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1
MATEMÁTICA D
Módulo I: Análisis de Variable Compleja
Unidad 3 Integración Compleja
Mag. María Inés Baragatti
♦ Integral de una función de variable real a valores complejos
♦ Sea z(t) = u(t) + i v(t) una función de variable real t a valores complejos, con u(t) y v(t)
integrables en [a,b] , se define la integral de z(t) en [a,b] como:
b
a
b
a
b
a
z(t)dt u(t)dt i v(t)dt
Ejemplos
1- (((( 4t i3t )))) dt 4tdt i 3t dt 2 t it 6 i 9
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
− −−
− − −−
− − −−
− − −−
− − −−
−
(((( ))))
n
( 1 ) 1
0 i
n
cos(nt)
i
n
sen(nt)
cost isent dt [cos(nt) isen(nt)]dt
n
0 0
0 0
n
−−−− −−−−
++++ ==== ++++ ==== −−−− ==== −−−−
ππππ ππ ππ
ππππ ππππ
∆∆∆∆ Actividad 1:
a) Si z 1
(t) = u 1
(t) + i v 1
(t) y z 2
(t) = u 2
(t) + i v 2
(t) son integrables en [a,b] y αααα y ββββ son
constantes complejas demostrar que :
[[[[ ]]]]
αααα ++++ββββ ====αααα ++++ββββ
b
a
2
b
a
1
b
a
1 2
z (t) z (t)dt z (t)dt z (t)dt (propiedad de linealidad)
b) Si z(t) = u(t) + i v(t) es integrable en [a,b] , demostrar las siguientes propiedades:
b 1
) [[[[ ]]]]
b
a
b
a
Re z(t)dt Rez(t)dt b 2
) [[[[ ]]]]
b
a
b
a
Im z(t)dt Imz(t)dt
b 3
b
a
b
a
z(t)dt z(t)dt
2
∆∆∆∆ Actividad 2:
Si z(t) es integrable en [a,b] entonces vale la siguiente desigualdad z( t)dt z(t)dt
b
a
b
a
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
A continuación se bosqueja la demostración de esta propiedad y se deja a cargo del alumno justificar
algunos de los pasos.
Supongamos que el resultado de la integral
∫ ∫∫
∫
b
a
z( t)dt es un complejo de módulo r
0
y argumento
θ θθ
θ 0,
, es decir
∫∫∫∫
θθθθ
b
a
i
0
0
z( t)dt r e
∫∫∫∫
b
a
z( t)dt
= r
0
(#) y
∫∫∫∫
−−−−θθθθ
b
a
i
e z(t)dt
0
= r
0
Teniendo en cuenta (#) y (##) y otras propiedades ya mencionadas, justificar todas las igualdades
y desigualdades que se indican a continuación:
∫∫∫∫
b
a
z (t)dt
( 1 )
∫∫∫∫
−−−−θθθθ
b
a
i
e z(t)dt
0
( 2 )
∫∫∫∫
θ θθ
−θ −−
−
b
a
i
Re e z(t)dt
0
( 3 )
[[[[ ]]]]
∫∫∫∫
−−−−θθθθ
b
a
i
Re e z(t)dt
0
( 4 )
∫∫∫∫
θ θθ
−θ −−
−
b
a
i
e z(t)dt
0
( 5 )
∫ ∫∫
∫
b
a
z(t) dt
(1): por (#) y (##)
∆∆∆∆ Actividad 3:
Si z(t) es continua en [a,b] y si Z(t) es una primitiva de z(t) , es decir Z’(t) = z(t) , entonces
z(t)dt Z(b) Z(a )
b
a
∫∫∫∫
Usar en todos los casos la definición de integral dada más arriba.
Esta propiedad , como en el caso de funciones reales, se denomina Regla de Barrow.
Ejemplo
Conociendo la regla de Barrow para funciones de variable real a valores complejos, podemos
hallar la integral propuesta en el ejemplo 2 del siguiente modo:
(((( ))))
(((( ))))
ππ ππ
ππππ ππππ ππππ
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫
2i/n sines impar
0 sines par
in
in
e
cost isent dt (e ) e dt
n
0
int
0
n int
0
it
0
n
4
∆∆∆∆ Actividad 5:
Justificar las propiedades 1- y 2- anteriores usando la definición y las propiedades de las
integrales de funciones de variable real a valores complejos.
