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Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad Matemáticas aplicadas a lasBACHILLERATO
Ciencias Sociales II
Resuelve
Página 131
Piensa y encuentra límites
1. Utiliza tu sentido común para asignar valor a los siguientes límites:
a) (^) x 8 l mí + ∞ x^2 ; (^) x 8 l mí + ∞ x^3 ; (^) x 8 l mí + ∞( x^3 – x^2 ) b) (^) x 8 l mí – ∞ x^2 ; (^) x 8 l mí – ∞ x^3 ; (^) x 8 l mí – ∞( x^3 – x^2 )
c) (^) xl m í 8 2 x^2 ; (^) xl m í 8 2 x^3 ; (^) xl m í 8 2 ( x^3 – 5 x^2 + 3) d) (^) x 8 l mí + ∞ x
(^1) ; l mí x 8 + ∞ x
2 ;^ x l m 8 í + ∞ x
x (^2) + 1
e) (^) x 8 l mí – ∞ x
x 8^ l mí – ∞ x
2 ;^ x 8^ l mí – ∞ x
x (^2) + 1 f ) (^) xl m í 8 0 x
(^1) ; l mí x 8 (^0) x
2 ;^ xl m í 8 (^0) x
x (^2) + 1
g) (^) x 8 l mí + ∞ x
x (^21)
3 +
; (^) x l m 8 í + ∞ x
x x 1
2
3 2 +
h) (^) x 8 l mí – ∞ x
x (^21)
3 +
; (^) x 8 l mí – ∞ x
x 3 5
2 +
a) (^) x 8 l mí (^) + ∞ x^2 = + ∞; (^) x 8 l mí (^) + ∞ x^3 = + ∞; (^) x l m 8 í (^) + ∞( x^3 – x^2 ) = + ∞
b) (^) x 8 l mí – ∞ x^2 = + ∞; (^) x 8 l mí – ∞ x^3 = – ∞; (^) x 8 l mí – ∞( x^3 – x^2 ) = – ∞
c) (^) xl m í 82 x^2 = 4; (^) xl m í 82 x^3 = 8; (^) xl m í 82 ( x^3 – 5 x^2 + 3) = –
d) (^) x 8 l mí (^) + ∞ x
(^1) = 0; l mí x 8 + ∞ x
2 = 0;^ x l m 8 í^ + ∞ x
x (^2) + 1
e) (^) x 8 l mí – ∞ x
(^1) = 0; l mí x 8 – ∞ x
2 = 0;^ x 8 l mí – ∞ x
x (^2) + 1
f ) (^) xl m í 80 x
(^1) = + ∞; l mí x (^80) x
2 = +^ ∞;^ xl m í (^80) x
x (^2) + 1
g) (^) x 8 l mí (^) + ∞ x
x (^21)
3
= + ∞; (^) x 8 l mí (^) + ∞ x
x x 1
2
3 2
h) (^) x 8 l mí – ∞ x
x (^21)
3
= – ∞; (^) x 8 l mí – ∞ x
x 3 5
2
2. Tanteando con la calculadora, da el valor de estos límites:
a) (^) xl m í 8 0 x
sen x
b) (^) xl m í 8 3 ( x – 3) · ln ( x – 3)
c) (^) x 8 l mí + ∞ x
2 x
c + m
a) (^) xl m í 80 x
sen x (^) = 1
b) (^) xl m í 83 ( x – 3) · ln ( x – 3) = 0
c) (^) x 8 l mí (^) + ∞ x
2 x d + n = e^6 ≈ 403,
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1 Idea gráfica de los límites de funciones
Página 132
1 Describe mediante un límite cada una de las siguientes ramas:
a) b) c) d)
-
2
-
2
-
2
-
2
a) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = –1; (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) = + ∞
b) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = – ∞; (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) = 2
c) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = + ∞; (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) = +∞
d) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) no existe; (^) x l m 8 í +∞ f ( x ) no existe
2 Asigna (^) x 8 l mí – ∞ y (^) x 8 l mí +∞ a cada una de las siguientes funciones conocidas (dibuja esquemática-
mente su gráfica): a) f ( x ) = x^2 b) f ( x ) = – x^2 c) f ( x ) = x^3 d) f ( x ) = – x^3 e) f ( x ) = sen x f ) f ( x ) = tg x
a) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = + ∞ b) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = – ∞
x 8^ l mí + ∞ f^ ( x ) = +∞^ x 8^ l mí +∞ f^ ( x ) = –∞
–4 –2 2 4
2
4
6
8
Y
X
–4 –2 2 4
1
Y
X
c) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = – ∞ d) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = + ∞
x 8^ l mí + ∞ f^ ( x ) = +∞^ x 8^ l mí +∞ f^ ( x ) = –∞
–4 –2 2 4
4 2
6
Y
X (^) –4 –2 2 4
4 2
6
Y
X
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Página 133
