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CAPITULO - II - Tema (3)
CORRIENTE ALTERNA EN RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
(Sistemas monofásicos)
2. 1. - MAGNITUDES ALTERNAS
En general, una magnitud alterna es aquella cuya amplitud y sentido, están sometidos a variaciones que dependen del tiempo. Ahora bien, desde el punto de vista de aplicación, se entenderá como magnitud alterna, aquella que variando en el tiempo su amplitud y sentido, repita los mismos valores en intervalos iguales de tiempo, es decir, que su valor medio sea igual a cero. Las formas de las señales alternas más frecuentes son las que a continuación se indican (triangular, diente de sierra, cuadrada, sinusoidal, etc.), si bien, en este capitulo nos ocuparemos básicamente de la sinusoidal, por ser esta forma de onda la que va asociada a los procesos industriales de generación de energía eléctrica, transporte y en consecuencia consumo de dicha energía.
2. 2. – CORRIENTE ALTERNA PERMANENTE
Una expresión matemática de una corriente (o tensión) alterna senoidal como la mostrada en la figura adjunta es:
i ( ) t = I M sen ωt ,o bien i( ) t = IM cos ωt
i(t) = valor instantáneo de la corriente IM = intensidad máxima de la corriente. ω = velocidad angular,“(frecuencia)”. Un ciclo es el tiempo que tarda en repetirse la misma amplitud de la señal, por ejemplo de un máximo al siguiente máximo consecutivo. El valor de ω t al final de un ciclo es 2 π (radianes). El número de ciclos descritos por segundo se le denomina frecuencia f. En consecuencia: f = ω / 2 π cilos por segundo o hercios (Hz). ω = 2 π f = frecuencia angular o pulsación (radianes / segundo). La expresión indicada no deja de ser más que un caso particular de una señal alterna, puesto que en el instante inicial, el valor que representa es nulo o máximo, según se haya adoptado la expresión seno o coseno. Cuando sea necesario definir una expresión más general, será necesario considerar tambien su fase inicial θ.
2. 3. - FASORES
Una corriente o una tensión eléctricas son magnitudes escalares, por ejemplo 2 A , 8 V , no debe confundirse con las magnitudes vectoriales. El valor instantáneo de una magnitud alterna expresada en forma cosenoidal, puede obtenerse mediante la proyección sobre el eje real de un segmento, cuya longitud representa la amplitud máxima de la señal alterna, el cual gira en sentido antihorario en torno a su origen con una velocidad angular ω. El segmento giratorio recibe el nombre de fasor.
2. 4. - VALOR EFICAZ DE UNA MAGNITUD ALTERNA (RMC)
Raíz Media Cuadrática.
El significado de una unidad de corriente continua (corriente directa DC), no necesita mayor aclaración, por ser ésta una medida representativa de la rapidez de desplazamiento de las cargas eléctricas a través de una rama de un circuito. Sin embargo una unidad de corriente alterna no se concibe de forma tan fácil, ya que ésta varía en cada instante. ¿Cuál es la magnitud de corriente que debe especificarse?. Una manera de hacerlo sería a través de su valor máximo, pero ello podría conducirnos a un error de concepto, ya que éste es un valor que solo se alcanza de manera momentánea cada medio ciclo, por tanto, parece poco afortunado elegir esta medida como representante de una corriente permanente. Es por ello que, a la hora de dar una medida en c.a., sea más aconsejable adoptar como indicativo, un promedio que justifique la eficacia de dicha corriente.
Sea por ejemplo el circuito siguiente:
Si dos señales de corriente distintas (una de ellas continua), son capaces de desarrollar el mismo trabajo, en el mismo intervalo de tiempo, se dirá que tienen la misma eficacia.
2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0
2 2 2 2 2 0 0 0 (^ )
.
.
( )
T T t t t t t t T T
T T t
T T t t t
C alterna dJ u i dt R i dt J u i dt R i dt
C continua dJ U I dt R I dt J U I dt R I dt
R I dt R i dt
1 1 I T i dt I i dt i d t T 2
π π ω^ ω
→ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
→ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⇒ = =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2 2 0 0 2 2 0 0
2 2 2 0 0
1
:
T (^) t T t
T T
T T t t
u J R dt u dt R R o bien U 1 J R dt U dt R R
1 U T u dt U u dt T
(^) =^ ⋅^ = =^ ⋅^ ^ = ^
⋅ = ⇒ =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Como ha quedado indicado, aquella corriente alterna capaz de desarrollar el mismo trabajo eléctrico que la continua, diremos que tiene su mismo valor eficaz, en consecuencia, la amplitud de la corriente continua representa el valor eficaz de la alterna.