Ejemplos
Demostrar que dz 0
z 2 z 2
e dz
lím
C
2
2 iz
R
∫∫∫∫
∞ ∞∞
→∞ →→
→
siendo C la semicircunferencia z = R e
it
≤ t ≤ ≤≤
≤ π ππ
π
Para poder demostrar lo solicitado tratamos de acotar el módulo de la integral usando la
propiedad 2 y recordando que el módulo de un cociente es igual al cociente de los módulos:
dz
z 2 z 2
e dz
C
2
2 iz
∫ ∫∫
∫
≤ dz
z 2 z 2
e
C
2
2 iz
∫ ∫∫
∫
= dz
z 2 z 2
e
2
2 iz
C
∫ ∫∫
∫
A continuación acotamos el numerador y el denominador
| e
2iz
| = |e
2ix
e
-2y
| = |e
2ix
| |e
-2y
| = 1. e
-2y
= e
-2y
≤ 1 pues y ≥ ≥≥
z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 R 2 R 2
2
2
2 2
por lo tanto
R 2 R 2
z 2 z 2
e
2 2
2 iz
y usando esta acotación del integrando podemos
continuar con la integral como se muestra a continuación:
R 2 R 2
R
dz
R 2 R 2
dz
R 2 R 2
2
longituddeC
C
2 2 C
ππ ππ
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
Hemos podido demostrar que 0 ≤≤≤≤
R 2 R 2
R
dz
z 2 z 2
e dz
2
C
2
2 iz
ππππ
∫ ∫∫
∫
Como en esta última fracción el grado del denominador es mayor que el grado del numerador ,
tomando límite para R → →→
∞ en esta última desigualdad y usando el teorema del sandwich ,
podemos afirmar que se cumple lo pedido.
C
R
Recordar que:
|a ± ±±
± b | ≥ ≥≥
≥ | |a | - | b| |
5
⊕ Relación entre la integral de una función de variable compleja y la integral
de línea de funciones reales
Considerando z = x + i y , f(z) = u(x,y) + i v(x,y) y dz = dx + i dy , la integral de f(z) sobre
la curva γ γγ
γ puede expresarse como un complejo cuya parte real e imaginaria son integrales de línea
de funciones de dos variables reales como se muestra a continuación:
==== ++++ ++++ ====
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ γγγγ
f(z) dz [u(x,y) iv(x,y)](dx i dy)
[ [[
[ ] ]]
] [ [[
[ ] ]]
]
∫∫∫∫
γγγγ
++
++
u(x, y)dx-v(x,y)dy + i v(x,y)dx u(x,y)dy =
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γ γγ
γ γ γγ
γ
= u(x,y)dx-v(x,y)dy i v(x,y)dx u(x,y)dy
♦ Propiedades (continuación)
3- Cambio de orientación de la curva : Si γγγγ y - γγγγ representan la misma curva pero recorrida
en sentidos contrarios entonces
f(z) dz f(z) dz
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ −−−−γγγγ
4- Propiedad aditiva de las curvas : Si γγγγ 1
y γγγγ 2
representan dos
curvas orientadas que tienen a lo sumo un número finito de puntos
en común entonces:
f(z) dz f(z)dz f(z) dz
1 2 1 2
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ∪∪∪∪γγγγ γγγγ γγγγ
∆∆∆∆ Actividad 6:
Justificar las propiedades 3- y 4- anteriores teniendo en cuenta que las mismas propiedades son
válidas en el campo real.
