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1. Integraci´on compleja: repaso curvas en el plano
En el curso de c´alculo integral se estudian integrales de funciones reales sobre conjuntos de la recta real,
principalmente en un intervalo de la forma I = [a, b] con a < b, a saber: Sea φ : I ⊂ R−→R una funci´on real
valuada. Consideremos P una partici´on de I, estos es, P := {t 0 , t 1 , t 2 ,... tn} con t 0 = a, tn = b y tk− 1 < tk;
para cada k = 1, 2 ,... , n. Denote Ik = [tk− 1 , tk] y ∆kt = tk − tk− 1 para k = 1, 2 ,... , n.
Definamos los siguientes n´umeros
L(φ; P) =
n ∑
k=
mk∆kt, (Suma inferior de φ)
U (φ; P) =
∑^ n
k=
Mk∆kt, (Suma superior de φ)
donde, para cada k = 1, 2 , 3 ,... , n,
mk := ´ınf{φ(t) : t ∈ Ik}, y Mk := sup{φ(t) : t ∈ Ik}.
Con estas definiciones siempre tenemos que L(φ; P) ≤ U (φ; P).
M´as a´un, definamos los siguientes n´umeros
R
∗ (φ; I) := ´ınf {U (φ; P) : P es una partici´on de I} , (Integral de Riemann superior de φ)
R∗(φ; I) := sup {L(φ; P) : P es una partici´on de I}. (Integral de Riemann inferior de φ)
Definici´on 1. Diremos que una funci´on φ : I ⊂ R−→R real valuada es (Riemann) integrable en I, si
R
∗ (φ; I) = R∗(φ; I). En este caso el n´umero com´un se denomina la integral (de Riemann) de φ en el
intervalo I y se denota por: ∫
I
φ(t)dt =
∫ (^) b
a
φ(t)dt. (1)
Observaci´on 1. Si I = I 1 ∪ I 2 con I 1 ∩ I 2 siendo a lo m´as un punto, entonces φ es integrable en I, s´ı y
s´olo si lo es en cada Ii para i = 1, 2. En tal caso,
I
φ(t)dt =
I 1
φ(t)dt +
I 2
φ(t)dt.
Proposici´on 1. Si φ : I ⊂ R−→R es continua en I, entonces es φ integrable en I.
Demostraci´on. Ver Rudin.
Corolario 1. Si φ : I ⊂ R−→R tiene ´unicamente un n´umero finito de discontinuades en I, entonces es f φ
integrable en I.
Otros resultados necesarios que tambi´en pueden ser consultados en el texto de W. Rudin son los siguien-
tes:
Proposici´on 2. Si φ y ψ son integrables en I = [a, b] y c ∈ R, entonces cφ y φ + ψ son integrables en I.
Adem´as se cumple:
∫ (^) b
a
cφ(t)dt = c
∫ (^) b
a
φ(t)dt
∫ (^) b
a
(φ + ψ)(t)dt =
∫ (^) b
a
φ(t)dt +
∫ (^) b
a
ψ(t)dt.
∫ (^) a
b
φ(t)dt = −
∫ (^) b
a
φ(t)dt
∫ (^) b
a
φ(t)dt
∫ (^) b
a
|φ(t)|dt.
Demostraci´on. Ver Rudin.
Proposici´on 3. Sea φ integrable en [a, b] y Φ(x) =
∫ (^) x
a
φ(t)dt, para x ∈ [a, b]. Si φ continua en x 0 ∈ (a, b)
entonces Φ
′ (x 0 ) = φ(x 0 ).
Demostraci´on. Ver Rudin.
Proposici´on 4 (Teorema Fundamental del C´alculo). Sea φ una funci´on integrable en I = [a, b]. Si
existe Φ una funci´on derivable tal que Φ
′ (t) = φ(t); para todo t ∈ I, entonces
I
φ(t)dt =
∫ (^) b
a
φ(t)dt = Φ(b) − Φ(a). (2)
Demostraci´on. Ver Rudin.