4 Describe con límites las siguientes ramas:
a) b) c)
(^1 ) –2 –
3 7
3
4
(^1 ) –2 –
3 7
3
4
(^1 ) –2 –
3 7
3
4
a) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = – ∞; l mí x 8 – 2 –^
f ( x ) = 3; l mí x 8 – 2 +^
f ( x ) = – ∞
l mí x 84 –^ f ( x ) = + ∞; l mí x 84 +^ f ( x ) = – ∞; (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) = +∞
b) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = – ∞; (^) x l m 8 í – 2 f ( x ) = 1; (^) xl m í 83 f ( x ) = – ∞; (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) = +∞
c) (^) x 8 l mí – ∞ f ( x ) = – ∞; l mí x 80 –^ f ( x ) = + ∞; l mí x 80 +^ f ( x ) = – ∞; (^) xl m í 87 f ( x ) = – ∞; (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) = 3
5 Representa una curva que cumpla las seis condiciones siguientes:
x 8^ l mí – ∞ f^ ( x ) = 4^ x 8 l mí – 3 –^ f^ ( x ) = –^ ∞^ x l m 8 í – 3 +^ f^ ( x ) = –^ ∞ l mí x 8 5 –^
f ( x ) = – ∞ l mí x 8 5 +^
f ( x ) = + ∞ (^) x l m 8 í + ∞ f ( x ) no existe
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
4 2
6
8
Y
X
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Sencillas operaciones con límites
Página 134
1 Todas estas propiedades que acabamos de presentar son muy sencillas y razonables. Y se pueden enunciar en los siguientes términos:
1. El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites****. Haz otro tanto con las propiedades 2 a 7 y reflexiona sobre las restricciones que se imponen en algunas de ellas, de modo que las veas razonables (por ejemplo: ¿por qué b ≠ 0 en la propiedad 4?, ¿por qué f ( x ) > 0 en la propiedad 5?, …).
- El límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de sus límites.
- El límite del producto de dos funciones es igual al producto de sus límites.
- El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus límites, siempre que el límite del denominador no sea 0 (para que no se produzca una división entre 0).
- El límite de la potencia de dos funciones es igual a la potencia de sus límites, siempre que la base de la potencia sea positiva (para que tenga sentido la potencia de exponente real).
- El límite de la raíz de una función es igual a la raíz de su límite. En el caso de que la potencia sea de índice par, además, la función debe ser no negativa (para que se pueda hallar dicha potencia).
- El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo de su límite (para que tenga sentido el límite y el resultado, es necesario que tanto la función como su límite sean positivos).
Página 135
2 Si, cuando x → + ∞ , f ( x ) → + ∞ , g ( x ) → 4, h ( x ) → – ∞ , u ( x ) → 0, asigna, siempre que puedas, límite cuando x → + ∞ a las expresiones siguientes: a) f ( x ) – h ( x ) b) f ( x ) f^ ( x )^ c) f ( x ) + h ( x ) d) f ( x ) x^ e) f ( x ) · h ( x )
f ) u ( x ) u^ ( x )^ g) f ( x )/ h ( x ) h) [– h ( x )] h^ ( x )^ i) g ( x ) h^ ( x )^ j) u ( x )/ h ( x ) k) f ( x )/ u ( x ) l) h ( x )/ u ( x ) m) g ( x )/ u ( x ) n) x + f ( x ) ñ) f ( x ) h^ ( x )
o) x + h ( x ) p) h ( x ) h^ ( x )^ q) x – x^ r) f^2 ( x ) + h^2 ( x ) s) f^2 ( x ) – h^2 ( x )
a) (^) x 8 l mí +∞ ( f ( x ) – h ( x )) = +∞ – (– ∞) = +∞ + ∞ = +∞
b) (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) f^ ( x )^ = (+∞)+∞^ = +∞
c) (^) x 8 l mí +∞ ( f ( x ) + h ( x )) = (+∞) + (– ∞) → Indeterminación.