Ejemplos
1- Calcular Im(z)dz
∫∫∫∫
γγγγ
, siendo γ γγ
γ : x = y
2
-1 desde i hasta -i
Si parametrizamos la curva tomando y = t , entonces el trozo de parábola que nos interesa tiene
ecuación paramétrica z(t) = (t
2
-1) + i t con -1 ≤ ≤≤
≤ t ≤ ≤≤
≤ 1 pero ha quedado mal orientada, por ello
la denominamos - γγγγ y operamos como se muestra a continuación :
-i
i
x
y
γγγγ 1
γ γγ
γ
2
7
Ξ Teorema 1 : Condición necesaria y suficiente para que la integral sea
independiente del camino
Sea f(z) continua en un dominio D. Una integral de línea de f(z) es independiente del camino en
D ⇔⇔⇔⇔ la integral de f(z) sobre cualquier curva cerrada contenida en D vale cero.
∆∆∆∆ Actividad 7:
Demostrar el teorema 1. (la demostración es idéntica al teorema similar visto en variable real).
ΞΞΞΞ Teorema 2 : Condición suficiente para que la integral sea independiente del
camino - Regla de Barrow.
Si f(z) es continua en un dominio D y existe F(z) en D tal que F’(z) = f(z) (como en la variable
real, decimos que F(z) es una primitiva de f(z) ) y γγγγ es una curva contenida en D que une z 0
con
z 1
entonces f (z)dz f(z)dz F(z ) F(z )
0
z
z
1
1
0
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γ γγ
γ
Como el resultado de la integral depende sólo del punto inicial y del punto final de la curva,
podemos asegurar que: si f(z) es continua en D y existe una primitiva en D entonces la integral
es independiente del camino en D.
∆ Actividad 8:
Demostrar el teorema anterior teniendo en cuenta :
Si la curva γ γγ
γ tiene ecuación γ γγ
γ : z(t) = x(t) + i y(t) , con a ≤ ≤≤
≤ t ≤ ≤≤
≤ b , tal que z(a) = z
0
, z(b) = z
1
entonces proponemos justificar todas las igualdades que se indican a continuación :
f (z)dz f(z(t))z'(t)dt F'(z(t))z'(t)dt [F(z(t))]'dt F(z(b)) F(z(a)) F(z ) F(z )
1 0
( 5 )
b
a
b
a
b
a ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ
(1): ………………………………….…………………………
(2):………………………………………………………………
(3): por regla de la cadena se sabe que [F(z(t))]’= F’(z(t)) z’(t)
(4): como F’(z(t)) es una función de variable real a valores complejos y F(z(t)) es una primitiva, puede
aplicarse la regla de Barrow
(5):………………………………………………………………
8
Ejemplos
1- Calcular 3z dz
2
∫ ∫∫
∫
γγγγ
, siendo γγγγ el trozo de parábola y = 1 - x
2
desde (-1,0) a (0,1)
Como f(z) = 3 z
2
es continua en C y tiene primitiva F(z) = z
3
, podemos aplicar el T. de
Barrow siendo z 0
= (-1, 0) = -1 y z 1
= (0,1) = i , por lo tanto:
3z dz
2
∫∫∫∫
γγγγ
= F(i) – F(-1) = i
3
3
= -i + 1
2- Calcular dz
z
2
∫∫∫∫
γγγγ
, siendo γγγγ : | z | = 1
La función f(z) = 1/z
2
es continua sobre la curva γ γγ
γ , pues es continua en C – {0} , y F(z) = -
1/z es una primitiva, por lo tanto puede aplicarse el T. de Barrow y como la curva es cerrada
la integral vale 0 (cero) , pues el punto inicial coincide con el punto final.
