Regimen permanente, Apuntes de Ingeniería Mecánica

¡Descarga Regimen permanente y más Apuntes en PDF de Ingeniería Mecánica solo en Docsity!

STE 3

RÉGIMEN PERMANENTE EN CORRIENTE ALTERNA

S. Iglesias

CAPÍTULO 4: RÉGIMEN PERMANENTE DE^ C.A.

4.1 CORRIENTE ALTERNA

Es una corriente que tiene una evolución temporal periódica, alterna y sinusoidal. Se genera mediante alternadores y es la forma de utilización de la energía eléctrica mas leneralizada.

4.2 FUNCIÓN SINUSOIDAL. VALORES CARACTERÍSTICOS

Es una función de la forma i(t) = I m sen wt

N

cf.=e)t (rad' t (s)

S T Figura 4-1 Figura 4-1a

PERIODO T {s.]:

• Tiempo entre dos valores idénticos, sobre la onda. Tiempo necesario para dos alternancias. Rotación compieta (360° = radianes) de la espira en el campo. FRECUENCIA f [Hz]: (ciclos/s) f = 1/T
• Número de periodos engendrados por segundo. La inversa del periodo. PULSACIÓN C) VELOCIDAD ANGULAR e) [rad/s]: co = 2nf
• Velocidad anular con la que gira la espira. VALOR INICIAL: la
• Valor de la función para t = VALOR INSTANTANEO:
• Valor de la función en cada instante. VALOR M.ÁMO: Vrn,
• Valor de cresta o valor máximo de la fk4fIción.

f

4.3 REPRESENTACIÓN FASORIAL

El trabajo con funciones senoidales y su representación resulta laboriosa, en consecuencia, se buscan otros métodos de representación (fasorial). = A. = A m{cos(cot + j sen (cot + (p)J -Por lo cual Á = A m sen((ot + (p) se puede representar como A = Im g[A Si todos los fasores tienen la misma frecuencia, se puede representar A = (^) Y lleva implícito el multiplicar por Una forma abreviada es la notación polar A = A,,,-/ 2

A

Figura 4- Se utiliza el plano de Gauss, sobre el cual se representan todos los fasores (figura 4-3). Con este método se pierde la información sobre la pulsación (generalmente conocida), que es conveniente indicar en la representación. La representación en el plano de Gauss, permite la realización de operaciones básicas con los fasores y se realizan como si fuesen vectores. NOTA: La suma y resta de fasores de misma pulsación, es un fasor de misma pulsación. El producto de un fasor por un vector fijo, es un fasor con un desfase añadido igual al argumento del vector fijo. El producto de dos fasores de misma pulsación, no es un fasor de misma pulsación, no podrán tratarse estas operaciones en el plano de Gauss.

CONCLUSIONES: Derivadas e integrales de funciones sinusoidales, son funciones sinusoidales.

• La suma, resta, producto, y división se realizan con facilidad en funciones seno idales de misma frecuencia.
• La suma y la resta de funciones senoidales de misma frecuencia, dan funciones de la misma frecuencia. Lo que implica que si las excitaciones de circuitos Encales son senoidales de igual frecuencia, las respuestas (tensiones y corrientes) conservan la frecuencia.

4.4 LEY DE OHM EN CIRCUITO CON RESISTENCIA PURA

e(t)

Figura 4- i(t) (^) R(t)e(t) i(t) E r, cos(cot) En, (^) cos cot = I m cosca R R I m= E'" = —E en valores eficaces R R I = E^ T^ = —E desfasew = O R R

Figura zi:4a Figura 4-4b

e. i

Figura 4-6a

4.6 CIRCUITO CON CAPACIDAD PURA

V0 C

Figura 4- e(t)= E m sen e(t) v c^ (t) i(t) = C de(t)dt i(t) C E dt m sen cot = coCE. cosca = I. coscot i(t) I (^) m sen(cot + 90°)

m= E m X c^ Xc =^ Ce)^1 reactancia capacitiva

• Como la tensión retrasa 90° respecto la corriente: .1 (^1) ii----c = j Cco (^) icoC Í== E. ,J. —^ E — iX c Xc desfase cp = 90° tensión retrasa 90° respecto corriente

e(t)

Figura 4-6b

• Relación v(t) = f(i) para los tres circuitos básicas
• Impedancias de los elementos pasivos

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia i

v = R i

---)»^ 1.-

V-- = R1-

.

V .

