precisamente, k.
Demostraci´on. Sea el conjunto de soluciones B = {b 0 (n),... , bk− 1 (n)} en el que los bi(n) vienen dados por:
∀n < k bi(n) = δin (δ de Kronecker)
Por la proposici´on 1, esto determina de manera ´unica a los bi(n) como solu- ciones.
Pero B es una base del conjunto de soluciones: basta comprobar que forma un sistema de generadores linealmente independiente.
Hemos encontrado una base de k elementos, por lo tanto la dimensi´on del subespacio es k.
Empleando este teorema, el problema se reduce a encontrar k soluciones particulares linealmente independientes distintas de la trivial.
As´ı se obtiene una base del conjunto de soluciones y con ella la soluci´on general.
Existen distintas t´ecnicas de resoluci´on, las principales son:
M´etodo de la ecuaci´on caracter´ıstica M´etodo matricial
M´etodo de la funci´on generatriz
2.1. M´etodo de la ecuaci´on caracter´ıstica
Por la forma de la ecuaci´on, fn = xn^ podr´ıa ser una soluci´on particular. Veamos:
xn^ + a 1 xn−^1 + · · · + akxn−k^ = 0 xn−k(xk^ + a 1 xk−^1 + · · · + ak) = 0
Esta ecuaci´on polin´omica equivale al sistema: { xn−k^ = 0 xk^ + a 1 xk−^1 + · · · + ak = 0
La primera no nos interesa (s´olo genera la soluci´on trivial). La segunda se llama ecuaci´on caracter´ıstica.
Definici´on 5. Se denomina polinomio caracter´ıstico a:
c(x) = xk^ + a 1 xk−^1 + · · · + ak
Sean r 1 , r 2 ,... , rk ∈ C las k ra´ıces de c(x):
c(x) = (x − r 1 )(x − r 2 ) · · · (x − rk)
Nota. Por el teorema fundamental del Algebra´ todo polinomio de grado k tiene exactamente k ra´ıces.
En general, puede haber ra´ıces repetidas. Sean r 1 ,... , rl las l ra´ıces distintas de c(x) con multiplicidades respectivas m 1 ,... , ml:
c(x) = (x − r 1 )m^1 · · · (x − rl)ml
donde m 1 + · · · + ml = k.
Distinguiremos dos casos seg´un todas las ra´ıces sean o no simples.
2.1.1. Ra´ıces simples
B = {rn 1 , r 2 n ,... , rkn } es una base del conjunto de soluciones.
Basta ver que forman un sistema de generadores, o que son linealmente independientes, ya que la dimensi´on del conjunto de soluciones y card(B) coinciden.
Una forma de comprobar que, por ejemplo, forman un sistema de gene- radores consiste en plantear un sistema infinito de ecuaciones que por la proposici´on 1 puede reducirse a:
λ 1 + λ 2 + · · · + λk = f 0 r 1 λ 1 + r 2 λ 2 + · · · + rkλk = f 1 · · · rk 1 −^1 λ 1 + rk 2 −^1 λ 2 + · · · + r kk− 1 λk = fk− 1
El determinante del sistema es: ∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ ∣
r 1 r 2 · · · rk .. .
rk 1 −^1 r 2 k −^1 · · · rk k−^1
que es un determinante de Vandermonde o vandermondiano; ya que los ri son todos distintos, el determinante no es nulo.
es una base del conjunto de soluciones.
Al igual que antes, basta ver que forman un sistema de generadores, o que son linealmente independientes, ya que card(B) = k.
La soluci´on general es:
fn =
∑^ l
i=
pi(n)rni
pi(n) =
m∑i− 1
j=
λij nj
Ejemplo. Se desea la soluci´on general de:
tn = 2tn− 1 − tn− 2
y la particular asociada a t 0 = 0 y t 1 = 1.
c(x) = x^2 − 2 x + 1 = (x − 1)^2
luego B = { 1 , n} y la soluci´on general es:
tn = λ 1 + λ 2 n
Cuando t 0 = 0 y t 1 = 1 se obtiene: { λ 1 = 0 λ 1 + λ 2 = 1
cuyas soluciones son λ 1 = 0 y λ 2 = 1. Por lo tanto la soluci´on particular buscada es: tn = n
- ERL de coeficientes constantes no homog´enea
fn + a 1 fn− 1 + · · · + akfn−k = h(n)
Definici´on 7. Dada una ecuaci´on de este tipo, llamamos ecuaci´on ho- mog´enea asociada a:
gn + a 1 gn− 1 + · · · + akgn−k = 0
Teorema 3. Si fn es una soluci´on particular de la ecuaci´on original y gn es la soluci´on general de la homog´enea asociada, entonces fn +gn es la soluci´on general de la primera.
El problema est´a en hallar la soluci´on particular. Esto depende de c´omo sea h(n).
En ocasiones, tiene una forma similar a la de h(n) y se puede emplear el m´etodo de los coeficientes indeterminados.
Un caso bastante general y ´util en el estudio de algoritmos es:
h(n) =
∑^ j
i=
qi(n)sni
donde los qi(n) son polinomios de grado mi y los si son todos distintos.
En tal caso, podemos formar un polinomio caracter´ıstico ficticio con el poli- nomio caracter´ıstico de la homog´enea asociada y otro polinomio ((aportado)) por la soluci´on particular:
c(x) = c 1 (x)c 2 (x)
Donde:
c 1 (x) = xk^ + a 1 xk−^1 + · · · + ak c 2 (x) = (x − s 1 )m^1 +1^ · · · (x − sj )mj^ +
Sin embargo, la funci´on resultante de este polinomio caracter´ıstico ficticio no es la soluci´on general.
Los j par´ametros de la soluci´on general aportados por c 2 (x) no son libres, ya que han de determinar una soluci´on particular.
Estos par´ametros pueden calcularse de dos formas:
Sustituyendo la funci´on obtenida en la ecuaci´on original Calculando mediante las condiciones iniciales j valores que deba cum- plir la soluci´on particular y completando con ellos el sistema de ecua- ciones
Ejemplo. Se desea la soluci´on general de:
tn = tn− 1 + 2
Se tiene que:
c 1 (x) = x − 1 c 2 (x) = x − 1 c(x) = (x − 1)(x − 1) = (x − 1)^2
Ejemplo.
fn = nfn− 1 (n ≥ 1) f 0 = 1
Aqu´ı g 1 (n) = −n. Podemos invertir el signo y prescindir del primer valor, que es cero:
G(n) =
∏^ n
i= −g 1 (i)> 0
[−g 1 (i)] =
∏^ n
i> 0
i = n!
El cambio de variable es: fn = n!un
y la ecuaci´on queda:
un = un− 1 (n ≥ 1) u 0 = 1
con lo que un = 1 y fn = n!