3- Calcular dz
z
∫∫∫∫
γγγγ
, siendo γγγγ : | z | = 1
La función f(z) = 1/z es continua sobre la curva γγγγ , pues es continua en el dominio D = C –
{0}, pero en este dominio no es posible encontrar una función F(z) tal que F’(z) = 1/z
(recordar que (Ln z)’= 1/z salvo en los puntos del eje real negativo), por lo tanto no puede
aplicarse el T. de Barrow. Esta integral debe calcularse parametrizando la curva γγγγ : z( θθθθ ) = e
i θ θθ
θ
con 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 ππππ , calculando z’( θθθθ ) = i e
i θθθθ
y usando la definición:
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
ππππ
θ θθ
θ
ππππ
θθθθ
γγγγ
==== θθθθ==== θθθθ==== ππππ
2
0
i
2
0
i
ie d i d i
e
dz
z
ΞΞΞΞ Teorema 3 : Existencia de primitiva
Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es continua en un dominio D y la integral de f(z) es independiente del
camino en D entonces existe F(z) en D tal que F’(z) = f(z) (como en la integral real, se dice que
F(z) es una primitiva de f(z)). Además si z 0
es un punto cualquiera de D se verifica que
f(z)dz f(z )**
dz
d
z
z 0
∫ ∫∫
∫
Demostración
10
1- Calcular las siguientes integrales: Re(z)dz
∫∫∫∫
γγγγ
; Im(z)dz
∫∫∫∫
γγγγ
; zdz
∫∫∫∫
γγγγ
en los siguientes
casos:
a) γγγγ : z(t) = 1 + it , 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 1
b) γ γγ
γ : | z | = 1 , recorrida en sentido antihorario
c) γγγγ : | z – a | = R , recorrida en sentido antihorario
Convención: Cuando una curva es cerrada y no se indica la orientación, debe recorrerse en
sentido antihorario.
2- Calcular Im(z)dz
k
∫ ∫∫
∫
γγγγ
para k = 1, 2 y 3 donde
a) γγγγ 1
es el segmento orientado que une 1 con i
b) γγγγ 2
: | z | = 1 , desde 1 hasta i , en sentido antihorario
c) γγγγ 3
es la poligonal que une 1 con 0 y 0 con i
d) Teniendo en cuenta que γγγγ 1
, γγγγ
2
y γγγγ
3
son tres curvas distintas que tienen el mismo punto inicial
y final, ¿puede afirmar que la integral es independiente del camino?, ¿contradice el teorema
fundamental?
3- a) Calcular |z| e dz
C
2 i|z|
∫∫∫∫
siendo C: |z| = 2 desde 2 a –2 en sentido antihorario
b) Deducir a partir de a) el resultado de la siguiente integral de línea real
∫∫∫∫
C
2 2 2 2 2 2 2 2
(x y )sen x y dx (x y )cos x y dy
4- Si γγγγ : | z - a| = R , con R ≠≠≠≠ 0 , demostrar que (((( z a )))) dz 2 i
1
−−−− ==== ππππ
−−−−
γ γγ
γ
∫∫∫∫
, (((( z a )))) dz 0
n
∫∫∫∫
γ γγ
γ
para n ≠≠≠≠ -
5- Calcular Lnzdz
k
∫∫∫∫
γγγγ
para k = 1 , 2 , 3 siendo
γγγγ 1
: | z | = R desde R hasta – Ri en sentido antihorario,
γγγγ
2
: | z | = R desde R hasta – Ri en sentido horario,
γ γγ
γ
3
: | z | = R ,
6- Calcular:
a) (z-2i)dz
∫∫∫∫
γ γγ
γ
siendo γγγγ el segmento que une 2 + i con 3 – 2i
b) e dz
C
2 z
∫∫∫∫
−−−−
siendo C : y = 2x
2
desde (-1, 2) a (2, 8)
c) ( ((
( ) ))
) sen 2 zdz
2 i
1 i
∫∫∫∫
−−−−
d) dz
z
2 i
3 i
∫∫∫∫
−−−−
sobre una curva contenida en y > -x
11
7- Justificar que:
a)
dz
z 1
dz
|z | 2
3
ππππ
∫ ∫∫
∫
====
b) (((( 2Ln R ))))
2R
dz
z
Lnz
R
C
2
++++ππππ
ππππ
∫ ∫∫
∫
, C
R
: z(t) = R e
it
, | t | ≤≤≤≤ ππππ /2 y demostrar que
dz 0
z
Ln z
lím
R
C
2
R
∫∫∫∫
→→→→∞∞∞∞
ΞΞΞΞ Teorema de Cauchy
Sea γγγγ una curva cerrada, simple y suave por tramos y sea f(z) una función analítica sobre γγγγ y su
interior cuya derivada f ’(z) es continua sobre γ γγ
γ y su interior entonces f(z)dz
∫∫∫∫
γγγγ
Demostración
Para demostrar este teorema usamos el teorema de Green que relaciona una integral de línea con
una integral doble:
Teorema de Green : Sea C una curva cerrada, simple y regular a trozos (suave) contenida en un dominio
D del plano y sea R la región limitada por C , sean M(x,y) y N(x,y) dos funciones con derivadas
parciales continuas en D entonces
dx dy
y
M
x
N
Mdx Ndy
C R
∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫
donde C debe recorrerse de modo de dejar a R a su izquierda
Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) entonces sabemos que:
f(z) dz
∫∫∫∫
γγγγ
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ γγγγ
==== u(x, y)dx-v(x,y)dy ++++ i v(x,y)dx ++++ u(x,y)dy =
dxdy 0 i 0 0
y
v
x
u
dxdy i
y
u
x
v
( 2 )
R R
( 1 )
∫∫ ∫∫∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫
∫∫
(1) Aplicando el teorema de Green a cada integral real
(2) Como f(z) es analítica, sus partes real e imaginaria verifican las condiciones de (C-R) y por lo
tanto cada integrando vale cero.
