¡Descarga Resumen integracion compleja y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
1. Conceptos preliminares: El plano complejo
En esta secci´on recordaremos conceptos fundamentales que se utilizar´an a lo largo del curso, como por ejemplo conceptos relacionados con los n´umeros complejos, y sus operaciones. Adem´as estableceremos las notaciones fundamentales para el curso. El s´ımbolo Ø denotar´a el conjunto vac´ıo. Usaremos las letras may´usculas N, Z, Q, I y R para denotar conjuntos de los n´umeros naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, respectivamente. Estos conjuntos fueron estudiados en cursos anteriores, por ejemplo en el curso de an´alisis y el de c´alculo diferencial se estudia el conjunto R. Los conjuntos restantes se tratan en los cursos de fundamentos I y II y teor´ıa de n´umeros. Las letras min´usculas a, b, c, d, x, y denotar´an elementos del conjunto R.
Observaci´on 1. Como es costumbre, si A y B son conjuntos, usaremos las siguientes notaciones para las operaciones de conjuntos como la uni´on, la intersecci´on, la diferencia y el producto cartesiano de A y B como sigue:
A ∪ B := {z : z ∈ A o z ∈ B} (La uni´on de A y B.) A ∩ B := {z : z ∈ A y z ∈ B} (La intersecci´on de A y B.) A ¬ B := {z : z ∈ A y z /∈ B} (La diferencia de A y B.) A × B := {(z, w) : z ∈ A y w ∈ B} (El producto cartesiano de A y B.)
Diremos que A y B son disyuntos si su intersecci´on es vac´ıa, esto es, A ∩ B = Ø. Si A es un subconjunto de B, escribiremos A ⊆ B. En tal caso, B ¬ A es llamado el complemento de A respecto a B o el complemento relativo de A respecto a B. Cuando no haya cabida a confusi´on, el complemento de A se denotar´a por Ac.
El siguiente conjunto es conocido como el conjunto de los n´umeros complejos, se introduce inicialmente en el curso de fundamento II y en este apartado haremos un breve resumen del mismo, con sus operaciones y propiedades: C := {(a, b) : a, b ∈ R}. (1)
Las letras min´usculas z, w ser´an usadas para denotar los elementos del conjunto C.
Definici´on 1. Sean z, w ∈ C con z = (a, b) y w = (c, d). Entonces
z = w si y solo si a = c y b = d. (2)
A continuaci´on, definimos dos operaciones en C las cuales hacen que C sea un campo, a saber, la suma y la multiplicaci´on
- : C × C−→ C · : C × C−→ C (z, w)−→ z + w (z, w)−→ z · w
Estas operaciones se definen como
z + w = (a + c, b + d), z · w = (ac − bd, ad + bc), (3)
si z = (a, b) y w = (c, d).
Proposici´on 1. El conjunto C, con las dos operaciones anteriores + y ·, forma un campo. As´ı, (C, +, ·) es conocido como el campo de los complejos.
Demostraci´on. Tarea.
Observaci´on 2. De las propiedades se campo se sigue que existe el elemento neutro para a suma denotado por 0 = (0, 0) ∈ C. Luego,
- Si z = (a, b) ∈ C, entonces z0 = (a, b)(0, 0) = (a 0 − 0 b, a0 + 0b) = (0, 0) = 0.
- Si z ∈ R, usaremos la notaci´on z = (z, 0) ∈ C. As´ı R ⊂ C y z se conoce como real puro.
- Usaremos la simplificaci´on i = (0, 1). Note que i^2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (0 − 1 , 0 + 0) = (− 1 , 0) = − 1.
- Si b ∈ R, entonces ib = (0, 1)(b, 0) = (0, b) ∈ C y este ´ultimo se conoce como imaginario puro.