d) (^) x 8 l mí +∞ f ( x ) x^ = + ∞+∞^ = +∞
e) (^) x 8 l mí +∞ ( f ( x ) · h ( x )) = (+∞) · (– ∞) = – ∞
f ) (^) x 8 l mí +∞ u ( x ) u^ ( x )^ = (0)(0)^ → Indeterminación.
g) (^) x 8 l mí +∞ ( )
h x
f x
= +^ → Indeterminación.
h) (^) x 8 l mí +∞ [– h ( x )] h^ ( x )^ = [+∞]–^ ∞^ = 0
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Indeterminaciones
Página 136
1 Para x → 4 se dan los siguientes resultados:
f ( x ) → + ∞ , g ( x ) → 4, h ( x ) → – ∞ , u ( x ) → 0 ¿Cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones cuando x → 4? En cada caso, si es inde- terminación, di de qué tipo y, si no lo es, di cuál es el límite:
a) f ( x ) + h ( x ) b) f ( x )/ h ( x ) c) f ( x )– h^ ( x )^ d) f ( x ) h^ ( x )
e) f ( x ) u^ ( x )^ f ) u ( x ) h^ ( x )^ g) [ g ( x )/4] f^ ( x )^ h) g ( x ) f^ ( x )
a) l mí x 84 [ f ( x ) + h ( x )] = (+∞) + (– ∞) → Indeterminación.
b) l mí x 84 ( )
h x
f x
= +^ → Indeterminación.
c) l mí x 84 f ( x )– h^ ( x )^ = (+∞)(+∞)^ = +∞
d) (^) xl m í 84 f ( x ) h^ ( x )^ = (+∞)(–^ ∞)^ = 0
e) l mí x 84 f ( x ) u^ ( x )^ = (+∞)(0)^ → Indeterminación
f ) l mí x 84 u ( x ) h^ ( x )^ = (0)(–^ ∞)^ = ± ∞
g) l mí x 84
g x ( ) 4
f ( ) x = G (^) = (1)(+∞)^ → Indeterminación
h) l mí x 84 g ( x ) f^ ( x )^ = (4)(+∞)^ = +∞
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Comparación de infinitos. Aplicación a los límites cuando x → ±∞
Página 137
1 Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (± ∞ ) cuando x → + ∞ :
a) 3 x^5 – x + 1 b) 0,5 x^ c) –1,5 x
d) log 2 x e) x 1
(^3) + f^ )^ x g) 4 x^ h) 4 – x^ i) – 4 x
Son infinitos cuando x → + ∞ las expresiones a), c), d), f ), g) e i). No lo son las expresiones b), e) y h).
2 a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos:
log 2 x x x^2 3 x^5 1,5 x^ 4 x b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:
x 8^ l mí +∞
log x
2 x x 8 l mí + ∞ x
3 x 2
5 x l m 8 í + ∞ ,
x 1 5 x
a) 4 x ; 1,5 x ; 3 x^5 ; x^2 ; x ; log 2 x
b) (^) x 8 l mí +∞
log x
2 x = 0
x 8^ l mí + ∞ (^) x
3 x 2
5 = +∞
x 8^ l mí + ∞ (^) ,
x 1 5 x^
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Calcula el límite, cuando x → + ∞ , de estas expresiones:
a) x
x x
x x 2
+ (^) b) x
x x 2 1 2
3 +
c) x x
x 2
3 + (^5) – 2 – (^2) d) x (^2) + x – x (^2) + 1
e) 2 x – x^2 + x f ) x + 1 – x + 2
a) (^) x 8 l mí +∞ x
x x
x x 2
e + o (^) = x 8^ l mí +∞ (^) ( ) ( )
x x
x x x x x 2 2
= (^) x 8 l mí +∞ x
x x x x x x x 4
2
= (^) x 8 l mí +∞ ∞ x
x x x x 4
2
b) (^) x 8 l mí +∞ x
x x 2 1 2
3
e o = (^) x 8 l mí +∞ ( )
x
x x x 2 2 1
2
3 2
