¡Descarga SELECTIVIDAD EJERCICIOS y más Exámenes selectividad en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Ejercicios resueltos PAU Extremadura -Matemáticas Aplicadas CCSSII-
EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS PAU EN EXTREMADURA
-BLOQUE DE ESTADÍSTICA-
Ejercicio 1.
(Septiembre 2011)
Una biblioteca desea estimar el número de libros infantiles que posee. La Biblioteca
cional.Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra del 5 % de los libros con afijación propor-está compuesta de cuatro salas (Norte, Sur, Este y Oeste) con 2.500, 2740, 4.000 y 6.900 libros respectivamente.
b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles ¿cuál es la estimación de la proporción de librosa) ¿Cuántos libros de cada una de las salas hay en la muestra?
infantiles en esa sala?
Justicar las respuestas.c) Para un nivel de confianza del 90 % obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior.
Solución:
Muestra: 5 % de 16.140= 807Total de libros: 16.140 a)
807
a
b
c
d
De donde
a (^) =
(^) b
c
=
d
=
(^345)
Luego la muestra estará formada por 125 libros de la Sala Norte, 137 libros de la Sala Sur, 200 libros de la Sala
Este y 345 libros de la Sala Oeste.
Calculamos el valor del estimador proporción muestral para la muestra dada y dicho valor será la estimación parab)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
219
El error máximo cometido serác)
E
z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
Para un nivel de confianza del 90 % tenemos 1
α
(^) 9 de donde
α
1 así pues
z α / 2 =
(^) z 0 05
P
[
Z
z 0 05
] =
95 y obtenemos
(^) z 0 05
645
Así pues:
E
645
219
058
Ejercicio 2.
(Junio 2011)
En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matricu-
muestra de 672 alumnos con afijación proporcional. Se pide:1.360 en 2º de ESO, 1.280 en 3º de ESO y 940 en 4º de ESO. Se selecciona mediante muestreo estratificado unalados en secundaria utilizan internet para estudiar. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados en 1º de ESO,
b) Si en 4º de ESO contestan afirmativamente 120 alumnos, ¿cuál es la estimación de la proporción dea) ¿Cuántos alumnos, de cada uno de los cursos, hay en la muestra?
alumnos que utiliza internet en ese curso?
Justicar las respuestas.c) Para un nivel de confianza del 95 %, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior.
Solución:
El total de estudiantes de secundaria de la ciudad será: 900+1.360+1.280+940=4.480 a) (^4480672)
a
b
c
d
De donde
a
=
b (^) =
c (^) =
d
=
(^141)
Vicente Parejo Sosa
Ejercicios resueltos PAU Extremadura -Matemáticas Aplicadas CCSSII-
La muestra estará formada por 135 alumnos de 1º de ESO, 204 alumnos de 2º de ESO, 193 alumnos de 3º de ESO
y 141 alumnos de 4º de ESO.
Calculamos el valor del estimador proporción muestral para la muestra dada y dicho valor será la estimación parab)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
85
El error máximo cometido serác)
E
z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
Para un nivel de confianza del 95 % tenemos 1
α
=
(^0)
95 de donde
α
05
así pues
z α / 2 =
z 0 025
P
[
Z
z 0 025
] =
975 y obtenemos
(^) z 0 025
E
85
15
0589
Ejercicio 3.
(Septiembre 2010)
En una encuesta realizada en una población, se ha obtenido que 3700 de 4000
jóvenes encuestados tienen reproductor de música en formato MP3. Determinar, justificando la respuesta:
a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de jóvenes que poseen reproductor de
música en formato MP3.
b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación, con una confianza del 90 %.
Solución:
Calculamos el valor del estimador proporción muestral para la muestra dada y dicho valor será la estimación para a)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
925
El error máximo cometido seráb)
E
z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
Para un nivel de confianza del 90 % tenemos 1
α
=
(^0)
9 de donde
α
así pues
z α / 2 =
z 0 05
P
[
Z
z 0 05
] =
95 y obtenemos
(^) z 0 05
645
Así pues:
E
645
925
0069
Ejercicio 4.