Ahora, vamos a considerar f : U ⊆ C−→C una funci´on complejo valuada y apliquemos esta definici´on
para extender este concepto a este tipo de funciones, pero en este caso se integrar´a sobre curvas o caminos
en U. Para ello, recuerde que un camino o una curva en U es una funci´on γ : [0, t]−→U continua en
[0, 1]. El camino se dice cerrado si γ(0) = γ(1). Si γ es inyectiva en [0, 1], diremos que es simple. Diremos
que es simple y cerrado si γ(0) = γ(1) y γ es inyectiva en (0, 1). Adem´as, |γ| := γ([0, 1]) es llamada la
trayectoria de la curva.
t x(t) = t(t − 1) y(t) = t
2 (t − 1)
− 1 , 00 2 , 0000 − 2 , 0000
− 0 , 75 1 , 3125 − 0 , 9844
− 0 , 50 0 , 7500 − 0 , 3750
− 0 , 25 0 , 3125 − 0 , 0781
0 , 00 0 , 0000 0 , 0000
0 , 25 − 0 , 1875 − 0 , 0469
0 , 50 − 0 , 2500 − 0 , 1250
0 , 75 − 0 , 1875 − 0 , 1406
1 , 00 0 , 0000 0 , 0000
1 , 25 0 , 3125 0 , 3906
1 , 50 0 , 7500 1 , 1250
1 , 75 1 , 3125 2 , 2969
2 , 00 2 , 0000 4 , (^0000) γ(−1)
γ(2)
As´ı, el camino dado no es simple y tampoco es cerrado.
Una curva de Jordan en U le llamaremos a la trayectoria de un camino simple y cerrado en U.
Luego, toda curva de Jordan es un conjunto compacto, pues es cerrado y acotado. Luego, CrJ es abierto
en C. Tambi´en es conocido que CrJ se puede escribir como la uni´on de conjuntos conexos, abiertos en C y
disyuntos, es decir,
CrJ =
α∈∆
Cα,
donde cada Cα es conexo, abierto en C y Cα 1 ∩ Cα 2 si α 1 6 = α 2.
El Teorema de la curva de Jordan asegura que |∆| = 2, i.e., existen ´unicamente dos conjuntos
disyuntos C 1 y C 2 conexos y abiertos en C tales que CrJ = C 1 ∪ C 2 , con ∂C 1 = ∂C 2 = J. Pero, uno de
estos conjuntos es acotado y el otro no. Al conjunto acotado le llamaremos el interior a la curva J y el
otro es exterior a la curva.
J
C 1
C 2
Curva de Jordad
Definici´on 2. Sea γ : [0, 1]−→U es un camino en U.
- Si γ(t) = x(t) + iy(t), con x, y : [0, 1]−→R siendo dos funciones reales para las cuales x
′ (t) y y
′ (t)
existen y son continuas en (0, 1), entonces diremos que γ es un camino suave.
- Si existe una partici´on 0 = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < tn = 1, tal que γ
[tk− 1 ,tk ]
es un camino suave, para
cada k ∈ { 1 , 2 ,... , n}, diremos que γ es un camino suave a trozos.
Dado que C ∼= R
2 , entonces γ
′ (t 0 ) tambi´en se puede interpretar como el vector tangente a la curva en el
punto γ(t 0 ) o equivalentemente el vector velocidad de la part´ıcula con trayectoria |γ|, en el instante t 0 , que
en cualquiera de las interpretaciones indica la direcci´on de recorrido del camino.
γ′(t 1 )
γ(t 1 )
γ(0)
γ(1)
U
γ(t 2 )
γ′(t 2 )
γ′(t) indica la direcci´on del movimiento
Dada una curva γ : [0, 1]−→U una curva en U y φ : [a, b]−→[0, 1] una funci´on continua y no-decreciente
en el intervalo [a, b] con φ([a, b]) = [0, 1], entonces la funci´on λ : [a, b]−→O, definida por λ(t) = γ(φ(t)) es
llamada una reparametrizaci´on de γ. Adem´as, si φ ∈ C
1 ([a, b]) entonces diremos que λ es una repara-
metrizaci´on suave de γ y φ es un cambio de par´ametro suave. Luego, es claro que γ y λ tienen la misma
trayectoria.