- Si z = (a, b) ∈ C, entonces z = (a, 0) + (0, b) = a + ib. Otra manera de introducir el conjunto de los complejos es
C := {a + ib : a, b ∈ R}, (4)
donde el s´ımbolo i denota una soluci´on de la ecuaci´on x^2 + 1 = 0, la cual sabemos que, por los axiomas de campo y de orden en R, no tiene soluci´on en R. Ahora, continuamos con algunas notaciones de conceptos inherentes a los complejos
Definici´on 3. Si z = a + ib con z 6 = 0, entonces
|z| :=
a^2 + b^2 (El m´odulo de z.) Arg{z} := θ ∈ (−π, π] (El argumento principal de z.) arg z := θ(n) (Un argumento de z.)
z = a + ib
θ(n) = θ + 2nπ θ
z = a + ib
|z|
Note que el valor arg z no es ´unico, ya que este representa un ´angulo determinado por el rayo dado por eje real positivo, y el vector −→ 0 z, es decir, el rayo que pasa por el origen y la coordenada (a, b), al ser representada en el plano cartesiano. Por esta raz´on, arg z ser´a considerado un conjunto de valores y usualmente usaremos la notaci´on θ ∈ arg z, para indicar un argumento del n´umero complejo z. Por otro lado, el ´unico valor de dichos ´angulos que satisface estar en el intervalo (−π, π] se le llamar´a el argumento principal de z. Por lo tanto, si Arg{z} es conocido, entonces arg z := {Arg{z} + 2nπ : n ∈ Z} o equivalentemente arg z = Arg{z} (m´od 2π). Ahora, si a 0 ∈ R, definimos
(−∞, a 0 ] := {a + ib ∈ C : b = 0 y a ≤ a 0 }, (−∞, a 0 ) := {a + ib ∈ C : b = 0 y a < a 0 }, (a 0 , ∞) := {a + ib ∈ C : b = 0 y a > a 0 }, [a 0 , ∞) := {a + ib ∈ C : b = 0 y a ≥ a 0 }.
V´ease la siguiente gr´afica en la cual se representan zj y su respectivo argumento principal θj = Arg{zj },
para cada j = 1, 2 , 3 , 4.
z 1
θ 1
z 2
θ 2 z 3
θ 3 = π
z 4
θ 4
Note que:
- z ∈ (−∞, 0) si y solo si Arg{z} = π,
- Arg{z¯} = −Arg{z}. Con respecto al m´odulo de z, el cual coincide con el valor absoluto cuando z ∈ R, se presentan las siguientes propiedades
Proposici´on 3. Sean z, w ∈ C. Entonces
- |z|^2 = z ¯z.
- |z| = |z¯|.
- |zw| = |z||w|.
- |Re{z}| ≤ |z| y |Im{z}| ≤ |z|.
- |z + w| ≤ |z| + |w|.
- ∣∣|z| − |w|∣∣^ ≤ |z − w|.
Demostraci´on. Tarea.
De la parte 1, de la Proposici´on 3, en conjunto con la propiedad del inverso multiplicativo obtenemos que si z 6 = 0, entonces su inverso multiplicativo tiene la forma
z−^1 = (^) |zz¯| 2.
As´ı, obtenemos la representaci´on polar del complejo z como sigue:
z = r(cos θ + i sen θ) = |z|(cos θ + i sen θ) con θ ∈ arg z. (6)
M´as a´un, si z = a + ib con z 6 = 0, entonces
Arg{z} =
arcsin
( (^) b |z|
si a ≥ 0 , π − arcsin
( (^) b |z|
si a < 0 y b ≥ 0 , −π − arcsin
( (^) b |z|
si a < 0 y b < 0.
Por otro lado, se puede verificar que
zw = 0 si y solo si z = 0 o w = 0.
Supongamos que z 6 = 0 y w 6 = 0 con θ 1 ∈ arg z y θ 2 ∈ arg w, entonces
z = |z|(^ cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 ))^ y w = |w|(^ cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )). (8)
Luego
zw = |z||w|(^ cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 ))(^ cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )) = |z||w|(^ cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) − sen(θ 1 ) sen(θ 2 ))^ + i(^ sen(θ 1 ) cos(θ 2 ) + sen(θ 2 ) cos(θ 1 )) = |z||w|(^ cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )).