(Septiembre 2010)
Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo
Solución:respuesta.rechazar a un nivel de significación de 0,01 que el número medio de pulsaciones por minuto es 45? Justificar launa media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto. ¿Se puedede ciertos deportistas sigue una distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas, se obtiene
H Formulamos las hipótesis nula y alternativa: Se trata de un contraste bilateral.
0 : μ
=
H
1 :
μ
(^45)
Como la población es normal, se tiene que la media muestra se distribuye según una normal de media
μ
y desviación
típica
σ
n
, es decir
X
N
μ
σ
n
Vicente Parejo Sosa
Ejercicios resueltos PAU Extremadura -Matemáticas Aplicadas CCSSII-
Como
n
≥
30 podemos aproximar la desviación típica poblacional por la cuasi desviación típica muestral, pues el
error que se produce no es significativo.
La zona de aceptación para el nivel de signifiación
α
dado, viene dada por:
μ
−
(^) z α / 2
σ
n (^) μ
(^) z α / 2
σ
n
Para el nivel de significación dado tenemos:
P
z α / 2 ≤
Z
z α / 2 =^
(^0)
99 De donde
(^) z α / 2 =
z 0 005
575
De forma que la región de aceptación será el intervalo:
575
45
55
El valor de la media muestral pertenece a la región de aceptación:
X
99
Por tanto, debemos aceptar la hipótesis nula con el nivel de significación dado. Es decir, debemos aceptar con un
Ejercicio 5.nivel de significación del 1 % que el número medio de pulsaciones por minuto sea 45.
(Junio 2010)
De los 10.600 controles de alcoholemia realizados en 2.008 por la Dirección General de
proporcionalidad.o igual a 30 años. El número de controles seleccionados en cada estrato se calculó atendiendo a razones demenores de 30 años y otro en el que se incluyeron los controles realizados a conductores con edad superiorselección se formaron dos estratos, un estrato en el que se incluyeron los controles realizados a conductoresTráfico en una provincia, se seleccionaron 530 controles a través de muestreo estratificado aleatorio. Para dicha
a) Determinar el número de controles en la muestra seleccionada que provienen de cada estrato sabiendo
que los 10.600 controles realizados 7.800 correspondieron a conductores menores de 30 años
b) Estimar el porcentaje de controles con índice de alcoholemia superior al permitido en la población de
controles con un índice de alcoholemia superior al permitido en los conductores menores de 30 años.conductores menores de 30 años de esa provincia sabiendo que en la muestra seleccionada se detectaron 78
Justificar las respuestas.
Solución:
a) 7 800
a
De donde a=
390 controles de la muestra corresponden a conductores menores de 30 años y 140 (530-390) controles correspon-
den a conductores mayores de 30 años.
Calculamos el valor del estimador proporción muestral para la muestra dada y dicho valor será la estimación parab)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
Ejercicio 6.
(Junio 2010)
En una amplia población constituida por pequeñas y medianas empresas españolas se
extremeñas, determinar, justificando las respuestas:selecciona una muestra aleatoria de 180 empresas. Sabiendo que en la muestra seleccionada hay 9 empresas
b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99 %, si estimamos que dicho porcentaje esa) El intervalo de confianza al 99 % para el porcentaje de empresas extremeñas en esa población
Solución:un 5 %.
Calculamos el valor del estimador proporción muestral para la muestra dada y dicho valor será la estimación para a)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
05
Vicente Parejo Sosa
Ejercicios resueltos PAU Extremadura -Matemáticas Aplicadas CCSSII-
El intervalo de confianza para la proporción con un nivel de confianza 1
α
construido a partir de una muestra de
tamaño n es:
ˆp (^) −
(^) z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
ˆp (^) +
(^) z α / 2
ˆp 1 (^) −
ˆp )
n
En nuestro caso, para un nivel de confianza del 99 % tenemos 1
α
=
(^0)
99 de donde
α
=
01
así pues
z α / 2 =
z 0 005
P
[
Z
z 0 005
] =
995 y obtenemos
(^) z 0 005
Así pues:
0 05
05
95
05
58
05
95
0081
0919
El error máximo cometido será b)
E
z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
de donde
E
05
0419
Ejercicio 7.
