Breve Repaso de la Acotaci´on de un
Sumatorio mediante una Integral
Francisco Palomo Lozano e Inmaculada Medina Bulo
Departamento de Lenguajes y Sistemas Inform´aticos. Universidad de C´adiz.
Esc. Superior de Ingenier´ıa de C´adiz. C/ Chile, s/n. 11003 C´adiz. Espa˜na.
{francisco.palomo,inmaculada.medina}@uca.es
6 de octubre de 2003
1. T´ecnica de acotaci´on integral
No siempre es posible resolver un sumatorio exactamente, en el sentido de
hallar una forma cerrada de la funci´on que describe su valor. Incluso en el
caso de poder hacerlo puede que no interese, pues su expresi´on puede ser
muy compleja y quiz´as baste con una aproximaci´on asint´otica o alg´un tipo
de acotaci´on inferior o superior.
Afortunadamente, existen casos en los que es factible realizar estos c´alculos
aproximados. Uno de los m´as ´utiles es aqu´el en que disponemos de una
funci´on f:
R
→
R
continua y mon´otona que queremos sumar en un intervalo
discreto [a, b]. El sumatorio se puede acotar entre integrales definidas como
se indica a continuaci´on.
1. Si fes mon´otona creciente:
Zb
a−1
f(x)dx ≤
b
X
i=a
f(i)≤Zb+1
a
f(x)dx
2. Si fes mon´otona decreciente:
Zb+1
a
f(x)dx ≤
b
X
i=a
f(i)≤Zb
a−1
f(x)dx
La figura 1 justifica gr´aficamente el primer caso, el segundo es an´alogo.
Este resultado nos permite, por ejemplo, calcular los ´ordenes asint´oticos
de muchas funciones definidas mediante sumatorios complicados de manera
muy sencilla, siempre que la integral correspondiente sea f´acil de obtener.
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