R
C
x
y
D
13
analíticas y el denominador no se anula, por lo tanto por el T. de Cauchy Goursat podemos
afirmar que g(z)dz 0
|z| a
∫∫∫∫
====
Observemos que sobre los puntos de la curva |z| = a , la función g(z) coincide la función cuya
integral queremos calcular, es decir g(z) =
z
sen z
para los z que verifican |z| = a , entonces la
integral de g(z) sobre dicha curva debe coincidir con la integral de
z
sen z
. por lo tanto
dz
z
senz
|z| a
∫ ∫∫
∫
====
= g(z)dz 0
|z| a
∫ ∫∫
∫
====
♦ Consecuencias del Teorema de Cauchy
1- Sean γ γγ
γ
1
y γ γγ
γ
2
dos curvas cerradas suaves por tramos y todos los
puntos de γγγγ 1
son interiores a γγγγ 2
y sea f(z) una función analítica
sobre las curvas y en el dominio R limitado por ellas entonces:
f(z) dz
1
∫ ∫∫
∫
γ γγ
γ
= f(z)dz
2
∫ ∫∫
∫
γ γγ
γ
Las curvas se recorren en el mismo sentido (ambas en sentido antihorario o ambas en sentido
horario)
Demostración
Supongamos que γγγγ 1
y γγγγ
2
las recorremos en sentido antihorario.
Si efectuamos dos cortes rectos uniendo puntos de γ γγ
γ
1
y γ γγ
γ
2
, el dominio R queda dividido en dos
regiones, que denominamos R 1
y R 2
Las fronteras de R 1
y R
2
son curvas cerradas y las indicamos
1
∂∂∂∂ R y
2
∂∂∂∂ R respectivamente.
Como f(z) es analítica sobre dichas curvas y su interior, podemos aplicar el T. de Cauchy
Goursat a ambas y obtener que :
γγ γγ 2
γ γγ
γ
1
R
R
1
R
2
B A
C D
14
f(z)dz 0
1
R
∫∫∫∫
∂∂∂∂
y f(z)dz 0
2
R
∫∫∫∫
∂∂∂∂
donde las curvas
1
∂∂∂∂ R y
2
∂∂∂∂ R las orientamos de modo de dejar las regiones R 1
y R 2
a la
izquierda.
