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Documento que presenta el teorema de Pappus-Guldinus y sus aplicaciones para encontrar el centroide, área y volumen de superficies y cuerpos de revolución. Contiene definiciones, demostraciones y ejercicios.
Tipo: Resúmenes
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LAMBAYEQUE, AGOSTO DEL 2014.
Al remplazar ∆𝑊 y 𝑊 en las ecuaciones de momento usadas para determinar el centro de gravedad y dividiendo a todos los términos entre 𝛾𝑡, se obtiene.
Σ𝑀𝑌: 𝑥̅𝐴 = 𝑥 1 ∆𝐴 1 + 𝑥 2 ∆𝐴 2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝐴𝑛 Σ𝑀𝑋: 𝑦̅𝐴 = 𝑦 1 Δ𝐴 1 + 𝑦 2 Δ𝐴 2 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝐴𝑛
Si incrementamos el número de elementos en el cual está dividida el área A y de forma simultanea disminuimos el tamaño de cada elemento, se obtiene:
De estas ecuaciones se determinan las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ del centro de gravedad de una placa homogénea, este punto también se le conoce con el nombre de centroide C del área A de la placa, en caso la placa no sea homogénea estas fórmulas no determinaran el centro de gravedad pero si al centroide de la misma.
b) Líneas: En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme la magnitud ∆𝑊 del peso de un elemento de alambre puede expresarse como:
∆𝑊 = 𝛾𝑎∆𝐿
Donde 𝛾=peso específico del material 𝑎= área de la sección transversal del alambre ∆𝐿= longitud del elemento
Similarmente, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como 𝑊 = 𝛾𝑎𝐿 Donde L es la longitud total del elemento.
Al remplazar ∆𝑊 y 𝑊 en las ecuaciones de momento usadas para determinar el centro de gravedad y dividiendo a todos los términos entre 𝛾𝑎, se obtiene.
Σ𝑀𝑌: 𝑥̅𝐿 = 𝑥 1 ∆𝐿 1 + 𝑥 2 ∆𝐿 2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝐿𝑛 Σ𝑀𝑋: 𝑦̅𝐿 = 𝑦 1 Δ𝐿 1 + 𝑦 2 Δ𝐿 2 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝐿𝑛
Las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ del centroide C de la línea 𝐿 se obtienen a partir de las ecuaciones:
Consideremos un elemento dL de la línea L, de la figura, que rota alrededor del eje “x”.
𝑦̅𝐿 = ∫ 𝑦𝑑𝐿
C. TEOREMA 2: PARA VOLÚMENES.
“El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la Distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.”
Sea un área A, la cual rota con respecto al eje x, considérese un elemento dA de dicha área.
𝑦̅𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝐴
c. PROBLEMA 3: Si se tienes dos cuadrados ABCD y EFGH; CD=L unidades. calcule el volumen del solido generado al rotar la region sombreada , alrededor de CD.
Resolución: Por papus nos danos cuenta que el centroide estará en el centro de cada cuadrado esto indica que para el cuadrado grande su distancia de su centroide estará dado por la mitad de su lado, eso también pasaría para el cuadrado menor. V (^) pedido = V (^) cuadrado mayor - V (^) cuadrado menor 𝑉 = 2𝜋𝑦.̅ 𝐴
V (^) cuadrado mayor
V (^) cuadrado menor
𝐴 = ( 3 𝑙)
2
d. PROBLEMA 4: Un rectángulo descansa sobre la recta L, se inclina el rectángulo con un ángulo que mide 60. Si la diagonal determina con el lado mayor un ángulo que mide 30° y además el mayor lado mide “a” Calcule el volumen del solido generado al rotar alrededor de L.
Resolución Trazando los gráficos geométricamente tenemos:
Sen60° = 2x̅𝑎
x̅ = 𝑎√3 3 𝐴 = (𝑎√3 3 )𝑎 𝑉 = 2𝜋𝑦.̅ 𝐴
Ya deducida la distancia al eje del centroide aplicamos pappus goldin V= 2 π(𝑎√3 3 )(𝑎√3 3 )𝑎 V= 2𝜋 3 a^3
x
g. PROBLEMA 7: Obtener el volumen del solido de revolución formado al girar respecto al eje L el área siguiente.
Tenemos que hallar 𝑦̅ y A: 𝑦̅ = 4 𝐴 = 20𝑥15/ Entonces por el teorema de pappus- guldin hallamos su volumen:
h. PROBLEMA 8: Obtener el volumen del solido de revolución formado al girar respecto al eje L el área siguiente.
Tenemos que hallar 𝑦̅ y A: Como vemos que es un cuadrado, el centroide se encuentra en el centro o a la mitad de cada cara, y a= Entonces: 𝑦̅ = 1. 𝐴 = 𝑎^2 = 3^2 = 9
Entonces por el teorema de pappus-guldin hallamos su volumen: 𝑉 = 2𝜋(1.5)(9)^ = 27𝜋
