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Pr´actica 2:
An´alisis de respuesta transitoria.
Silvia Alejandra Acu˜na G´omez∗, Jorge Manuel Casillas Rodr´ıguez†, Eber Arnold Balderas Aguado‡
Jorge David Zepeda Medina§
∗†‡§Instituto Tecnol´ogico de Estudios Superiores de Monterrey San Luis Potos´ı, S.L.P. Profesional - Departamento de Ingenier´ıa y Ciencias Ingenier´ıa en mecatr´onica Proyecto de Redes Indsutriales Semestre Enero - Junio 2020
∗[email protected] †[email protected] ‡[email protected] §[email protected]
Resumen—Al tener un sistema f´ısico en el cual se tiene conocimiento de las fuerzas que interact ´uan en ´el, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador, la aplicaci´on de las leyes de Newton permite encontrar una ecuaci´on que la describa. Por medio de la transformada de Laplace, es posible obtener una funci´on de transferencia a partir de dicha ecuaci´on. Al no contar con los par´ametros que definen la ecuaci´on de transferencia, ´estos pueden obtenerse mediante el an´alisis de las respuesta transitoria y estacionaria del sistema, siendo la primera la respuesta que se obtiene antes de que el sistema alcance la estabilidad y la segunda lo que ocurre despu´es de esto. De este modo, se obtuvo como resultado de los par´ametros buscados, lo siguiente: m=2. kg, B=11.811 y k=20, donde: m es la masa en el sistema, B es la constante de amortiguamiento del dispositivo y k constante el´astica del resorte.
I. PALABRAS CLAVE Sistema, Laplace, Simulink, masa, resorte, amortiguador. II. OBJETIVO El objetivo general de la pr´actica es poner en pr´actica los conocimientos obtenidos en el curso sobre el an´alisis de la respuesta transitoria en sistemas de segundo orden. El objetivo espec´ıfico es analizar la respuesta transitoria de un sistema mec´anico simple con el fin de obtener los par´ametros del mismo.
III. MARCO TE ORICO´ Un sistema de masa-resorte-amortiguador es un ejemplo de un sistema de segundo orden que describe un movimiento arm´onico. El sistema consiste en una masa de magnitud “m” unida a un resorte, el cual tiene su otro extremo fijado a una estructura r´ıgida. Un resorte tiene una longitud normal en ausencia de fuerzas externas, la cual al aplicarle una fuerza, puede ya sea alargarse o acortarse en una magnitud “x”, lla- mada deformaci´on. Si la fuerza no sobrepasa el l´ımite el´astico
del material, se cumple la denominada Ley de Hooke, la cual establece que la deformaci´on de un resorte es directamente proporcional a la fuerza que se le aplica. A continuaci´on se expresa la ecuaci´on de dicha ley, donde F es el m´odulo de la fuerza que se aplica al resorte, k la constante el´astica del resorte y x la diferencia de longitud inicial menos la final al aplicar una fuerza al resorte [1].
F = k × x (1)
El tercer elemento presente en el sistema a analizar (tal como lo menciona su nombre), es un amortiguador. Un amor- tiguador es un dispositivo cuya funci´on consiste en disipar la energ´ıa de un movimiento proporcionalmente a su velocidad. Los amortiguadores por lo general consisten de un pist´on ya sea hidr´aulico o neum´atico que distribuye en flujo del fluido en su interior de tal manera que absorban el impacto del movimiento. Para este problema, no se especific´o qu´e tipo de amortiguador es el que utilizo. Pero, la ecuaci´on que ayuda a describir el comportamiento de un amortiguador es la siguiente: [4]
F = B × x′^ (2)
Donde F viene a representar la fuerza que ejerce el amorti- guador en el sistema, B es la constante de amortiguamiento del dispositivo como tal, diferente al factor de amortiguamiento del sistema, y x’ es la velocidad de la masa en el sistema. [4]. Estos sistemas pueden ser analizados con diagramas de cuerpo libre, tomando como base la segunda ley de la mec´ani- ca cl´asica de Newton [6].
FT otal =
Fi (3)
Figura 1. Esquema del sistema masa-resorte.