x l m 8 í +∞ (^) x
x x x 4 2
2
3 3
= (^) x 8 l mí +∞ x
x 4 2
c) (^) x 8 l mí +∞^ x x
x 2
d 3 +^5 – 2 –^2 n (^) = x 8^ l mí +∞ (^) x
x x x 2
x l m 8 í +∞ (^) x ∞
x x 2
d) (^) x 8 l mí +∞ `^ x^2 + x – x^2 + 1 j^ = (^) x 8 l mí +∞ x x
x x x
x x x x 1
2
2 2
2 2 2
a + ka + + + k
= (^) x 8 l mí +∞ x x
x x x x
2
2 2 +^2
= (^) x 8 l mí +∞ x x
x x
2 + + 2 + =^ + =
e) (^) x 8 l mí +∞ `^2 x – x^2 + x j^ = (^) x 8 l mí +∞ x x x
x x x x x x 2
2
2 2
a + ka + + k
= (^) x 8 l mí +∞ x x x
x x x 2
2
2 2
= (^) x 8 l mí +∞ x x x
x x 2
2
2
f ) (^) x 8 l mí +∞ ` x + 1 – x + 2 j = (^) x 8 l mí +∞ x
x x
x x x 1
+ j + + + j
= (^) x 8 l mí +∞ x
x x 1 x
= (^) x 8 l mí +∞ x 1 x
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
6 Cálculo de límites cuando x → – ∞
Página 140
1 Halla el (^) x 8 l mí – ∞ de las siguientes expresiones:
a) x x
x x 3 1
4
4 +
b) x x
x x 2
2
a) (^) x 8 l mí – ∞ x x
x x 3 1
4
4
x 8^ l mí +∞ (^) x x
x x 3 1
b) (^) x 8 l mí – ∞ x x
x x 2
2
= (^) x 8 l mí +∞ x x
x x 2
2
3
No existe, pues el radicando toma valores negativos cuando x → – ∞.
2 Halla el (^) x 8 l mí – ∞ de las siguientes expresiones:
a) x
x x 3 2
b) x
x x
x x 2
c) 3 x
a) (^) x 8 l mí – ∞ x
x x 3 2
x 8^ l mí +∞ (^) x
x x 3 2
= (^) x 8 l mí +∞ x
x
2 = (^) x 8 l mí +∞ x
x 3 3
b) (^) x 8 l mí – ∞ x
x x
x x 2
x 8^ l mí +∞ (^) x
x x
x x 2
e +^ o =
= (^) x 8 l mí +∞ x
x x x x x x x 4
2
= (^) x 8 l mí +∞ ∞ x
x x x x 4
2
c) (^) x 8 l mí – ∞ 3 x^ = (^) x 8 l mí +∞ 3 – x^ = (^) x 8 l mí +∞ 3
x =
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 144
1. Operaciones con límites
Hazlo tú. Siendo f , g , h , u y v las funciones anteriores, calcula el límite de estas funciones cuando x → + ∞ :
a) v ( x ) u^ ( x )^ b) u ( x ) g^ ( x )^ c) g ( x ) · u ( x )
a) (^) x l m 8 í +∞ v ( x ) u^ ( x )^ = (0,4)(+∞)^ = 0
b) (^) x l m 8 í +∞ u ( x ) g^ ( x )^ = (+∞)(–^ ∞)^ = 0
c) (^) x l m 8 í +∞ [ g ( x ) · u ( x )] = (– ∞) · (+∞) = – ∞
3. Comparación de infinitos
Hazlo tú. Comparando los órdenes de infinito, asigna límite a estas expresiones:
a) (^) x l m 8 í + ∞ 10 x 5
x 2 b)^ x l m 8 í + ∞ x
x 10 5
2
5
a) (^) x l m 8 í +∞ 10 x 5
x 2 = +∞^ porque cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia.
b) (^) x 8 l mí +∞ x
x 10 5
2
5 = +∞ porque el numerador tiene mayor grado que el denominador.
Página 145
4. Límite en un punto
Hazlo tú. Calcula:
a) (^) xl m í 8 2 x (^) x x
x 2
c + m b) l mí
x 8 0 f^ ( x ) siendo:^ f^ ( x ) =^ x^ x
x x
x
x
x
- (^) si
si ≥
2
a) l mí x (^82) x (^) x x
x 2
d + n = (+∞) – (+∞)^ →^ Indeterminación.