Esto se interpreta de la siguiente manera: al multiplicar el n´umero complejo z con el n´umero complejo w con argumento θ 2 , el complejo resultante ser´a una rotaci´on del vector −→ 0 z un ´angulo de θ 2 radianes, con m´odulo |z||w|. M´as preciso,
- Arg{zw} = Arg{z} + Arg{w} (m´od 2π),
- |zw| = |z||w|.
- z = w si y solo si |z| = |w| y Arg{z} = Arg{w} (m´od 2π).
Gr´aficamente:
z
θ 1
w θ 2
z
θ 1
w θ 2
θ 2
zw
|z|| w|
θ 1 + θ 2
Por otro lado, si w ∈ C con w 6 = 0, entonces w = |w|(^ cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )). M´as a´un,
w−^1 = (^) |ww¯| 2 = |w|
( (^) cos(−θ 2 ) +^ i^ sen(−θ 2 )
|w|^2 =^ |w|
− 1 (^ cos(−θ 2 ) + i sen(−θ 2 ))^ (9)
Adem´as, si z 6 = 0, entonces z = |z|(^ cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 ))^ y
z w =^
|z| |w|
( (^) cos(θ 1 −^ θ 2 ) +^ i^ sen(θ 1 −^ θ 2 )
2. Potenciaci´on y Radicaci´on
Definici´on 4 (Potenciaci´on). Si n ∈ N y z ∈ C, se define la potenciaci´on (se lee “z a la n”)
zn^ = z︸ × z × · · · ×︷︷ z︸ n−veces
Como consecuencia de la definici´on, en conjunto con las propiedades de campo de C, obtenemos las siguientes propiedades de la potenciaci´on que nos permiten definirla con exponentes enteros
Proposici´on 5 (Propiedades de la potenciaci´on). Sean z, w ∈ C y m, n ∈ N. Entonces
- zn^ × zm^ = zn+m.
- (zn)m^ = znm.
- (z × w)n^ = zn^ × wn.
- (z ÷ w)n^ = zn^ ÷ wn.
- Si z 6 = 0, entonces z^0 = 1.
- Si z 6 = 0, entonces (z−^1 )n^ = (zn)−^1. Se define z−n^ := (zn)−^1.
- zn^ ÷ zm^ = zn−m.
Demostraci´on. Tarea.
k 1 = k 2 (m´od n), entonces existe m ∈ Z tal que k 1 = k 2 + nm, de donde se tiene
wk 1 = n
|z|
cos
( (^) θ + 2k 1 π n
( (^) θ + 2k 1 π n
= n
|z|
cos
( (^) θ + 2(k 2 +^ nm)π n
( (^) θ + 2(k 2 +^ nm)π n
= n
|z|
cos
(( (^) θ + 2k 2 π n
(( (^) θ + 2k 2 π n
= n
|z|
cos
( (^) θ + 2k 2 π n
( (^) θ + 2k 2 π n
= wk 2.
Por lo tanto, para cada z ∈ C con z 6 = 0, existen n ra´ıces n−´esimas a saber
wk = n
|z|
cos
( (^) θ + 2kπ n
( (^) θ + 2kπ n
; para k = 0, 1 , 2 ,... , n − 1.
Note que todas las ra´ıces tienen el mismo m´odulo y est´an igualmente espaciadas, de acuerdo al argumento, ya que αk+1 − αk = θ^ + 2(kn^ + 1)π− θ^ + 2n kπ=^2 n π.
Para el caso k = 0, el valor particular w 0 = √n|z|
cos
( (^) θ n
( (^) θ n
se le llama la ra´ız principal de z. A continuaci´on se presentan gr´aficamente ejemplos de las 3 ra´ıces de c´ubicas de z = 1, las 5 ra´ıces quintas de z = −
√3+i 2 y las 6 ra´ıces sextas de^ z^ =^ i.
w 0
w 1
w 2
Figura 1: wk = √^3 1.
w 0
w 1
w 2
w 3
w 4
√ 3 2 +^2 i
Figura 2: wk = 5
√ 3 2 +^2 i.
w 0
w 1 w 2
w 3
w 4
w 5
i
Figura 3: wk = √^6 i.
Definici´on 6. Sean z ∈ C y p ∈ Q. Se define zp^ como sigue: dado que p = mn , con m ∈ Z, y n ∈ N, entonces
zp^ = n
zm. (14)
Note que si m ≤ −1, es necesario que z 6 = 0.