R

i

v= .1_,—^ r^ di dt

V = joLl

y ... - _

V -1. _

icoL

. --›i v = —C —cc1 ri.dt . ---)-i

• V= 1 - I y -.

c (^) V _.

jwc jctye

Figura 4-6c

= Ae =Ae 1 T = —^ L R cte de tiempo del circuito

Z = R + jcoL = R + jX impedancia inductiva, siempre en el primer cuadrante Z = /R 2+ X = ^R 2 + (co L)2^ módulo de la impedancia = arctg XL = arctg c°1-R (^) R argumento de la impedancia

LeydeOhm : I = —E I = —E módulo de la corriente 9 argumento de la impedancia; ángulo de adelanto de la tensión respecto a la corriente

FORMA EXPONENCIAL

E = + L—dIdt I = I • e'( '' ) Z = Z • = R • e i° + X e-'9° E = + j5C L • Ie'(') =^ • Z = IZe'('+'") ESTUDIO DEL CIRCUITO RL MEDIANTE LA ECUACIÓN ANALÍTICA

e(t)= R • i(t) + L di(t)

dt e(t) = E. cos(cot + a) fem aplicada (fuente) L —di dt+ Ri = E. cos(wt + a)

• Solución de la ecuación sin segundo miembro:
• Para la solución general, a la particular hay que añadirle una solución particular de la ecuación con segundo miembro:

i p= I. cos(cot + cc – 9 ) I = 9 = arctg X,

i =i n +i p = Ae --t+ I. cos(cot + a – 9) i n : componente natural (transitorio), depende de los parámetros del circuito i : componente permanente o forzada

NOTA:

• Dado que la cte de tiempo T = R/L siempre es positiva y el primer sumando (exponencial negativa), practicamente para valores de 3 ó 4 (T) resulta despreciable (generalmente en los circuitos reales, fracciones de segundo), se le denomina componente natural o libre de la corriente (el transitorio). El segundo sumando persiste, es la componente peimanente o forzada. El periodo (teoricamente infinito, practicamente breve) durante el cual existe la componente natural, se denomina periodo transitorio y el que sigue a él regimen permanente Es por lo que se supone que el fenómeno se inicia en (-infinito) cuando se quiere hacer solo el estudio permanente, con lo cual la componente natural se ha anulado para cualquier valor de ( t > O). Por lo tanto la representación vectorial resulta ineficaz para el régimen transitorio, solo es aplicable para el régimen peimanente.

4.8 CIRCUITO RLC. IMPEDANCIA

e(t)

Figura 4- Método vectorial:

I = zE- = E R 2 + co L, (^) coC)

módulo de la corriente

.\

cp = arctg- —X = arctg coC^ argumento de la impedancia, desfase de la corriente respecto la ten! ( (^1)
9(±): la corriente atrasa respecto la tensión; coL (^) coC)> O; X L > X c ; parte imaginaria de la imped impedancia en el primer cuadrante; circuito inductivo. (p(-) : la corriente adelanta respecto la tensión; ÍcoL (^) coC )^1 impedancia en el cuarto cuadrante; circuito capacitivo. FORMA EXPONENCIAL: _ Eej(ral-t-w+q))^ E = (^) Ze'w = e \j( at+ ) •

< O; X L < X c : parte imaginaria de la impe

4.9 ADMITAN CIA Se define la admitancia como la inversa de la impedancia.

Y= =

Z=R+jX^1

= =

Multiplicando por la conjugada del denominador: —Y = 1 R – jX. =. X R. X R+ jX R–jX R 2 +X 2 R' +X' Z` J Z'„ Y = C.i + jB G: es la parte real de la admitancia (conductancia) B: es la parte imaginaria de la admitancia (susceptancia) La unidad de la impedancia son S La unidad de la admitancia son 1-2 - ' (siemens) INTERPRETACIÓN: Las admitancias tienen módulos inversos a los de las impedancias. Las admitancias tienen argumentos i g uales a los de las impedancias, cambiados de signo.

Z R+jX

Z = Z'

Circuitos inductivos:

• Impedancias en el primer cuadrante. Admitancias en el cuarto cuadrante. Circuitos capacitivos: Impedancias en el cuarto cuadrante.
• Admitancias en el primer cuadrante.

– -=^1 —^1

Z Z

f

• La potencia es una sinusoide centrada en el eje de abcisas, con frecuencia doble que la4, tensión o la corriente. Por lo tanto la potencia media es nula.
• Hay un trasiego de energía, con un balance nulo, despues de un número entero de periodos. Cuando la intensidad está desfasada 90° en retraso con relación a la tensión, no hay consumo de energía.