2. 4. 2. - Valor medio de una señal rectificada.
Por definición, el valor medio de una magnitud alterna es cero. Sin embargo, si medimos dicha magnitud con un instrumento dotado de rectificador, la lectura obtenida corresponderá a la media aritmética de sus valores instantáneos. En consecuencia, definida una señal durante un periodo T, su valor medio vendrá determinado por la altura de un rectángulo de base T, cuya superficie corresponda a la que determina la señal en el mismo intervalo de tiempo, es decir:
. 0. 0
T T Med t Med t
1 i T i dt i i dt T
⋅ = (^) ∫ ⇒ = ∫
En el caso de una señal alterna rectificada como la indicada, será:
( ) 2
2
. (^0 )
0
2 ( ) ( )
2 2 ( )
T 4 Med t M
M M
4 i i dt I cos t d t T
I sen t I
π
π ω ω π
ω π π
= = =
= =
∫ ∫
2. 4. 3. - Factor de forma.
=^2
M
M
Valor eficaz Valor medio rectificado En una función sinusoidal rectificada de onda completa será U 1, U
ξ
ξ π
π
2. 5. - MÉTODOS MATEMÁTICOS ALTERNATIVOS PARA ANALIZAR
UNA RED EN CORRIENTE ALTERNA
A la hora de estudiar un circuito eléctrico, deberán aplicarse un conjunto de leyes y reglas,algunas de las cuales ya conocidas (ley de Ohm, leyes de Kirchhoff,…). El problema radica en saber utilizar el modelo matemático más adecuado, que nos conduzca a la solución del problema de la forma más inmediata. Por ejemplo, si en un nudo de un circuito concurren una serie de corrientes, ¿como obtener la corriente resultante? Supongamos las siguientes señales:
i 1 (t) = √ 2 I 1 cos ( ω t + θ 1 )
i 2 (t) = √ 2 I 2 cos ( ω t + θ 2 )
Si operamos las señales en en dominio del tiempo, el calculo es largo. Sin embargo el problema tendría facil solución si se analiza utilizando la variable compleja Ello requiere conocer en primer lugar la correspondencia existente entre el dominio temporal y el dominio de la frecuencia, asi como la forma de afrontar las operaciones básicas con números complejos, por ser dichos números los que habitualmente se utilizarán como herramienta de cálculo.
2. 6. - NÚMEROS COMPLEJOS
Los apartados básicos que el alumno debe conocer son los siguientes:
- Formas de expresar un número complejo.
Z = a + jb = │Z│(cosα + jsenα) = │Z│ejα^ = │Z│∠αº
:
cos ,, cos 2 2
j j j j j
Formulas de Euler e e e e sen jsen e j
α α α α
α α α α^ α
+ −^ − −
[ ] [ ]
cos cos Im
R e Z a Z (^) Si t a Z t Z b Z sen b Z sen t
α ω α ω α ω
= = = =^ ⇒ = = (^) =
- Operaciones con números complejos.
Además de las operaciones básicas, como sumar, restar, etc., que se suponen conocidas, es importante recuerdar algunos productos con números complejos, como son los ejemplos que a continuación se indican:
(a + jb) · (a – jb) = a^2 + b^2 (Un nº complejo por su conjugado = nº real) (2 + j3) · (2 – j3) = 4 + 9 = 13 Otra operación importante relacionada con el producto es la siguiente: 30 (^1) (30 ) 1 2 2 (30 ) 1 2
4 4 30º 4 1 1 1 º
4 1 4 (30 )
j j j
j t
Z e Z Z e Z e
Si t Z Z e t
α α
ω
α
α ω ω
= = ∠ ⋅^ =^ ⋅ = = ∠ (^)
= ⇒ ⋅ = ⋅ = ∠ +
Observar que el resultado del producto se corresponde con un vector de modulo constante, que en el instante t = 0, ocupa una posición en el plano definida por Z 1. A partir de dicho instante, el vector gira en sentido antihorario a la velocidad angular ω. Este vector giratorio posee las caracteristicas del fasor descrito anteriormrnte. El número complejo Z 2 de módulo la unidad y argumento variable (depende de t), es un operador rotacional.