(Septiembre 2009)
Se ha comprobado que el peso (en gramos) de las truchas de cierta piscifactoría se
piscifactoría se ha determinado:distribuye según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 50 truchas de dicha
i= ∑ 50
1 x i =
(^10500)
i= ∑ 50
1 x i (^) −
2
=
siendo
x i el peso de la i-ésima trucha, i=1,2,...50. ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5 %,
la hipótesis de que el peso de las truchas de esa piscifactoría es de 200 gramos?.
Justificar la respuesta.
Solución:
(^) Se tiene que la media de la muestra vendrá dada por
X
=
50
i= ∑
1 x i
50
=
10500
50
=
210
La cuasidesviación típica muestral vendrá dada por
S
i
1 x i −
(^210)
2
7
H Formulamos las hipótesis nula y alternativa:Se trata de un contraste bilateral.
0 : μ
=
H
1 :
μ
(^200)
Como la población es normal, se tiene que la media muestral se distribuye según una normal de media
μ
y
desviación típica
σ
n
, es decir
X
N
μ
σ
n
Como
n
≥
30 podemos aproximar la desviación típica poblacional por la cuasi desviación típica muestral, pues el
error que se produce no es significativo.
La zona de aceptación para el nivel de signifiación
α
dado, será el intervalo
μ (^) −
(^) z α / 2
σ
n (^) μ
(^) +
(^) z α / 2
σ
n
Para el nivel de significación dado tenemos:
P
z α / 2 ≤
Z
z α / 2 =
(^0)
95 De donde
z α / 2 =
z 0 025
De forma que la región de aceptación será el intervalo:
96
7
073
927
El valor de la media muestral no pertence a la región de aceptación:
X
927
Por tanto, debemos rechazar la hipótesis nula con el nivel de significación dado. Es decir, debemos rechazar con
un nivel de significación del 5 % que el peso medio de las truchas sea 200 gramos.
Vicente Parejo Sosa
Solución:Ejercicios resueltos PAU Extremadura -Matemáticas Aplicadas CCSSII-
Como el intervalo de confianza está centrado en ˆn= 200 (tamaño de la muestra)N= 2.000 (tamaño de la población) a)
p
calculamos el valor de la proporción muestral hallando el punto
medio de dicho intervalo ˆ
p
=
172
El error máximo cometido coincidirá con el radio de dicho intervalob)
E
028
Nota: Hemos de indicar que en los datos del problema se observan errores pues si la muestra tiene tamaño 200 y
ˆp
(^) 2 entonces el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95 % vendrá dado por:
ˆp (^) −
(^) z α / 2
ˆp 1 (^) −
ˆp )
n
ˆp (^) +
(^) z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
Sustituyendo
2
−
(^1)
96
2 (^) +
96
2 (^) ∙ (^0) 8
1446
2554
Ejercicio 12. Lo que se contradice con los datos del problema.
(Junio 2007)
A una muestra aleatoria de 300 estudiantes de bachillerato de determinada provincia
respuestas afirmativas, determinar justificando la respuesta:se les preguntó si utilizaban habitualmente la bicicleta para acudir a su Instituto. Sabiendo que se obtuvo 90
a)El intervalo de confianza al 95 % para el porcentaje de estudiantes de bachillerato de esa provincia que
utilizan habitualmente la bicicleta para acudir a su Instituto.
b)El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 95 %, si estimamos que dicho porcentaje es del
Solución:30 %.
Calculamos el valor del estimador proporción muestra para la muestra dada y dicho valor será la estimación para a)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
3
El intervalo de confianza para la proporción con un nivel de confianza 1
α
construido a partir de una muestra de
tamaño n es:
ˆp (^) −
(^) z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
ˆp (^) +
(^) z α / 2
ˆp 1 (^) −
ˆp )
n
En nuestro caso, para un nivel de confianza del 95 % tenemos 1
α
=
(^0)
95 de donde
α
=
(^0) 05
así pues
z α / 2 (^) =
(^) z 0 025
P
[
Z
z 0 025
] =
975 y obtenemos
(^) z 0 025
Así pues:
0 3 (^) −
96
3 (^) ∙ (^0) 7
96
3 (^) ∙ (^0)
7
2481
Ejercicio 13.