Figura 4-11a

4.12 (^) POTENCIA EN CIRCUITO CON CAPACIDAD PURA

e(t) = JE cos cot = v c (t) fem senoidal pura i(t) = cos(cot + 90) = sen C senoide adelantada 90° respecto la tensión p(t) = e(t). i(t) —EI sen 2wt P= Figura 4-

La potencia es una senoide centrada en el eje de abcisas de frecuencia doble que la tensión y la corriente. La potencia media es nula. Hay un trasiego de energía entre la fuente y el condensador, con un valance final nulo.

e(t)

I cose) E

I sen (1)

Figura 4- I 2a

4.13 POTENCIA EN EL CIRCUITO RLC

Los resultados obtenidos anteriormente, pueden resumirse en dos: Si la tensión y la corriente estan en fase la potencia media vale P = El. É e I en fase ( 9 = 0) P = El Si la tensión y la corriente estan desfasadas 90 0 la potencia media es nula. E e I en cuadratura ( 9 = 90) P= O

• El caso general ( RLC ) podría estudiarse como la superposición de I) y II). En este circuito se tiene: C- E= = arctg —X Figura 4-

siendo X= X L – Xc

• El vector corriente se podrá desdoblar en dos componentes, una en fase con el vector tensión ( Icos9 ) y la otra en cuadratura ( (^) Isen9).

La componente en fase con la tensión dará una potencia media: P = EI cos 9

• La componente en cuadratura, nos dará una potencia media nula: P = 0 Figura 4- I 3a

Mediante las lecturas, dadas por un amperímetro, un voltímetro y un vatímetro; se podrá hallar el factor de potencia del circuito. Teniendo en cuenta que P = Elcosp La tensión me la dá el voltímetro. La corriente la medirá el amperímetro. La potencia la dá el vatímetro. El factor de potencia será: cosa = —VI

4.15 (^) COMPONENTES ACTIVA Y REACTIVA DE LA CORRIENTE Se decompondrá el vector corriente, como se hizo anteriormente.

• En fase con É se tendrá la componente activa (^) I activa En cuadratura con E se tendrá la componente reactiva ireanva Supongase E en el eje de las x CIRCUITO INDUCTIVO CIRCUITO CAPACITIVO

T Ireact (^) E

Figura 4-15a Figura 4-15b Circuitos inductivos cp (+) (^) Circuitos capacitivos o (-)

arctg X^ L^ –XcR

Componente activa de la corriente: a la proyección de I sobre E la, = I cos Componente reactiva: a la proyección de I sobre la normal a E (^) I reac I sen (

• Se cumplirá: I 2 = 2ac (^) reac J. (^) i" a c T (^) --reac P = El coso = El ac Ireac (+) circuitos inductivos ; Ireac (-) circuitos capacitivos

f 4.16 POTENCIAS APARENTE, ACTIVA Y REACTIVA Al producto EI, que era el único que aparecía en potencias en c.c., en c.a. se le denomina potencia aparente S. S = El potencia aparente en ( VA ) P = EIcos9 = EIac potencia activa ( W ) Q = EIsen9 = Elreac potencia.reactiva ( var )

• En virtud de 1-2 = I2ac+ 12reac se tiene: s2 = p2 + Q P = Scos9 (^) ( W ) Q = Ssen9 ( var ) ( var,+ ,var,-) 1=P+jQ EJEMPLOS: Potencia activa correspondiente a una resistencia ohmica pura: P = VRI = RI 2 ( W ) solo hay potencia activa. Potencia reactiva correspondiente a una reactancia inductiva pura: Q = VLI = XL 12 = inLI2 ( var +) solo hay potencia reactiva. Potencia reactiva correspondiente a una capacidad pura: Q = VcI = XcI 2 = (1/733C) 1 2 ( var -) solo hay potencia reactiva. Potencias correspondientes a una impedancia Z: Z=R+jX ó (^) Z=R-jX = arctg—x S = VzI ZI2 ( VA ) P = VzIcoscp V RI = RI 2 ( W ) Q = VzI serup = VxI = X1 2 ( var + ó var-)

Tiene las tres potencias: aparente, activa y reactiva.

EN EL SISTEMA MKS S ( VA ) Voltamperes P ( W ) Watts Q ( var)Voltamperes- reactivos ENERGÍAS ACTIVA Y REACTIVA A = tEIcos9 ( joules, watts-hora )