Efectuamos la resta:
l mí x (^82) x x x ( )
x 2
d + n = l mí x (^82) x x ( )
x 2
l m x x
x
l m x x
x
í
í
8
8
x
x
2
2
b) Como la función está definida mediante diferentes expresiones a la izquierda y a la derecha de x = 0, calculamos los límites laterales:
l mí x 80 –^ f ( x ) = l mí x 80 –^ ( )
x x
x 3 x 0
2
2 = = l mí x 80 –^ ( )
x x
x x 1
x 1
l mí x 80 +^ f ( x ) = l mí x 80 +^ (2 x + 3) = 3
Como los límites laterales coinciden, el límite existe y vale 3.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5. Discontinuidades
Hazlo tú. Determina los puntos de discontinuidad de f ( x ) y clasifica sus discontinuidades.
f ( x ) = x x
x x 4 21
2
2 +
Hallamos las raíces del denominador: x^2 + 4 x – 21 = 0 → x = 3, x = –7. En estos puntos la función no está definida. Estudiamos los límites en dichos puntos:
x^ l m í 83 ( )
x x
x x 4 21
2
2
= = (^) xl m í 83 ( ) ( )
x x
x x 3 7
x 7
x l m 8 í – 7 x x
x x 4 21
2
2
l m x x
x x
l m x x
x x
í
í
8
8
x
x
7 2
2
7 2
2
En x = 3 tiene una discontinuidad evitable porque el límite es finito en ese punto.
En x = –7 tiene una discontinuidad de salto infinito y, por tanto, una asíntota vertical.
Página 146
6. Cálculo de límites
Hazlo tú. Calcula los límites siguientes:
a) (^) x l m 8 í + ∞ x
x 3
c^4 –^2 m^2 x^ –^1 b) l mí
x 8 + ∞( log x )
1 – 3 x (^) c) x 8^ l mí – ∞ | x |
x 1
(^2) – d) l mí x 8 + ∞ e e
e e x (^) – x
x x
-
a) (^) x l m 8 í +∞ x
x 3
2 x – 1 d n = ∞ 3
( ∞) = +
d n
b) (^) x 8 l mí +∞ ( log x )1 – 3 x^ = (+∞)(–^ ∞)^ = 0
c) (^) x 8 l mí – ∞ | x |
x 1
x 8^ l mí – ∞ | x |
x 1
x 8^ l mí – ∞ x ∞
x 1
= + (cuando x → – ∞, x – 1 < 0).
d) (^) x 8 l mí +∞ e e
e e x (^) – x
x x
x l m 8 í + ∞ (^) e e
e e x (^) – x
x x
= (^) x l m 8 í +∞
e
e
e
e
1 – (^) x
x
x
x
= (^) x 8 l mí +∞
e
e 1 1
x
2
2
1 0
7. Límites con radicales
Hazlo tú. Calcula.
a) (^) xl m í 8 1 x
x 2 3
b) (^) x 8 l mí +∞ ( 3 x^2 – 2 – x )
a) (^) xl m í 81 x
x 2 3
(^0) = l mí x (^81) (
x
x x 2 3 x
= (^) xl m í 81 ( )
x
x x 4 3
= (^) xl m í 81 (^ ) (^ ) x
x x 1
- (^) = l mí x 81 [^ –^ (^2 +^ x +^3 )]^ =–^4
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
f ( x ) = x ( )
x a x x x
x ax x 2
- (^) = 2 + – + (^). Estudiamos los límites en x = 2 y en x = 0.
x^ l m í 82 f^ ( x ) =^ xl m í 82 ( ) ( )
x x
x ax x a 2
(^2) + – + (^) = + (^) = ± ∞ ya que el numerador es distinto de 0 por ser
a ≠ –2.
x^ l m í 80 f^ ( x ) =^ xl m í 80 x x ( )
x ax x 2
2 + – + (^ )
l m x x
x ax x
l m x x
x ax x
í
í
8
8
x
x
0
2
0
2
-
+
En este caso tiene dos discontinuidades de salto infinito en x = 2 y en x = 0.