(Septiembre 2006)
(^) En el Juzgado de cierta ciudad se presentaron en el año 2005 un total de 5500 de-
que 55 habían sido producidas por violencia doméstica. Determinar, justificando la respuesta:nuncias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 5 % de ellas. Entre las denuncias seleccionadas se determinó
a)La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de denuncias por violencia doméstica en esa
ciudad en el año 2005.
b)El error máximo que cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 99 %.
Solución:
n= 275 denuncias (tamaño de la muestra)N=5.500 denuncias (tamaño de la población) a)
Vicente Parejo Sosa
Ejercicios resueltos PAU Extremadura -Matemáticas Aplicadas CCSSII-
Calculamos el valor del estimador proporción muestra para la muestra dada y dicho valor será la estimación para
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
2
El error máximo cometido seráb)
E
z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
Para un nivel de confianza del 99 % tenemos 1
α
=
(^0)
99 de donde
α
01
así pues
z α / 2 =
z 0 005
P
[
Z
z 0 005
] =
995 y obtenemos
(^) z 0 005
Así pues:
E
58
2 (^) ∙ (^0)
8
Ejercicio 14.
(Junio 2006)
En una ciudad se seleccionó al azar una muestra de 225 familias. A cada familia
familias tenían contratado dicho seguro. A partir de esa información, determinar:seleccionada se le preguntó si tenía contratado algún seguro de incendios. Se obtuvo como resultado que 75
a)El intervalo de confianza al 95 % para la proporción de familias de esa ciudad que tienen contratado algún
seguro de incendios.
b)El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 95 %, si damos como estimación de dicha
Solución:proporción el cociente 75/225.
Calculamos el valor del estimador proporción muestra para la muestra dada y dicho valor será la estimación para a)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
El intervalo de confianza para la proporción con un nivel de confianza 1
α
construido a partir de una muestra de
tamaño n es:
ˆp (^) −
(^) z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
ˆp (^) +
(^) z α / 2
ˆp 1 (^) −
ˆp )
n
En nuestro caso, para un nivel de confianza del 95 % tenemos 1
α
=
(^0)
95 de donde
α
=
05
así pues
z α / 2 =
z 0 025
P
[
Z
z 0 025
] =
975 y obtenemos
(^) z 0 025
Así pues:
96
96
El error máximo cometido será b)
E
z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
de donde
E
Ejercicio 15.
(Septiembre 2005)
En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de
seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas, se pide:un 20 % de ellas y se les preguntó si disponían de gas ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las familias
a)¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de gas
ciudad en su vivienda?
Justificar las respuestas.b)¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 95 %?
Vicente Parejo Sosa
Solución:Ejercicios resueltos PAU Extremadura -Matemáticas Aplicadas CCSSII-
Calculamos el valor del estimador proporción muestra para la muestra dada y dicho valor será la estimación para a)
el parámetro proporción poblacional.
ˆp (^) =
El error máximo cometido seráb)
E
z α / 2
ˆp (^) 1 (^) −
ˆp )
n
Para un nivel de confianza del 95 % tenemos 1
α
95 de donde
α
05
así pues
(^) z α / 2 =
z 0 025
P
[
Z
z 0 025
] =
975 y obtenemos
(^) z 0 025
Así pues:
E
96
3 (^) ∙ (^0) 7
Ejercicio 16.
(Junio 2005)
En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de
trabajadores.de atención al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el de parlamento de contabilidad y 100 en el departamento
a)¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de la muestra si queremos que incluya a
trabajadores de los cuatro departamentos mencionados?
b)¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio
de proporcionalidad?
Justificar las respuestas.
Solución:
Habría que utilizar un muestreo aleatorio estratificado. En el caso de que quisiéramos que el número de individuos a)
proporcional.de cada estrato sea proporcional al tamaño de dicho estrato, debemos realizar un muestreo aleatorio con afijación
900180 Tenemos que N= 150+450+210+100=900b)
a
b
c
d
De donde
(^) a
(^) =
b (^) =
c
=
(^) d
Por tanto, hay que seleccionar 30 trabajadores del departamento de personal, 90 trabajadores del departamento de
ventas, 40 del departamento de contabilidad y 20 del departamento de atención al cliente.
Vicente Parejo Sosa