Mediante la Figura 1 se describe que la fuerza total FTotal actuando sobre un cuerpo es igual a la sumatoria de las fuerzas individuales (Fi) que act´uan sobre dicho cuerpo. Asimismo, cabe mencionar que esta igualdad es v´alida para sistemas de masa constante. As´ı, tomando como base dicha ecuaci´on, se propone una expresi´on que describe las fuerzas que act´uan sobre la masa para sistemas de masa-resorte, la cual se representa como [5]:
FT otal = m × a (4)
Una vez encontrada la ecuaci´on que describa al sistema, se le aplica la transformada de Laplace para que, con la ecuaci´on resultante, se pueda encontrar la funci´on de transferencia. A dicha funci´on se le pueden aplicar se˜nales de entrada distintas para observar su comportamiento, las cuales regularmente son: escal´on, rampa, par´abola, impulso, senoidal. El uso de estas se˜nales de entrada de prueba son ´utiles para el dise˜no y an´alisis de los sistemas de control [6]. Una vez que se introduce una se˜nal de entrada en el sistema de control, la cual puede ser una se˜nal de prueba como un escal´on o un impulso, dependiendo de los par´ametros del sistema, la respuesta oscilar´a durante cierto tiempo hasta mantenerse, dentro de cierto porcentaje de tolerancia, en la referencia deseada. El comportamiento que tiene lugar durante la transici´on del estado inicial hasta el estado final es conocido como respuesta transitoria. Esta respuesta depende de las caracter´ısticas din´amicas del sistema. La respuesta que se mantiene constante cuando el tiempo crece infinitamente es conocida como “respuesta estacionaria”. La respuesta estacionaria depende principalmente de la magnitud de la se˜nal de entrada[6].
IV. MATERIALES Y M ETODOS´
IV-A. Materiales
Computadora. Matlab. Simulink.
IV-B. M´etodos
Figura 2. Respuesta transitoria del sistema.
Cuando un sistema mec´anico es sometido a una fuerza externa, misma que se puede considerar como una pertur- baci´on al sistema, el sistema buscar´a llegar a su posici´on y condiciones de equilibrio mec´anico. Para ello, el sistema experimentar´a dos comportamientos: La respuesta transitoria, que tendr´a lugar inmediatamente despu´es de la perturbaci´on, y la estacionaria, que ocurre cuando el sistema se acerca a un porcentaje determinado de la referencia o la estabilidad [6]. Para analizar la respuesta transitoria del sistema, se llev´o a cabo el an´alisis f´ısico del sistema de la Figura 1 y de la gr´afica de la respuesta temporal del sistema mec´anico de la Figura 2. Tomando en cuenta todas las fuerzas que act´uan sobre la masa m, se realiz´o el diagrama de cuerpo libre correspondiente. Posteriormente, se realiz´o la ecuaci´on del sistema y, por medio de la transformada de Laplace, se logr´o modelar la ecuaci´on de transferencia del sistema. El ´unico dato proporcionado en la Figura 1 es el valor de la fuerza P aplicada (2 lb), por lo que la masa y las constantes del resorte y el amortiguador permanecen como inc´ognitas [3]. Partiendo del dibujo del sistema f´ısico mostrado en la Figura 3, se dibuj´o su respectivo diagrama de cuerpo libre. En el diagrama mostrado, m es el valor de la masa, k es la constante del resorte, B es la constante del amortiguador, P es el valor de la fuerza aplicada (en este caso es de 2 libras) y la variable x es el desplazamiento de la masa a partir de su punto de equilibrio[6].
Figura 3. Diagrama de cuerpo libre del sistema f´ısico.
Con base en este diagrama, se obtuvo la ecuaci´on del sistema y se hizo uso de la transformada de Laplace para
V-B. Discusi´on
En un sistema siempre existir´an las variables, que son aquellas caracter´ısticas de un sistema que pueden variar con respecto al tiempo y que por consiguiente ser´an lo que se busque controlar en el sistema para obtener el rendimiento deseado en el sistema. Por otro lado, est´an tambi´en los par´ametros, los cuales vienen a representar valores dentro de un sistema constantes que tambi´en pueden influir en el comportamiento del sistema. Dependiendo del sistema en cuesti´on, obtener o determinar los valores de los par´ametros puede llegar a ser una tarea complicada. Es por eso que en ocasiones se necesita conocer a detalle el comportamiento del sistema para as´ı poder determinar los valores de los par´ametros y saber si son adecuados o si deben ser modificados.
