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TEMA 5.- MODELOS DE PROBABILIDAD UNIVARIANTES
Variable aleatoria y Función de distribución.
Distribuciones discretas: función de cuantía.
Distribuciones continuas: función de densidad.
Caracterización de distribuciones univariantes
.1.- Esperanza matemática: concepto y propiedades. Otras medidas de posición. .2.- Medidas de dispersión .3.- Tipificación.
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Variable aleatoria y Función de distribución.
Definición de variable aleatoria (v.a.):
o Ejemplo de variable aleatoria
Clasificación de variables aleatorias:
Definición de función de distribución:
o Ejemplo de función de distribución
Propiedades de la función de distribución
1ª)
∀x ∈R 0 ≤F(x)≤ 1
2ª)
lím F(x) 0 ; límF(x) 1 x x
→−∞ →+∞
3ª) La función de distribución es creciente, es decir:
si x 1
→
−
Entonces:
p (] a ,b]) =F(b)−F(a)
p (] a ,b[) = F(b )−F(a)
−
p ([ a ,b[) F(b ) F(a )
− − = −
p ([ a ,b]) F(b) F(a )
− = −
(a partir de aquí se obtiene que si la v.a. es continua, entonces la probabilidad en un punto vale cero )
1.- Esperanza matemática: concepto y propiedades.
Definición de esperanza matemática:
- Caso discreto:
- Caso continuo:
Propiedades de la esperanza matemática
1ª)
∀K =cte E(k)=k
2ª)
∀ a , b = ctes E ( a + bX )= a + bE ( X )
3.- Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión son parámetros cuyo objetivo es estudiar la mayor o menor dispersión de la masa de probabilidad
alrededor de las distintas medidas de posición de tendencia central (fundamentalmente la media).
Entre las diversas medidas de dispersión nos centraremos en el estudio de tres: la varianza, la desviación típica y el coeficiente
de variación de Pearson.
Varianza
Dada una v.a. X y su distribución de probabilidad correspondiente, se define la varianza, a la que denotaremos por
2
x
σ , como:
+∞
−∞
−μ
−μ
σ = −μ =
f(x)dx (c.continuo )
2 x
(c.discreto)
i
) i
p(x
2 i
x
2 E X
2 x
- La varianza, al ser un momento central, es independiente del cambio de origen y dependiente del cambio de unidad.
Concretamente:
2 x
2 Var(X) b
2 Vara bX b
2 a bx
= + = = σ
σ
- Según la relación entre los momentos centrales y los ordinarios:
[ ]
2 ) ( )
2 (
2 EX EX x
σ = −
∀K =cte Var(k)= 0
Desviación típica
Dada una v.a. X y su distribución de probabilidad correspondiente, se define la desviación típica, a la que denotaremos por
x
σ , como la raíz cuadrada de la varianza, es decir:
= = 2 x x
σ σ
por lo que es un parámetro que, al igual que la varianza, es independiente del cambio de origen y dependiente del cambio de
unidad
Coeficiente de variación de Pearson
Si se quiere comparar la dispersión de dos distribuciones de probabilidad cuyas variables están medidas en distintas unidades,
no deberían utilizarse ni la varianza ni la desviación típica, al ser ambas medidas de dispersión que dependen de las unidades
en que estén medidas las variables.
Para solventar este problema se define el coeficiente de variación de Pearson, al que denotaremos por x
δ , del siguiente modo:
μ
σ δ = x x
que es una medida de dispersión que se puede comprobar que, aunque depende del cambio de origen, es adimensional, esto es,
no depende de las unidades de medida.
4.- Tipificación.
Dada una v.a. X y su distribución de probabilidad correspondiente, con media
μ y desviación típica σ^ , se denomina
tipificación al proceso que permite (mediante una transformación lineal) obtener otra v.a Y con media m y desviación típica k
prefijadas de antemano.
Se puede comprobar que
m
X Y k + σ
−μ = (^)
de manera que:
si m=0 y k=1 (tipificación estándar), entonces: σ
− μ
X
Y