Sumando estos resultados obtenemos: ++++
∫∫∫∫
∂∂∂∂
f(z)dz
1
R
f(z)dz 0
2
R
∫∫∫∫
∂∂∂∂
, y guiándonos por el gráfico
podemos escribir la última igualdad del siguiente modo:
f(z)dz f(z)dz f(z)dz f(z)dz f(z)dz f(z)dz f(z)dz f(z)dz 0
1 2
sobrelafronteradeR
A
D
D
C
C
B
B
A
sobrelafronteradeR
B
C
C
D
D
A
A
B
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
Como las integrales de línea sobre los segmentos se cancelan pues se recorren en sentidos
contrarios cuando se consideran en la frontera de R 1
o en la frontera de R 2
y teniendo en cuenta
que (mirar el gráfico):
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫
γγγγ
1
1 2
f(z)dz f(z)dz f(z) dz
sobrelafronterade R
C
B
sobrelafronteradeR
B
C
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γ γγ
γ
2
1 2
f(z)dz f(z)dz f(z) dz
sobrelafronterade R
A
D
sobrelafronteradeR
D
A
donde en la primera integral se ha colocado un signo menos pues se observa que γγγγ 1
debe
recorrerse en sentido contrario al que anunciamos al comenzar, vemos que la expresión ()* toma
la forma: f(z) dz f(z)dz 0
1 2
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ γγγγ
, y por lo tanto:
f(z) dz f(z) dz
2 2
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ γγγγ
2- Sean γγγγ 1
, γγγγ 2
y γγγγ 3
tres curvas cerradas suaves por tramos como
se muestran en el gráfico y sea f(z) una función analítica sobre
las curvas y en la región R limitada por ellas entonces:
f(z) dz
1
∫∫∫∫
γγγγ
= f(z) dz f(z)dz
2 3
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ γγγγ
donde las curvas se recorren de modo de dejar la región R a la izquierda.
∆ Actividad 8:
Justificar la igualdad presentada en la consecuencia 2-
γ γγ
γ
2
γγγγ
3
R
γγγγ 1
16
Ξ Fórmula de la integral de Cauchy
Si γ γγ
γ es una curva cerrada, simple y suave por tramos y f(z) es
analítica sobre γγγγ y su interior , y z 0
es interior a γγγγ entonces
dz 2 if(z )
z-z
f(z)
0
0
π ππ
= π
∫∫∫∫
γγγγ
Demostración
Consideremos una circunferencia C centrada en z 0
interior a γγγγ
C: |z – z 0
| = R y calculamos la integral propuesta como se
muestra a continuación donde cada paso está justificado más abajo
B
C
0
0
A
C
0
0
( 3 ) C
0
0 0
( 2 ) C
0
( 1 )
0
dz
z-z
dz f(z )
z-z
f(z)-f(z )
dz
z-z
f(z)-f(z ) f(z )
dz
z-z
f(z)
dz
z-z
f(z)
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γγγγ
(1): son iguales por la primera consecuencia del teorema de Cauchy pues el cociente
f(z) / (z – z 0
) es analítico sobre las curvas γγγγ y C y en la región limitada por ambas
(2): sumando y restando f(z 0
) en el numerador
(3): la integral de una suma es suma de integrales y f(z 0
) es constante
Demostraremos a continuación que la integral A vale cero y la integral B vale 2 π ππ
π i y entonces el
teorema estará demostrado.
a) Para justificar que la integral A vale cero, consideramos la función
0 0
0
0
0
f'(z ) siz z
siz z
z z
f(z) f(z )
g(z)
Analicemos esta función g(z) :
si z ≠ ≠≠
≠ z
0
, g(z) es analítica por ser cociente de analíticas y el denominador no se anula
g(z) es continua en z 0
pues f'(z ) g(z )
z z
f(z) f(z )
lím g(z) lím
0 0
0
0
z z z z 0 0
→→→→ →→→→
Por lo tanto g(z) es analítica sobre la curva cerrada C y su interior , salvo a lo sumo en el punto z 0
donde sabemos que es continua , por ello podemos aplicar el teorema de Cauchy Goursat (versión
- y afirmar que g(z)dz 0
C
∫∫∫∫
z
0
γγ γγ
C
z 0
γγγγ
17
Observemos que sobre los puntos de la curva C, la función g(z) es igual al cociente incremental,
por lo tanto ====
∫∫∫∫
dz
z z
f(z) f(z )
C
0
0
∫∫∫∫
g(z)dz
C
0 , y queda demostrado que la integral A vale
cero.