2. 7. - CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL PERMANENTE
Una forma matemática habitual de expresar una función alterna sinusoidal es:
i(t) = √ 2 I cos( ω t + θ ) = Re [ √ 2I e j( ω t +^ θ )] = Re [ √ 2I e j^ θ^ · 1e j ω t] , o bien,
i(t) = √ 2 I sen( ω t + θ ) = Im [ √ 2I e j( ω t +^ θ )] = Im [ √ 2I e j^ θ^ · 1e j ω t]
En cualquiera de los dos casos se trata de analizar el producto de dos números complejos, uno de ellos de módulo √2I y argumento θ, asociado permanentemente con un operador que lo hace girar. En ambos casos el valor instantáneo de la señal se refleja, bien sobre el eje real si se elige la forma cosenoidal, o bien, sobre el eje imaginario en el caso del seno.
Ejemplo:
Dado el número complejo I = Iejθ^ = I∠θº, en todo momento se puede reconstruir la función temporal correspondiente (y viceversa), ya que supuesta conocida la frecuencia ω, la información necesaria es I y θ.
Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
i (t) = √ 2 I cos( ω t + θ ) → Transformada → I = Iej θ^ = I ∠ θ º
Dominio de la frecuencia (j ω ) Dominio del tiempo (t) ω θ I Exponenc. Polar Binómica I(t) = 25 √ 2 cos 200 t 200 0º 25 25ej0^25 ∠ 0º 25 + j
i(t) = 4 √ 2 cos(314 t – 45º) 314 -45º 4 4 e - j45^4 ∠ -45º 2 √ 2 – j2 √ 2
i(t) = 2 √ 2 cos(100 t + 30º) 100 30º 2 2e j^30 2 ∠ 30º √ 3 + j
2. 8. 2. - Operaciones básicas con transformadas
Dominio del tiempo (t) Dominio de la frecuencia (j ω )
j ( ) 2 cos(^ )^2 =^ e^ =
j j t i (^) t I t Re Ie e Transformada I I I
= ω + θ = ^ θ^ ω → → θ ∠θ
Transformada de una suma.- La transformada de una suma es igual a la suma de sus transformadas.
1 2
1 2
1( ) 2( ) 1 2
1 2 1 2
2 2
2
j j t j j t t t e e j j j t e
i i R I e e R I e e
R I e I e e Transformada I I I
θ ω θ ω
θ θ ω
- = ^ ^ + ^ = = ^ + → → = +
Producto por una constante.- Corresponde a la transformada de la función multiplicada por dicha constante.
( ) 2 (^ )^2 (^ )
j j t j j t K i (^) t K Re Ie e Re K Ie e Transformada K I ⋅ = ⋅ ^ θ^ ω^ = ^ ⋅ θ^ ω → → ⋅
Transformada de una derivada.- Es igual a la transformada de la función multiplicada por (j ω ).
( ) (^2) cos( ) 2
2
t j j t e
j j t e
di (^) d d I t R Ie e dt dt dt
R j Ie e Transformada j I
θ ω
θ ω
ω θ
ω ω
= ^ + ^ = ^ =
= ^ ⋅ → → ⋅
Transformada de una integral.- Corresponde a la transformada de la función dividida por (j ω ).
( ) 2 cos(^ )^2 (^ )
1 1 2
j j t t e
j j t e
i dt I t dt R Ie e dt
R Ie e Transformada I j j
θ ω
θ ω
= + = ^ = (^) = (^) → → ⋅ ^
2. 9. - RESPUESTA DE LOS ELEMENTOS SIMPLES
2. 9. 1 .- Ley de Ohm en el dominio del tiempo.
Si la señal de corriente que afecta a un elemento pasivo de un circuito es i(t), la respuesta de tensión será la que a continuación se indica:
u ( ) (^) t = R i⋅ (^) ( )t
( ) ( )
t t
di u L dt
= ( )t ( )t
1 u i dt C
= (^) ∫
Si la señal de corriente es de carácter cosenoidal, la respuesta de tensión será de la misma naturaleza, y viceversa , en tal caso se analizará más adelante en el dominio de la frecuencia.
2. 9. 2. - Ley de Ohm en el dominio de la frecuencia ( j ωωωω ).
Si la señal de corriente es de carácter cosenoidal, la respuesta de tensión la podemos obtener sustituyendo las expresiones temporales por sus transformadas correspondientes.