γ 1 (0)
γ 1 (1) = γ 2 (0)
γ 2 (1)
γ 1
γ 2
γ 1 y γ 2
(γ 1 + γ 2 )(0) (γ 1 + γ 2 )(1)
γ 1 + γ 2
De acuerdo a las definiciones anteriores puede verificarse que si γ es suave a trozo, entonces −γ tambi´en
es suave a trozo. Adem´as, si γ 1 y γ 2 son suaves a trozos, entonces γ 1 + γ 2 es tambi´en suave a trozo. En ese
sentido, todo camino suave a trozo se puede ver como la suma de un n´umero finito de caminos
suaves a trozos.
Por otro lado, note que todo camino suave es suave a trozo, adem´as los caminos rectos γ(t) = tw+(1−t)z
con t ∈ [0, 1] son suaves. As´ı, los conjuntos convexos tiene la propiedad de que para cada par de puntos
existe un camino suave a trozo que los une. Esta propiedad la cumplen tambi´en los dominios, como ya se
demostr´o en secciones anteriores.
2. Integraci´on compleja: integral sobre curvas
Para entrar en la integraci´on de funciones complejas sobre curvas recuerde la Proposici´on 1 que establece
que si una funci´on real valuada es continua en un intervalo [a, b], entonces la integral est´a bien definida.
Luego, si g : [a, b]−→C es continua en [a, b], entonces g(t) = α(t) + iβ(t); para cada t ∈ [a, b], con α, β
funciones real valuadas continuas en [a, b]. Esto implica que α y β son integrables en [a, b], por lo que
∫ (^) b
a
α(t)dt y
∫ (^) b
a
β(t)dt
est´an bien definidas, y, a su vez, nos permite definir
b
a
g(t)dt =
b
a
α(t)dt + i
b
a
β(t)dt. (5)
As´ı definida, es suficiente que g sea continua en [a, b] para que sea integrable. Tambi´en se cumple
Re
b
a
g(t)dt
∫ (^) b
a
Re{g(t)}dt y Im
b
a
g(t)dt
∫ (^) b
a
Im{g(t)}dt.
Adem´as, si g, h : [a, b]−→C son continuas y z ∈ C, entonces
∫ (^) b
a
zg(t)dt = z
∫ (^) b
a
g(t)dt. •
∫ (^) b
a
(g + h)(t)dt =
∫ (^) b
a
g(t)dt +
∫ (^) b
a
h(t)dt.
Tambi´en se puede verificar la versi´on del Teorema Fundamental del C´alculo, quedando como sigue: Si
g : [0, 1] −→ C es integrable en [a, b] y G una funci´on derivable en [a, b] tal que G
′ (t) = g(t), para cada
t ∈ [a, b], entonces ∫ (^) b
a
g(t)dt = G(b) − G(a). (6)
Ahora extenderemos las integrales a funciones de variable compleja, pero sobre curvas o contornos. Sea
f : U ⊆ C−→C una funci´on continua en U y γ : [0, 1]−→U un camino suave a trozo. Definimos la integral
de f sobre a lo largo de γ como
γ
f dz =
0
f (γ(t))γ
′ (t)dt. (7)
Bajo las condiciones indicadas, la funci´on g(t) = f (γ(t))γ
′ (t) es continua en [0, 1], luego g es integrable en
[0, 1], por lo tanto el lado derecho de la Ecuaci´on (7) est´a bien definido. M´as a´un, es suficiente que la funci´on
f sea continua en |γ| para que la integral de f a lo largo de γ est´e bien definida.
Tambi´en definimos la integral de f a lo largo de γ con respecto a la longitud de arco como
γ
f |dz| =
0
f (γ(t))|γ
′ (t)|dt. (8)
Ejemplo 2. Sea γ(t) = te
it , para t ∈ [0, π] y f (z) = ¯z; con z ∈ C. Eval´ue
γ
f dz 2.