b) Para calcular la integral B , parametrizamos la circunferencia C : z(t) = R e
it
, con 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2 ππππ ,
calculamos z'(t) = Ri e
it
y obtenemos : Rie dt idt 2 i
Re
dz
z-z
2
0
it
2
0
it
C
0
==== ==== ==== ππ ππ
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
ππππ ππππ
Ejemplos
a) Calcular dz
z
cosz
∫∫∫∫
γγγγ
π ππ
−π −−
, siendo γγγγ la frontera del triángulo de vértices 0 , 4 ±±±± 2i
Como el integrando tiene la forma
0
z-z
f(z)
, con f(z) = cos z , analítica en todo el plano, y
z 0
= ππππ está en el interior de la curva cerrada γγγγ , podemos aplicar el T. de la fórmula de Cauchy
pues se verifican todas las hipótesis , así tenemos:
dz 2 if( ) 2 icos( ) 2 i
z
cos z
==== ππππ ππππ ==== ππππ ππππ ====−−−− ππππ
−−−− ππππ
∫∫∫∫
γγγγ
b) Calcular dz
z 1
z 3
|z 2 i| 2
2
3
∫∫∫∫
=
− = −−
−
En este ejercicio el integrando no tiene la forma
0
z-z
f(z)
, pero si factoreamos el denominador
vemos que:
(z i)(z i )
z 3
z 1
z 3
3
2
3
Como el factor ( z - i ) se anula en i , que es interior a la curva cerrada dada, y el factor (z + i)
no se anula sobre la curva ni en su interior, podemos escribir la integral de la siguiente
manera:
dz
z i
z i
z 3
dz
z 1
z 3
1 z 2 i| 2
3
1 z 2 i| 2
2
3
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
−−−− ==== −−−− ====
Como (z
3
+3) / (z + i) es analítica sobre la curva cerrada y su interior , podemos usar la
fórmula de Cauchy. Tomando f(z) = (z
3
+3) / (z + i) el valor de la integral resulta:
==== ππππ−−−− ππππ
==== ππππ
==== ππππ ==== ππππ
=
=
−−−− ====
∫∫∫∫
3 i
2i
- i 3
2 i
z i
z 3
dz 2 i f(i) 2 i
z 1
z 3
z i
3
1 z 2 i| 2
2
3
4
19
dz
z-z
f(z)
2 if(z )
0
0
∫∫∫∫
γγγγ
π = ππ
π.
Si consideramos a z 0
como una variable y derivamos la expresión anterior respecto de z
0
y
suponemos que podemos introducir la derivada en el símbolo integral obtenemos:
ππππ == ==
∫ ∫∫
∫
γ γγ
γ
dz
z-z
f(z)
dz
d
2 if'(z )
0 0
0
= dz
z-z
f(z)
dz
d
0 0
∫ ∫∫
∫
γ γγ
γ
(((( ))))
dz
z-z
f(z)
2
0
∫ ∫∫
∫
γ γγ
γ
2 ππ ππ if'(z ) ====
0
(((( ))))
dz
z-z
f(z)
2
0
∫ ∫∫
∫
γ γγ
γ
Si derivamos nuevamente respecto de z 0
, obtenemos:
( ((
( ) ))
)
ππππ ====
∫∫∫∫
γγγγ
dz
z-z
f(z)
dz
d
2 if''(z )
2
0
0
0
( ((
( ) ))
)
dz
z-z
f(z)
dz
d
2
0
0
∫∫∫∫
γγγγ
(((( ))))
dz
z-z
f(z)
3
0
∫∫∫∫
γγγγ
2 ππππ if''(z ) ====
0
( ((
( ) ))
)
dz
z-z
f(z)
3
0
∫∫∫∫
γ γγ
γ
Si derivamos otra vez nos queda:
(((( ))))
ππππ == ==
∫ ∫∫
∫
γγγγ
dz
z-z
f(z)
dz
d
2 if'''(z ) 2
3
0
0
0
(((( ))))
dz
z-z
f(z)
dz
d
3
0
0
∫ ∫∫
∫
γγγγ
( ((
( ) ))
)
dz
z-z
f(z)
4
0
∫∫ ∫∫
γ γγ
γ
( ((
( ) ))
)
dz
z-z
f(z)
4
0
∫∫∫∫
γ γγ
γ
Derivando n veces se obtiene: 2 ππππ if (z ) ====
0
(n)
(((( ))))
dz
z-z
f(z)
n!
n 1
0
∫∫ ∫∫
γγγγ
++++
De donde puede obtenerse
(((( ))))
n!