Página 148
10. Función continua
Hazlo tú. Calcula el valor de a y de b para que la siguiente función sea continua en x = 3:
f ( x ) = (^) x
x a bx
x x
si si ≥
2
La función será continua en x = 3 si l mí x 83 f ( x ) = f (3). Comprobemos esto.
f (3) = 3 b – 6
Para calcular l mí x 83 f ( x ), hallamos los límites laterales en x = 3:
- l mí x 83 –^ f ( x ) = l mí x 83 –^ ( )
x
x a a 3 0
Para que este límite sea finito, el numerador debe tender a 0, y, por tanto, a = 9. En tal caso:
l mí x 83 –^
f ( x ) = l mí x 83 –^ x
x 3
(^2) – = l mí x 83 –
x
x x 3
( x + 3) = 6
- l mí x 83 +^ f ( x ) = l mí x 83 +^ ( bx – 6) = 3 b – 6
Para que exista límite debe ser 6 = 3 b – 6 → b = 4. Si a = 9 y b = 4, la función es continua en x = 3 ya que l mí x 83 f ( x ) = f (3) = 6.
11. Continuidad en un punto
Hazlo tú. Estudia la continuidad de la función f ( x ) y clasifica sus discontinuidades.
f ( x ) = (^) | | x x
x (^) x
1 x
si ≠ si
Para x < 0, f ( x ) = x^2 + x
x
- = x^2 – 1 es una función continua.
Para x > 0, f ( x ) = x^2 + x
x (^) = x (^2) + 1 es una función continua.
Estudiamos la continuidad en x = 0:
(
( )
l m )
l m x
x
1 1
í – 1 – 1
í
8
8
x
x
2
0
0
2
- + =
+
_
`
a
bb
b
→ No existe el límite porque los límites laterales son distintos.
f (0) = 1
La función presenta en x = 0 una discontinuidad inevitable de salto finito.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas guiados
Página 149
1. Límite de una diferencia de radicales
Calcular el valor de a para que el siguiente límite sea finito y hallar su valor:
x 8 l mí+ ∞ (^2 x^ –^ ax^3 x)
Para que el límite se pueda calcular debe existir la raíz y para ello, el radicando debe ser positivo cuando x es muy grande. Por tanto, a > 0.
x l m 8 í + ∞ (^2 x^^ –^ ax^^3 x )
x 8^ l mí +∞
x ax x
x ax x x ax x 2 3
2
2 2
= (^) x 8 l mí +∞^ (^ ) x ax x
x ax x 2 3
2
2 2
x l m 8 í +∞
x ax x
a x x 2 3
2
2
Para que el límite exista, los grados del numerador y del denominador deben ser iguales. Como el denomi- nador tiene grado 1, el numerador también debe tener grado 1 y, por tanto, debe ser a = 4.
En tal caso, (^) x 8 l mí +∞ x x x
x 2 4 3
+ 2 + =^.
2. Función continua
Estudiar la continuidad de esta función según los valores de a:
f (x) = x a x ax
si x si x
La función es continua cuando x ≠ 1 porque las funciones que intervienen son continuas al ser funciones polinómicas.
Veamos la continuidad en x = 1:
l m í x 81 –^
(–2 x + a ) = –2 + a l mí x 81 +^
( x^2 – ax + 5) = 6 – a
Para que exista el límite, los límites laterales deben ser iguales. Por tanto:
–2 + a = 6 – a → a = 4
Para el valor obtenido de a la función es continua porque (^) xl m í 81 f ( x ) = f (1).
Si a ≠ 4, entonces la función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x = 1 al existir los límites laterales en dicho punto y ser distintos.
3. Continuidad en un punto
Dada la siguiente función:
f (x) = ln
e k x
si x si x 1 si x
( x 2 – 2 )/x
a) ¿Existe algún valor de k para el cual f (x) sea continua?
b) Hallar el límite cuando x → +∞ y cuando x → – ∞ de la función.