γ
|f ||dz|
Soluci´on. Dado γ(t) = te
it , entonces γ
′ (t) = e
it
it = (1 + it)e
it , |γ
′ (t)| =
1 + t
2 y f (γ(t)) = te
−it .
Luego
γ
f dz =
∫ (^) π
0
f (γ(t))γ
′ (t)dt =
∫ (^) π
0
te
−it (1 + it)e
it dt =
∫ (^) π
0
(t + it
2 )dt =
t
2
it
3
π
0
π
2
iπ
3
γ
|f ||dz| =
∫ (^) π
0
|f (γ(t))||γ
′ (t)|dt =
∫ (^) π
0
t
1 + t^2 dt =
(1 + t
2 )
3 / 2
π
0
(π^2 + 1)^3 − 1).
Las definiciones dadas en las ecuaciones (7) y (8) se pueden implementar para el caso cuando la curva es
suave a trozo de la siguiente manera. Sea γ un camino suave a trozo y [0, 1] =
⋃^ n
k=
[tk− 1 , tk] con γk = γ
[tk− 1 ,tk ]
γ
f |dz| =
γ 1
f |dz| +
γ 2
f |dz| =
− 1
f (γ 1 (t))|γ
′ 1 (t)|dt^ +
0
f (γ 2 (t))|γ
′ 2 (t)|dt
− 1
t
2 dt + 2
0
t
2 dt
γ
g|dz| =
γ 1
g|dz| +
γ 2
g|dz| =
− 1
g(γ 1 (t))|γ
′ 1 (t)|dt^ +
0
g(γ 2 (t))|γ
′ 2 (t)|dt
= − 2 i
− 1
t
2 dt + 2i
0
t
2 dt
Ejemplo 4. Sea n ∈ Z. Considere γ(t) = e
it ; para t ∈ [0, 2 π] y fn(z) = z
n
. Calcule
γ
fndz; para cada
n ∈ Z.
Soluci´on. Si γ(t) = e
it , entonces γ
′ (t) = ie
it , y fn(γ(t)) = e
int
. Primero supongamos que n = −1, entonces
γ
f− 1 dz =
∫ (^2) π
0
f− 1 (γ(t))γ
′ (t)dt =
∫ (^2) π
0
e
−it ie
it dt = i
∫ (^2) π
0
dt = 2πi.
Ahora, supongamos que n 6 = −1, luego n + 1 6 = 0 y
γ
fndz =
∫ (^2) π
0
fn(γ(t))γ
′ (t)dt =
∫ (^2) π
0
e
nit ie
it dt
= i
∫ (^2) π
0
e
(n+1)it dt
(n + 1)
e
(n+1)it
2 π
0
(n + 1)
e
2(n+1)πi − 1
Por lo tanto,
γ
fndz =
2 πi, si n = −1;
0 , si n 6 = − 1.
A continuaci´on, se establece una lista de propiedades de las integrales sobre caminos, basadas en las
propiedades de integrales de funciones real-valuadas.
Proposici´on 5. Sean f, g : U −→C dos funciones continuase U y considere γ, λ : [0, 1]−→U dos caminos
suaves a trozo en U y c ∈ C. Entonces
γ
(f + g)dz =
γ
f dz +
γ
gdz.
γ
cf dz = c
γ
f dz.
−γ
f dz = −
γ
f dz.
γ
f dz
γ
|f ||dz|.
- Si γ(1) = λ(0), entonces
γ+λ
f dz =
γ
f dz +
λ
f dz.
- Si λ es una reparametrizaci´on suave de γ, entonces
λ
f dz =
γ
f dz.
Demostraci´on. La demostraci´on de los numerales 1. y 2. se sigue de las respectivas propiedades de la integral
definida por (5). Queda como ejercicios al lector escribir la demostraci´on formal de ellas. Verifiquemos 3.-6.