U = R I (^) U = jωL I (^) U = 1 / jωC I
En general , la relación entre la transformada de la tensión y la transformada de la corriente , se la llama impedancia Z (Ω).
Sea un circuito resistivo: La impedancia correspondiente a una resistencia es un número real positivo.
La respuesta de corriente al aplicar una tensión U = U ∠θ, será: I U^ U^ U I
R R R
El fasor corriente posee el mismo argumento que la tensión aplicada , por tanto, está en fase con dicha tensión. Conocidos los fasores de tensión y corriente, se pueden reconstruir las expresiones temporales correspondientes, es decir :
u(t) = √ 2 U cos( ω t + θ )V ⇒ i(t) = √ 2 I cos( ω t + θ ) A
2. 10. - IMPEDANCIA Y ADMITANCIA
La impedancia de una red de dos terminales, es la relación existente entre la transformada de la tensión aplicada y la respuesta de corriente. Supongamos el circuito de la figura adjunta:
Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
( ) ( ) ( ) ( ) -
t t t t
di (^1 ) u R i L i dt U R I j L I I dt C j C
ω ω
= ⋅ + + (^) ∫ ⇔ = +
Dividiendo ambos miembros de la ecuación por la transformada de la corriente, tendremos :
U 1 1
R j L j R j L Z
I C C
ω ω ω ω
= + = + ^ =
Z = R + j X = Z∠ϕ
Z = R 2 + X^2 ,, ϕ = tag-1(X / R) ,, R = Zcosϕ ,, X = Zsen ϕ
Como puede observarse, para una frecuencia determinada, el argumento de Z solo depende de las constantes del circuito, siendo positivo o negativo ( entre 0º y ± 90º ), según predomine la reactancia inductiva sobre la capacitiva o viceversa. La impedancia es un número complejo (no un fasor) que puede estar situado en el primer o cuarto cuadrante.
Admitancia. - Es la reciproca de la impedancia, es decir, la razón entre la transformada de la corriente respecto a la de la tensión. Tomando como referencia el circuito anterior,
2 2 2 2 2 2
I
Y
U U Z Z Z
I
R jX R X
Y
Z R jX R X R X R X
ϕ ϕ
1 ( ) ,, (^) ( j ) 2 2 ,, ( j) 2 2
R X
Y G jB G B ω R X ω R X
Como puede comprobarse, la admitancia es un número complejo, cuyo módulo se corresponde con la inversa del módulo de la impedancia, y su argumento es el opuesto. La unidad de la admitancia, así como la de sus componentes, es el siemens, es decir, la inversa del ohm. La componente real G es la conductancia, que como puede observarse, solamente en los casos en que la reactancia en nula, corresponde a la inversa de la resistencia. La componente imaginaria B es la susceptancia, que solamente corresponderá a la inversa de la reactancia en aquellos circuitos teóricos en que la resistencia sea nula.
2. 11. – ASOCIACIÓN SERIE Y PARALELO DE IMPEDANCIAS
2. 11. 1 – Conexión serie
Las componentes de una red están conectadas en serie, cuando comparten la misma corriente. Sea por ejemplo el circuito de la figura adjunta. La segunda ley de Kirchhoff establece que,
u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) +…………+ un(t) ⇒ U = U 1 + U 2 + ……….+ Un
U = Z 1 I + Z 2 I ……….+ Zn I
U / I = Z = Z 1 + Z 2 + …….+ Zn
2. 11. 2 – Conexión paralelo
Las componentes de una red están conectadas en paralelo, cuando comparten la misma tensión.
⇒
i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) +…………+ in(t) ⇒ I = I 1 + I 2 + ……….+ In
1 2
1 2
n
1 2 n n
U U U U
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Y Y Y Y
2. 11. 3 – Conexión mixta, serie - paralelo
Cuando las componentes de la red están asociadas de forma mixta, deben efectuarse las transformaciones necesarias que conduzcan a la simplificación de la red. En primer lugar se busca la impedancia equivalente de las ramas derivadas, con lo cual, la red queda reducida a un circuito serie. Observar el ejemplo siguiente:
⇒
1 1 2 2
3 3 2 2
2 2
2 2 2
2
= Z
= Z
: Z
A A C C
A A B B
A A C B A A A A C A B B C A B A C B C C B A A
Z Z Z
Z
Z Z Z
Z Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
Z Z
Sustituyendo en Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z
Simplificando la ecuación Z Z
Z Z
De
= ^ ^
+^ +
A B A C B C A B A C B C B C
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
forma similar Z y Z
Z Z
En el caso de que las impedancias, ZA, ZB y ZC sean iguales, también lo serán, Z 1 , Z 2 y Z 3 , siendo su valor igual a 3Z. Conclusión: Las impedancias de un triángulo eléctricamente equivalente a una estrella, quedan definidas por un cociente, cuyo numerador se obtiene sumando las combinaciones de las tres impedancias de la estrella agrupadas de dos en dos, mientras que el denominador se corresponde con la impedancia que ocupa la posición opuesta a la que se está calculando.