3. Exponencial y logaritmos complejos
La idea principal de esta secci´on es definir la potenciaci´on de n´umeros complejos, donde el exponente sea un n´umeros complejos. En la secci´on anterior se adelant´o hasta el caso de zp, donde p es un n´umero racional. Para lograr nuestro objetivo, primero definiremos ez^ , donde z ∈ C, pero antes recordemos algunos resultados del an´alisis real y trabajemos de manera formal con las series que aparecen. Si t ∈ R, entonces
et^ =
∑^ ∞
n=
tn n! , cos t =
∑^ ∞
n=
(−1)kx^2 k (2k)! , sen t =
∑^ ∞
n=
(−1)kx^2 k+ (2k + 1)!.
Dado que se desea definir ez^ que sea una extensi´on del caso real, inicialmente se debe satisfacer la propiedad es+t^ = es^ × et.
Luego, si z = a + ib, lo primero que debemos imponer es
ez^ = ea+ib^ = ea^ × eib.
Esto implica que es suficiente definir de manera apropiada eib.
Como consecuencia de la propiedad 7. de la exponencial se obtiene que al aplicar el logaritmo a un n´umero complejo, esta operaci´on no arroja un ´unico valor, al igual que la operaci´on de radicaci´on. En este caso, veremos que el conjunto de valores de log z es infinito contable. Sea z ∈ C con z 6 = 0 y θ = Arg{z}. Luego
z = |z|(^ cos θ + i sen θ). (17)
Si w = c + id es un logaritmo de z, es decir, w = log z, entonces
z = ew^ = ec(cos d + i sen d). (18)
Comparando (17) y (18) obtenemos que
ec^ = |z| y d = θ (m´od 2π).
Equivalentemente c = ln |z| y d = θ + 2nπ con n ∈ Z.
Por lo tanto, si z = |z|eiArg{z}, entonces
log z = ln |z| + (Arg{z} + 2nπ)i con n ∈ Z. (19)
El valor particular, cuando n = 0, se conoce como el logaritmo principal de z y se denotar´a por Log z, i.e., Log z = ln |z| + iArg{z}.
Definici´on 9. Sean z ∈ C con z 6 = 0 y r ∈ R. Se define
zr^ := er^ log^ z^ = er^ ln^ |z|+ir(Arg{z}+2nπ)^ = |z|reir^ arg^ z^. (20)
Note que esta asignaci´on tampoco es ´unica, pero en el caso particular n = 0 se llama la potencia principal de zr. Si z ∈ C con z 6 = 0, entonces z = |z|eiArg{z}. Adem´as, √ nz = √n|z|ei Arg{zn} +2kπ, con k = 0, 1 , 2 ,... , n − 1. (21)
Definici´on 10. Sean z, w ∈ C con z 6 = 0. Se define
zw^ := ew^ log^ z^. (22)
Igual que las anterior, esta asignaci´on no es ´unica, pero cuando se usa el logaritmo principal en el lado derecho, se conoce como la potencia principal de zw. Vistas como conjuntos las operaciones log z y zw^ se tienen las siguientes propiedades:
Proposici´on 8. Sean z, w 1 , w 2 ∈ C con z 6 = 0. Entonces
- log zw 1 = log z + log w 1 , si w 1 6 = 0.
- zw^1 +w^2 = zw^1 × zw^2.
Observaci´on 3. En general, no se tienen todas las propiedades an´alogas a las propiedades de la potenciaci´on de n´umeros reales. Por ejemplo, las siguientes igualdades no siempre se cumplen:
- (w 1 w 2 )z^ = wz 1 wz 2.
- (zw^1 )w^2 = zw^1 w^2.
- Log zw = Log z + Log w.
Definici´on 11. Sea z ∈ C. Se definen las siguientes operaciones:
- sen z = e
iz (^) − e−iz 2 i.
- cos z = e
iz (^) + e−iz
senh z = e
z (^) − e−z
cosh z = e
z (^) + e−z
4. Lugares geom´etricos del plano
Agregar...