2 if (z )
dz
z-z
f(z)
0
(n)
n 1
0
ππππ
∫∫∫∫
γγγγ
++++
El siguiente teorema resume estos resultados
ΞΞΞΞ Derivada de la fórmula de la integral de Cauchy
Si f(z) es analítica sobre la curva cerrada, simple y suave por tramos γγγγ y su interior , y z 0
es
interior a γγγγ entonces
(((( ))))
n!
2 if (z )
dz
z-z
f(z)
0
(n)
n 1
0
ππ ππ
∫∫∫∫
γγγγ
++++
⊕ Observación:
Si en la última expresión se reemplaza n = 0 se obtiene la fórmula de la integral de Cauchy pues
interpretamos f
(0)
(z
0
) como f(z
0
) y teniendo en cuenta que 0! = 1.
20
Ejemplo
Calcular
(((( ))))
dz
z (z i)
e
3
2
2 iz
∫∫∫∫
γγγγ
−−−− ππππ ++++
, siendo γ γγ
γ la frontera del triángulo de vértices 0 , 4 ± ±±
± 2i
Si examinamos el denominador vemos que el factor (z + i) no se anula sobre la curva γ γγ
γ ni en su
interior. Sin embargo (z - ππππ )
2
se anula en z = ππππ , que es interior de γγγγ , por lo tanto podemos
escribir:
( ((
( ) ))
) ( ((
( ) ))
)
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
γ γγ
γ γ γγ
γ
π ππ
−π −−
π + ππ
−π −−
dz
z
(z i)
e
dz
z (z i)
e
2
3
2 iz
3
2
2 iz
Dado que el integrando cumple todas las hipótesis del teorema de la derivada de la fórmula de
Cauchy , lo aplicamos teniendo en cuenta que n + 1 = 2, de donde n = 1 , y f(z) = e
2iz
/ ( z + i)
3
Así,
(((( ))))
4
z
6
2iz 3 2 iz 2
2
3
2 iz
( i)
2i( i)- 3
2 i
(z i)
2ie (z i) e 3 (z i)
dz 2 if'( ) 2 i
z
(z i)
e
ππππ ++++
π+ ππ
π
==== ππππ
==== ππππ ππππ ==== ππππ
π ππ
−π −−
π ππ
=π
=
γγγγ
∫∫∫∫
♦ Derivadas de analíticas
Si f(z) es analítica en un punto z 0
, sabemos que es analítica en todo un entorno
de z 0
, y si tomamos una curva cerrada, simple y suave por tramos γγγγ contenida
en dicho entorno, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo:
(( (( ))))
n!
2 if (z )
dz
z-z
f(z)
0
(n)
n 1
0
ππππ
∫ ∫∫
∫
γγγγ
++++
Además también vale la igualdad
(((( ))))
n!
2 if (z)*
dz
z-z*
f(z)
(n)
n 1
ππ ππ
∫∫∫∫
γγγγ
++++
siendo z* cualquier punto del interior de la curva γ γγ
γ
Si tomamos n = 2 en la última expresión obtenemos
( ((
( ) ))
)
n!
2 if (z)*
dz
z-z*
f(z)
(2)
3
ππ ππ
∫∫∫∫
γ γγ
γ
y esto nos
indica que existe la derivada segunda de f en todo punto interior a la curva γγγγ y por lo tanto la
derivada primera f ' es analítica
Aplicando un razonamiento similar a la función analítica f' podemos concluir que f'' es analítica,
y repitiendo el argumento anterior llegamos al siguiente resultado fundamental.
ΞΞΞΞ Teorema : Derivada de funciones analíticas
Si f(z) es analítica en un punto, sus derivadas de todos los órdenes son también funciones
analíticas en ese punto.
z
0
γγγγ
z 0
γγγγ
z*