a) Veamos la continuidad en x = 0:
l mí x 80 –^
e x
x^2 – 2 = e (+∞)^ = +∞ l mí x 80 +^
(1 – ln x ) = +∞
No existe ningún valor de k ya que los límites laterales en el punto x = 0 no existen.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 150
P ara practicar
Límites cuando x → ± ∞
1 Calcula los límites cuando x → – ∞ de estas funciones:
a) f ( x ) = x
x 2
+ (^) b) g ( x ) = x
x 1
c) h ( x ) = x
x 2 3
d) i ( x ) = x
x x 7 5
3
3 +
a) (^) x 8 l mí – ∞ x
x 2
x 8^ l mí +∞ (^) x
x 2
b) (^) x 8 l mí – ∞ x
x 1
c) (^) x 8 l mí – ∞ x
x 2 3
= (^) x 8 l mí +∞ ∞ x
x 2 3
d) (^) x 8 l mí – ∞ x
x x 7 5
3
3
x 8^ l mí +∞ (^) x
x x 7 5
3
3
2 Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y del denominador:
a) (^) x l m 8 í +∞ x
x x 2 1
+ (^) b) x l m 8 í +∞ (^) x
x 1
c) (^) x l m 8 í +∞ x
x 2 3
+ (^) d) x l m 8 í +∞ (^) x
x 2
a) (^) x 8 l mí +∞ x
x x 2 1
x 8^ l mí +∞ (^) x
x 2
=^3
b) (^) x 8 l mí +∞ x
x 1
c) (^) x 8 l mí +∞ x
x 2 3
d) (^) x 8 l mí +∞ x
x 2
3 Calcula estos límites comparando los órdenes de infinito:
a) (^) x 8 l mí + ∞( e x^ – x^3 ) b) (^) x 8 l mí +∞ ln ( ) x
x^2 + 1
c) (^) x 8 l mí + ∞ e
x 1 x
d) (^) x 8 l mí + ∞( x^2 + x – x + 7 )
a) (^) x 8 l mí +∞ ( e x^ – x^3 ) = + ∞
b) (^) x 8 l mí +∞ ln^ (^ ) x
x^2 + (^1) = 0
c) (^) x 8 l mí +∞ e
x 1 x
d) (^) x 8 l mí +∞ ( x^2 + x – x + 7 )= + ∞
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Calcula el límite de estas funciones cuando x → + ∞ :
a) f ( x ) = ( x )
x x 2 1
2
b) g ( x ) = log
log x
x + x
c) h ( x ) = x
x 2 1
+ (^) d) i ( x ) = 2 1
x
x +
e) j ( x ) = x
x 1
3
2 +
f ) k ( x ) = x
x 4 3
g) l ( x ) = 2 x^ – 3 x^ h) m ( x ) = x
x x
x
- 3 5
2 2
a) (^) x 8 l mí +∞ ( x )
x x 2 1
2
= (^) x 8 l mí +∞ x x
x x 4 4 1
2
2
b) (^) x 8 l mí +∞ log
log x
x + x = (^) x 8 l mí +∞ log x
d^ x^ + 1 n = + ∞ + 1 = +∞
c) (^) x 8 l mí +∞ x
x 2 1
x 8^ l mí +∞
x 2 x
= = 2 2^ = 2
d) (^) x 8 l mí +∞^ · 2 1
x
x
e) (^) x 8 l mí +∞ x
x 1
3
2
= (^) x 8 l mí +∞ x
x 3
2 = +∞
f ) (^) x 8 l mí +∞ x
x 4 3
x l m 8 í +∞ (^) x
x 4
g) (^) x 8 l mí +∞ 2 x^ – 3 x^ = (^) x 8 l mí +∞ –3 x^ = – ∞
h) (^) x 8 l mí +∞ x
x x
x
2 2 = (^) x l m 8 í +∞ ( x ) ( x )
x x x x 3 5
5 Calcula estos límites:
a) (^) x 8 l mí – ∞ x
x 2 1
(^32) + b) (^) x 8 l mí – ∞ (1,5 x^ – x^3 )
c) (^) x 8 l mí – ∞ x x
x 3
2 e o (^) d) x 8^ l mí – ∞ x
x 1 2
e) (^) x 8 l mí + ∞ x
x x x 1
e o (^) f ) l mí x 8 + ∞(^ x^ – x^^2 x
g) (^) x 8 l mí + ∞ , x 1 2^ x 1
x (^) –^32 +
e o (^) h) (^) x 8 l mí + ∞ x
x 2 5
x – 1 +
c + m
a) (^) x 8 l mí – ∞ x
x 2 1
(^32)
= 0 porque el numerador tiene menor grado que el denominador.
b) (^) x 8 l mí – ∞ (1,5 x^ – x^3 ) = +∞ porque el infinito de una exponencial con base mayor que 1 es de orden superior que el de una potencia.
c) (^) x 8 l mí – ∞ x x
x 3
2 e o (^) = (^) x 8 l mí – ∞ x
x 3
- (^) = – porque el numerador tiene el mismo grado que el deno- minador.
d) (^) x 8 l mí – ∞ x
x 1 2
x 8^ l mí – ∞ x
x
2 = (^) x 8 l mí – ∞ x
x 2 2