- Supongamos λ = −γ, entonces λ(t) = γ(1 − t) y λ
′ (t) = −γ
′ (1 − t) para t ∈ [0, 1]. Luego
λ
f dz =
0
f (λ(t))λ
′ (t)dt =
0
f (γ(t))(−γ
′ (t))dt
0
f (γ(1 − t))γ
′ (1 − t)dt
sss=1=1=1−−−ttt dsdsds===−−−dtdtdt
↓
1
f (γ(s))γ
′ (s)ds = −
0
f (γ(s))γ
′ (s)ds =
γ
f dz.
- Sea w =
γ
f dz. Entonces w = |w|e
iArg{w} , es decir
|w| = we
−iArg{w} = e
−iArg{w}
γ
f dz =
γ
e
−iArg{w} f dz =
0
e
−iArg{w} f (γ(t))γ
′ (t)dt ∈ R
.
As´ı,
|w| = Re
1
0
e
−iArg{w} f (γ(t))γ
′ (t)dt
0
Re
e
−iArg{w} f (γ(t))γ
′ (t)
dt
0
Re
e
−iArg{w} f (γ(t))γ
′ (t)dt
0
∣Re
e
−iArg{w} f (γ(t))γ
′ (t)
∣ dt
0
∣e
−iArg{w} f (γ(t))γ
′ (t)
∣ dt
0
|f (γ(t))|
∣γ′(t)
∣ (^) dt =
γ
|f ||dz|.
bles o curvas de variaci´on acotada, donde la longitud se define por
(γ) := sup{(γ, P) : P es una partici´on de [0, 1]}, (11)
con `(γ, P) =
n ∑
k=
|γ(tk) − γ(tk− 1 )|, siendo P = {0 = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < tn = 1} una partici´on del intervalo
[0, 1].
Proposici´on 6. Si γ es un camino suave a trozos, entonces γ es rectificable y los valores (10) y (11)
coinciden.
Demostraci´on. Tarea.
Una consecuencia inmediata de la propiedad 4. es que si la funci´on f tiene m´odulo acotado a lo largo de
|γ|, es decir, existe M > 0, tal que |f (z)| ≤ M ; para todo z ∈ |γ|, entonces
γ
f dz
≤ M `(γ).
Ejemplo 5. Sea r > 0 y γ(t) = re
it ; para t ∈
[
π 4
]
. Verifique que
γ
e
iz^2 dz
π(1 − e
−r^2 )
4 r
Soluci´on. Consideremos f (z) = e
iz^2 ; con z ∈ C. Luego, si z = x + iy, entonces iz
2 = − 2 xy + i(x
2 − y
2 ),
f (z) = e
− 2 xy e
i(x^2 −y^2 ) y |f (z)| = e
− 2 xy
. Ahora, si z ∈ |γ|, entonces z = γ(t) = r cos t+ir sen t; para t ∈
[
π 4
]
y se tiene que
|f (z)| = |f (γ(t))| = e
− 2 r^2 cos(t) sen(t) = e
−r^2 sen(2t) ; con t ∈
[
π
]
Por otro lado, estudiemos un poco la funci´on u(t) = sen(2t); para t ∈
[
π 4
]
. Note que u
′ (t) = 2 cos(2t) ≥ 0
y u
′′ (t) = −4 sen(2t) ≤ 0; para todo t ∈
[
π 4
]
. Esto implica que la gr´afica de la funci´on u es c´oncava hacia
abajo en
[
π 4
]
, o sea, est´a por encima del segmento de recta que une el origen (0, 0) con
π 4
, equivalen-
temente, u(t) ≥
4 t π ; para todo^ t^ ∈^
[
π 4
]
Aplicando esto a la funci´on f se tiene que |f (γ(t))| ≤ e
−
4 r^2 t π (^) ; para todo t ∈
[
π 4
]
. Adem´as, γ
′ (t) = rie
it
implica |γ
′ (t)| = r, y, aplicando la propiedad 4, se obtiene
γ
f dz
γ
|f | |dz| =
∫ π 4
0
|f (γ(t))||γ
′ (t)|dt ≤
∫ π 4
0
re
− 4 r
(^2) t π (^) dt = −
π
4 r
e
− 4 r
(^2) t π
π 4
0
π(1 − e
−r^2 )
4 r
Ejemplo 6. Sean a > 0 y b > 0 , verifique la f´ormula
∫ (^) a+ib
0
cos(z
2 )dz
a^2 + b^2
2 ab
senh(2ab). (13)
Soluci´on. Sea f (z) = cos(z
2 ), con z ∈ C. Luego, si z = x + iy, entonces iz
2 = − 2 xy + i(x
2 − y
2 ). Tambi´en
se tiene que
|f (z)| =
e
iz^2
−iz^2
|e
iz^2 | + |e
−iz^2 |
e
− 2 xy
2 xy
= cosh(2xy).