2. 13 .- REDUCCIÓN DE REDES
Toda red de dos terminales puede reducirse a una impedancia (o admitancia) de entrada, cuyas componentes, real e imaginaria, pueden considerarse conectadas en serie o en paralelo.
Circuito serie RL:
Z = R + j ω L = │ Z │ ∠φ º
I U^ U I
Z Z
Z
Circuito serie RC:
Z = R + 1/ j ω L = │ Z │ ∠ − φ º
I = U^ = U I ( ) Z Z
3 – POTENCIA ELÉCTRICA
3. 1. - LA POTENCIA EN UNA RED DE DOS TERMINALES
Tal como se advirtió en capítulos precedentes, la energía eléctrica tiene el inconveniente de no poder ser almacenada a nivel industrial, en consecuencia, el estudio de la potencia en una red de dos terminales alimentados con señales alternas de tipo sinusoidal, pueda efectuarse desde dos puntos de vista distintos:
1 - Calculando la potencia consumida en el receptor. 2 - Calculando la potencia suministrada por la fuente.
La primera exige conocer el valor y la naturaleza de cada una de las componentes de la carga, así como la corriente que les afecta. Es por ello que, solamente si las redes son muy sencillas sea aconsejable utilizar este método. La segunda alternativa de cálculo es mucho más práctica. Se trata de averiguar la potencia transferida por la fuente en función de la tensión y corriente terminal. Si se efectúa un balance energético de la red, deberá cumplirse que, la potencia suministrada por la fuente y la consumida por el conjunto de receptores debe ser coincidente.
Se analiza a continuación el segundo de los supuestos. Para ello se considera una red, en la que se define una impedancia de entrada Z = | Z |∠ϕ Ω.
Las señales de, corriente, tensión y potencia que justifican la impedancia indicada, son:
i(t) = IM cos( ω t)
u(t) = UM cos( ω t + ϕ )
p(t) = u(t) · i(t) = UM · IM cos( ω t + ϕ ) cos( ω t)
Figura 1
La gráfica adjunta (Figura 1) muestra la evolución de la potencia correspondiente al producto de u(t) · i(t) , siendo ϕ el argumento de Z que justifica el desfase entre ambas componentes. Desde el punto de vista energético, la potencia instantánea es un dato poco significativo, lo que normalmente interesa conocer es su valor medio.
3. 1. 1. - La potencia en un receptor resistivo puro
En este caso la impedancia de entrada corresponde a un número real, es decir:
Z = R + j 0 ⇒ ϕ = 0 ,, Z = R
Las señales de, tensión, corriente y potencia serán:
u t ( ) =UM cos ωt
i(t) = IM cos ω t
p t ( ) = i t( ) ⋅ u t( ) = IU cos 2 ωt + UI = UI (1 + cos 2 ω t) , o bien,
( ) cos 2 2 2
p t = U^ M^ IM^ ωt+U^ M^ IM
Figura 2
Como puede observarse en la Figura 2, la señal de potencia p(t) pulsa en torno de su valor medio P = UI, siendo sus límites de variación entre cero y Pmax = Umax · Imax La interpretación física de este fenómeno, es que la fuente suministra energía al receptor de forma permanente, la cual es consumida íntegramente y disipada en R en forma de calor.
Conclusión: cuando la tensión y corriente que proporciona una fuente están en fase, hay transferencia permanente de energía de la fuente hacia el receptor. En consecuencia, esta energía es consumida, luego estará asociada con el trabajo desarrollado o las pérdidas que puedan producirse en la transformación.