VI. CONCLUSIONES Silvia Alejandra Acu˜na G´omez: El haber realizado esta pr´actica demostr´o la importancia del uso de las ecuaciones diferenciales para el modelado de sistemas mec´anicos, como lo es un sistema masa-resorte- amortiguador. Para ello, se hizo uso de la ecuaci´on diferencial representativa del sistema masa-resorte-amortiguador y, con base en esta, se model´o la ecuaci´on de transferencia del mis- mo. Toda vez que se sabe que este sistema se comporta como uno de segundo orden, se pudo igualar la ecuaci´on diferencial de este con una ecuaci´on representativa, espec´ıficamente, la de respuesta de los sistemas de control de segundo orden en estado transitorio. De este modo, una vez obtenida la funci´on de transferencia equivalente, se calcularon los par´ametros que definen la funci´on de transferencia del mismo. Por ende, cabe concluir que, a pesar del desconocimiento de los par´ametros solicitados, s´ı fue posible obtenerlos, as´ı como la funci´on de transferencia, esto solo con el an´alisis de su respuesta transitoria y con el modelado de ecuaciones. Jorge Manuel Casillas Rodr´ıguez: En todos los cursos de control que yo hab´ıa llevado, siempre se me hab´ıan dado los par´ametros y; por consiguiente, lo que se me ped´ıa dar es la respuesta del sistema. Para est´a pr´actica, tuve que hacer lo contrario. Si bien debo admitir que s´ı fue complicado, comprendo que saber obtener los par´ametros de un sistema a partir de su comportamiento es tambi´en necesario ya que existen ocasiones donde es m´as sencillo observar la respuesta de un sistema a una determinada perturbaci´on que el obtener los par´ametros del sistema. Jorge David Zepeda Medina: En el desarrollo de esta pr´actica, con el uso de la segunda ley de Newton y el an´alisis de respuesta temporal, se pudo analizar el sistema representado, fue mas ´util comprender los conceptos que involucra la respuesta de un sistema de segundo orden, como los valores de levantamiento y sobre tiro. Adem´as, se hizo uso del teorema del valor final para estudiar el valor de la respuesta final del sistema, fue de gran ayuda ya que como no tenia retroalimentaci´on no se pod´ıa analizar directamente de as formulas. Se pudo observar mejor gracias al software Simulink y una vez mas ver los conceptos como sobre-tiro y error en estado estable.
Eber Arnold Balderas Aguado: Por medio del an´alisis de la informaci´on dada sobre la respuesta del sistema a una entrada conocida, se pudieron calcular los par´ametros necesarios para definir su funci´on de transferencia. En este caso, el arreglo masa-resorte-amortiguador propuesto se comporta como un sistema de segundo orden. Tomando en cuenta lo anterior, se puede concluir que al tener un sistema de control cuyo comportamiento es conocido (como fue el caso del sistema masa-resorte-amortiguador) y conociendo la forma en que se comporta en ciertos puntos de su respuesta en estado transitorio y en estado estable, es posible conocer de forma detallada la funci´on de transferencia del sistema, as´ı como sus polos y sus ceros.
REFERENCIAS
[1] Fisicalab.com. 2020. Fuerza El´astica O Restauradora. [online] Disponible en: ¡https://www.fisicalab.com/apartado/como-medir-fuerzas¿[Accesado el 3 de marzo de 2020]. [2] Golato, M., 2004. AN ´ALISIS DE RESPUESTAS TRANSITORIAS AN ´ALISIS DE RESPUESTAS TRANSITORIAS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN. [ebook] Tucum´an. Disponible en: ¡https://catedras.facet.unt.edu.ar/sistemasdecontrol/wp- content/uploads/sites/101/2016/04/4n [Accesado el 3 de marzo de 2020]. [3] dademuchconnection. 2020. Respuesta Transitoria De Un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. [online] Disponible en: ¡https://dademuch.com/2018/05/11/ejemplo-1-respuesta-transitoria- de-un-sistema-masa-resorte-amortiguador/ [Accesado el 3 de marzo de 2020]. [4] Sceu.frba.utn.edu.ar. 2020. SISTEMA MASA-RESORTE. [online] Disponible en: ¡http://www.sceu.frba.utn.edu.ar/dav/archivo/homovidens/fatela/proyecto [Accesado el 3 de marzo de 2020]. [5] Zill, D., n.d. Advanced Engineering Mathematics. [6] Modelar y simular: Sistema masa-resorte- amortiguador (vertical) y P´endulo simple. [online] Disponible en: https://www.academia.edu/27341916/ModelarysimularSistemamasa- resorte-amortiguadorverticalyP