Ahora, considere γ(t) = at+ibt; para t ∈ [0, 1]. Entonces |f (γ(t))| ≤ cosh(2abt
2 ) ≤ cosh(2abt) y γ
′ (t) = a+ib;
para cada t ∈ [0, 1]. As´ı
γ
f dz
γ
|f | |dz| =
0
|f (γ(t))||γ
′ (t)|dt
0
cosh(2abt)
a^2 + b^2 dt =
a^2 + b^2
2 ab
senh(2abt)
1
0
a^2 + b^2
2 ab
senh(2ab).
Ejemplo 7. Para r > 0 , considere γr (t) = re
it con t ∈ [0, π] y defina F (r) =
γr
e
iz
z
dz.
Demuestre que
l´ım r−→∞
F (r) = 0 y l´ım r−→ 0 +^
F (r) = πi. (14)
r
γr
Soluci´on. Sea f (z) =
e
iz
z
; para z ∈ Cr{ 0 } y r > 0. Entonces |f (γr (t))| =
∣eiγr (t)
|γr (t)|
e
−r sen(t)
r
; para todo
t ∈ [0, π]. Pero 0 ≤ sen(t) ≤ 1; para todo t ∈ [0, π]. Luego, |f (γr (t))| ≤ r
− 1 e
−r ; para todo t ∈ [0, π], esto es
|f (z)| ≤ r
− 1 e
−r para todo z ∈ |γr | y `(γr ) = πr. As´ı
γr
f dz
≤ e
−r .
Dado que r > 0, fue arbitrario, se tiene que |F (r)| ≤ e
−r ; para todo r > 0. Por lo tanto, l´ım r−→∞
F (r) = 0.
Para el otro l´ımite, primero recordemos que g(z) = e
iz es continua en todo C. Tambi´en, note que
3. Primitivas e independencia de caminos
En esta secci´on definimos lo que significa una primitiva de una funci´on, para, con ello, mostrar una
versi´on del teorema fundamental del c´alculo para este tipo de integrales de funciones compleja-valuadas
sobre camino. Tambi´en, se tendr´a como consecuencia que, bajo ciertas condiciones, esta integral no depende
de la trayectoria de integraci´on, sino, ´unicamente del punto final y del punto inicial. As´ı, que cuando se
integra sobre caminos cerrados, dicha integral ser´a nula.
Definici´on 3. Sea O ⊆ C un conjunto abierto en C y f : O ⊆ C −→ C una funci´on. Una primitiva o
antiderivada de f en O es una funci´on F : O ⊆ C −→ C que es anal´ıtica en O y que cumple
F
′ (z) = f (z); para todo z ∈ O. (16)
Es bien sabido que la derivada de una funci´on constante, luego si F es una primitiva de f en O, entonces
G(z) = F (z) + c es tambi´en una primitiva de f en O, para cualquier c ∈ C. Adem´as, si O es un dominio en
C, entonces dos primitivas de f en O difieren de una constante. En efecto, si F y G son dos primitiva de f
en O, siendo O abierto y conexo,entonces
(F − G)
′ (z) = F
′ (z) − G
′ (z) = f (z) − f (z) = 0; para todo z ∈ O.