3. 1. 2. - Receptor con carga inductiva pura
Consideramos a continuación un receptor ideal, cuya impedancia de entrada se corresponde con un número imaginario puro y positivo, como es el caso de una bobina con resistencia óhmica despreciable y coeficiente de autoinducción L, es decir:
Z = 0 + jωL ⇒ ϕ = 90º , Z = ωL ,
Si la evolución de la corriente que excita la bobina está definida por, i(t) = IM cos ω t , entonces,
la señal de tensión que la justifica y la potencia correspondiente, serán :
u t U t
p t u t i t UI t UI
( ) Mcos( º )
( ) ( ) ( ) cos( º ) cos º
ω
ω
Figura 3
La expresión analítica anterior, así como la gráfica adjunta (Figura 3), ponen de manifiesto que el valor medio de p(t) es nulo, es decir, la energía fluctúa de forma alternativa entre fuente y receptor sin que ello represente consumo energético adicional. La interpretación física de este fenómeno, es que para crear el campo magnético de la bobina es necesario que la fuente aporte una cierta cantidad de energía. Este hecho se manifiesta en el intervalo de tiempo en que la corriente está en proceso de crecimiento. En la medida que el campo magnético se debilita, la corriente decrece y la energía que había almacenado es recuperada por la fuente.
Conclusión: cuando la tensión y la corriente de una red están desfasadas 90º se produce una fluctuación energética entre fuente y receptor cuyo balance es nulo. En consecuencia, tal conclusión permite afirmar que, esta energía por si sola es incapaz de producir trabajo.
3. 2. - POTENCIA ACTIVA , REACTIVA Y APARENTE
Solo cuando la impedancia de entrada que ofrece un receptor es un número real, la potencia media se corresponde con P = U·I, y únicamente en estas circunstancias la corriente es utilizada íntegramente en suministrar energía de la fuente al receptor. Cuando la impedancia de carga está formada por una resistencia R y una reactancia X, una componente de la corriente se emplea para transferir energía, que de una forma periódica es almacenada o retornada por el elemento reactivo. Esta energía que fluye desde el campo (o al campo) magnético de una bobina o al campo eléctrico de un condensador, afecta a la corriente del circuito, pero es independiente de la potencia media P, la cual está asociada con la energía capaz de producir trabajo. Desde este punto de vista, la potencia media P se la conoce con el nombre de potencia activa, y la potencia que propicia la existencia del campo eléctrico o magnético en los elementos reactivos potencia reactiva. La interpretación geométrica de dichas potencias se refleja en el siguiente razonamiento:
→ i(t) Sea por ejemplo un receptor de característica (R - L): u(t) R - L
La relación existente entre el dominio temporal y el dominio de la frecuencia, permite establecer la correspondencia entre las magnitudes de tensión y de corriente (Figura 5).
Figura 5
La corriente puede expresarse en función de las componentes que la definen respecto de la tensión (Figura 6), es decir, IW en fase con U es su componente activa, que transfiere la energía consumida en el receptor. La otra componente IX, en cuadratura con U, estará asociada con la energía reactiva de la red. Los diagramas adjuntos muestran la disposición indicada. (La descomposición de la tensión respecto a la corriente conduciría a la misma conclusión).
Figura 6
Si los lados del triángulo definido por la corriente (en valor eficaz) y sus componentes, se multiplican por el valor eficaz de la tensión se obtiene un triángulo semejante, en el cual aparece como cateto contiguo a ϕ la potencia media P, a la que asignaremos el nombre de potencia activa, siendo su unidad el vatio (W). El cateto opuesto a ϕ se justifica por la existencia de una reactancia y por tanto se define como potencia reactiva Q, asignándole la unidad de voltamperio reactivo (var). La resultante de las dos potencias indicadas se la conoce con el nombre de potencia aparente S, siendo su unidad el voltamperio (VA).
P = UI cos ϕ (W) Q = UI sen ϕ (var) S = UI (VA)
Si bien la potencia activa P está perfectamente definida como valor medio de p(t) , no ocurre lo mismo con Q. Para poder identificar su significado a partir de la señal de la potencia p(t) , se efectúa la siguiente descomposición:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos(2 ) cos
2 cos( ) cos cos sen sen
cos 2 cos sen 2 sen cos
cos 1 cos 2 sen sen 2
1 cos 2 sen 2 , ,
1 cos 2 sen 2
t
t
t
t
t
p UI t UI
a t a b a b a b b p UI t t UI
p UI t UI t
p P t Q t o bien
p P t Q t
ω ϕ ϕ
ω ϕ ω ϕ ω ϕ ϕ
ϕ ω ϕ ω
ω ω
ω ω
= + +
= (^) +^ =^ − = (^) = − +
= + − ⋅
= + −
= + ±
Figura 7