La conexidad de O, implica que F − G ≡ c es una funci´on constante en O. Por lo tanto, F (z) = G(z) + c;
para z ∈ O.
Ejemplo 8. A continuaci´on, algunos ejemplos de primitivas.
- F (z) =
z
2
es una antiderivada de f (z) = z en C.
- F (z) = e
z es una antiderivada de f (z) = e
z en C.
- F (z) =
z
es una antiderivada de f (z) = Log z en Cr(−∞, 0].
- Si n ∈ Z con n 6 = − 1 , entonces F (z) =
z
n+
n + 1
es una antiderivada de f (z) = z
n en Cr{ 0 }.
Proposici´on 7. Sea O ⊆ C un conjunto abierto en C y f : O ⊆ C −→ C una funci´on continua en O.
Considere γ : [0, 1] −→ O un camino suave a trozos en O. Si F es una antiderivada de f en O, entonces
γ
f dz = F (γ(1)) − F (γ(0)).
En particular, si γ es un camino cerrado, entonces
γ
f dz = 0.
Demostraci´on. Primero, supongamos que γ : [0, 1] −→ O un camino suave en O. Luego,
γ
f dz =
0
f (γ(t))γ
′ (t)dt.
Ahora, considerando las funciones g(t) = f (γ(t))γ
′ (t) y G(t) = F (γ(t)), con t ∈ [0, 1], se cumple que
G
′ (t) = g(t) para t ∈ (0, 1). As´ı que, por el Teorema Fundamental del C´alculo (Proposici´on 4 y Ecuaci´on (6)),
se cumple que
∫
γ
f dz =
0
g(t) dt = G(t)
1
0
= G(1) − G(0) = F (γ(1)) − F (γ(0)).
Por otro lado, si γ es un camino suave a trozos, supongamos que γ =
∑^ n
k=
γk, con γk, siendo un camino
suave en [0, 1] para cada k ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n}. Por la parte anteriormente probada se tiene que
γk
f dz = F (γk(1)) − F (γk(0)); para cada k ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n}. (17)
Luego, sabiendo que γk− 1 (1) = γk(0), para cada k ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n}, la definici´on implica
γ
f dz =
∑^ n
k=
γk
f dz =
∑^ n
k=
F (γk(1)) − F (γk(0))
= F (γn(1)) − F (γ 1 (0)) = F (γ(1)) − F (γ(0)).
Finalmente, si γ es cerrado, γ(1) = γ(0) y F (γ(1)) − F (γ(0)) = 0.
Como consecuencia del resultado anterior se tiene que, bajo las hip´otesis de la proposici´on, la integral
depende ´unicamente de los puntos extremos del camino. As´ı que, es conveniente usar las siguientes notaciones
cuando γ es una curva que una a z 1 con z 2 y la integral de f no depende de la trayectoria o cuando γ es un
segmento de recta de z 1 a z 2 ∫
γ
f dz =
∫ (^) z 2
z 1
f dz.
Luego, ∫ (^) z 2
z 1
f dz = −
∫ (^) z 1
z 2
f dz y
∫ (^) z 1
z 1
f dz = 0. (18)
Por otro lado, si f : O ⊆ C−→C es continua y tiene una antiderivada en O con O un domino en C, entonces
∫ (^) z 3
z 1
f dz =
∫ (^) z 2
z 1
f dz +
∫ (^) z 3
z 2
f dz cuando z 1 , z 2 , z 3 ∈ O. (19)
Ejemplo 11. Sean γ 1 (t) = e
it para t ∈ [0, π] y γ 2 (t) = e
−it para t ∈ [0, π]. Calcule
γ 1
z
dz y
γ 2
z
dz.
Soluci´on. Sea f (z) =
z
, para z ∈ Cr{ 0 }. Note que F (z) = Log z es una antiderivada de f en Cr(−∞, 0].
M´as a´un, Fθ(z) = log z (una rama del logaritmo) es una antiderivada de f en Cr{z ∈ C : arg z = θ}.
γ 1
γ 2
Pero considerando ramas apropiadas en cada integral se tiene que
γ 1
z
dz = F− π 2
(z)
γ 1 (π)
γ 1 (0)
= F (e
iπ ) − F (e
i 0 ) = iπ − i0 = πi.
γ 2
z
dz = F π 2
(z)
γ 2 (π)
γ 2 (0)
= F (e
−iπ ) − F (e
−i 0 ) = −iπ − (−i0) = −πi.
N´otese que en Ejemplo 11, γ 1 − γ 2 es el c´ırculo unitario, adem´as
|z|=
z
dz =
γ 1 −γ 2
z
dz =
γ 1
z
dz −
γ 2
z
dz = πi − (−πi) = 2πi. (21)
Luego, corroborando el Ejemplo 4. A pesar que |z| = 1 es la trayectoria de un camino cerrado, ¿Porqu´e esta
integral no es cero, dado que (log z)
′
z
? ¿Esto contradice la Proposici´on 7? Justifique.
El siguiente teorema establece una serie de resultados relacionados con la independencia de caminos
Teorema 1. Sea f : O ⊆ C −→ C continua en un dominio O del plano complejo. Los siguientes enunciados
son equivalentes
1 Si^ z 1 , z 2 ∈ O^ y^ γ 1 : [0,^ 1]^ −→ O^ y^ γ 2 : [0,^ 1]^ −→ O^ son dos caminos que unen a^ z 1 con^ z 2 , entonces
γ 1
f dz =
γ 2
f dz. (22)
2 Si γ es un camino cerrado y suave a trozos en O, entonces
γ
f dz = 0. (23)
3 Existe una funci´on F : O ⊆ C −→ C anal´ıtica en O tal que F
′ (z) = f (z); para todo z ∈ O, i.e., f
tiene una antiderivada en O.
Demostraci´on. Supongamos que f es continua en O y γ 1 , γ 2 dos caminos suaves a trozos en O.
1 ⇔ 2 Note γ 1 y γ 2 unen a z 1 con z 2 si y solo si γ = γ 1 − γ 2 es un camino cerrado. Luego
γ 1
f dz −
γ 2
f dz =
γ 1 −γ 2
f dz = 0 si y solo si
γ 1
f dz =
γ 2
f dz.
1 ⇒ 3 Supongamos que si dos caminos unen dos puntos, sus integrales son iguales. Fijemos z 0 ∈ O. Luego,
si z ∈ O, existe γz : [0, 1] −→ O un camino suave a trozo que une a z con z 0 , as´ı que podemos definir
F (z) =
γz
f dz; para cada z ∈ O. (24)
Cabe aclarar que la funci´on est´a bien definida por la hip´otesis, ya que esta no depende del camino que
une a z 0 con z. Veamos que F
′ (z) = f (z); para cada z ∈ O.
Sea z 1 ∈ O, w 1 = f (z 1 ) y > 0. Existe r > 0 tal
que D(z 1 , r) ⊆ O, pues O es abierto. Ahora, para
cada z ∈ D(z 1 , r), se tiene que [z 1 , z] ⊆ D(z 1 , r),
ya que los discos son convexos. Luego, si γz 1
es un
camino que une a z 0 con z 1 , entonces γz 1
es un camino a z 0 con z (Ver figura de la derecha).
z 1
z 0
z 1 z
γz 1
O
As´ı
F (z) − F (z 1 ) =
γz 1
+[z 1 ,z]
f dz −
γz 1
f dz =
[z 1 ,z]
f dz =
z
z 1
f dz y f (z 1 )(z − z 1 ) =
z
z 1
w 1 dz.
Por otro lado, la continuidad de f en O (en particular z 1 ) implica que existe δ 1 > 0 tal que si
w ∈ D(z 1 , δ 1 ) y w ∈ O, entonces |f (w) − w 1 | < .
