Transformaciones lineales y el núcleo de una transformación lineal, Esquemas y mapas conceptuales de Ciencias de la Tierra y del Medio Ambiente

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TRANSFORMACIONES LINEALES

VALORES Y VECTORES PROPIOS

• AAD: se desarrolla en la sesión con el AAD ejercicios de la sesión 6.2 y 7.1. GNP:
• Multiplicación de matrices
• Combinación lineal
• Solución de SEL ¿Para qué el estudio de transformaciones lineales y el Kernel de una T.L.?
• CONTROL VIRTUAL 2: segundo intento inicia el sábado 01 de octubre a las 00:00 horas al domingo 02 de octubre a las 23:50 horas.

Temario

• Transformaciones Lineales (T.L)
• Núcleo o Kernel de una Transformación lineal.

TEMA 1 Trasformaciones Lineales (T.L)

7 Verifique si las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales o no:

a) 𝑇: ℝ

3

2

b) 𝑇: ℝ

3

2

c) 𝑇: 𝑃

2

2

2

2 Ejemplo 1

8 a)𝑇: ℝ 3 → ℝ 2 , 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 𝑧 − 𝑦 + 1 i) Sean los vectores 𝑎 𝑏 𝑐 y 𝑑 𝑒 𝑓 ∈ ℝ 3 Por lo tanto, T N 0 es una transformación lineal. T es una T.L si se cumple: Luego: 𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓 = 𝑎 + 𝑑 𝑏 + 𝑒 𝑐 + 𝑓 𝑇 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑎 + 2 𝑏 𝑐 − 𝑏 + 1 𝑇 𝑎 + 𝑑 𝑏 + 𝑒 𝑐 + 𝑓 = 𝑎 + 𝑑 + 2 𝑏 + 𝑒 𝑐 + 𝑓 − 𝑏 + 𝑒 + 1 NO CUMPLE 𝑇 𝑑 𝑒 𝑓 = 𝑑 + 2 𝑒 𝑓 − 𝑒 + 1 = 𝑎 + 2𝑏 𝑐 − 𝑏 + 1

𝑑 + 2𝑒 𝑓 − 𝑒 + 1

0 − 1 𝑇 𝑎 + 𝑑 𝑏 + 𝑒 𝑐 + 𝑓 = 𝑇 𝑎 𝑏 𝑐 +𝑇 𝑑 𝑒 𝑓

0 − 1 Verifique si la siguiente aplicación es una T.L o no:

i) 𝑇 𝒖 + 𝒗 = 𝑇 𝒖 + 𝑇 𝒗 ; ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉

ii)𝑇 𝑐𝒗 = 𝑐𝑇 𝒗 ; ∀ 𝒗 ∈ 𝑉, ∀𝑐 ∈ 𝑅

Ejemplo 1

10 c) 𝑇: 𝑃 2 → 𝑃 2 , 𝑇 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 = 𝑎 + 2 + 𝑏 + 2 𝑥 + (𝑐 + 2 )𝑥 2 Por lo tanto , T NO es una T.L. T es una transformación lineal (TL) si se cumple: 𝑚 𝑛 𝑝

𝑞 𝑟 𝑠 = 𝑚 + 𝑞 𝑛 + 𝑟 𝑝 + 𝑠 𝑇 𝑚 𝑛 𝑝 = 𝑚 + 2 𝑛 + 2 𝑝 + 2 𝑇 𝑚 + 𝑞 𝑛 + 𝑟 𝑝 + 𝑠 = 𝑚 + 𝑞 + 2 𝑛 + 𝑟 + 2 𝑝 + 𝑠 + 2 NO CUMPLE i) Sean 𝑚 + 𝑛𝑥 + 𝑝𝑥 2 = 𝑚 𝑛 𝑝 𝑦 𝑞 + 𝑟𝑥 + 𝑠𝑥 2 = 𝑞 𝑟 𝑠 ∈ 𝑃 2 𝑇 𝑞 𝑟 𝑠 = 𝑞 + 2 𝑟 + 2 𝑠 + 2 = 𝑚 + 2 𝑛 + 2 𝑝 + 2

𝑞 + 2 𝑟 + 2 𝑠 + 2

− 2 − 2 − 2 𝑇 𝑚 + 𝑞 𝑛 + 𝑟 𝑝 + 𝑠 ≠ 𝑇 𝑚 𝑛 𝑝

• 𝑇 𝑞 𝑟 𝑠 Verifique si la siguiente aplicación es una T.L o no: Ejemplo 1

Teorema

Si A es una matriz de 𝑚x𝑛, entonces la transformación

matricial definida por es una transformación lineal. Teorema

es una transformación lineal  T es una

transformación matricial.

𝑛

𝑚

𝑛

𝑚

𝐴

𝑛 6 Transformaciones lineales matriciales

13 La transformación es una transformación lineal, dado que es una transformación matricial

3

5 𝑇

Ejemplo 2

14 Sea 𝐴 =

la matriz que representa a la T.L. 𝑇: ℝ 3 → ℝ 2 . a) Determine 𝑇

b) Calcule 𝑇

Ejemplo 3

16

Sea V y W espacios vectoriales y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal.

T aplica el vector neutro del espacio de partida en

el neutro del espacio de llegada.

𝑉

𝑊 Propiedades de una transformación lineal

17

Sean V y W espacios vectoriales y T una transformación (la cual

queremos establecer si es lineal o no). Si se verifica que

Entonces T NO es una transformación lineal.

Note que la condición no es suficiente para concluir que una transformación T es lineal. 𝑇 𝟎𝑉 = 𝟎𝑊

𝑉

𝑊 Criterio para determinar si una transformación NO es lineal.

19 Dada 𝑇: ℝ 2 → ℝ 2 una transformación lineal tal que: 𝑇

y 𝑇

Halle 𝑇

Solución: Ejemplo 5

20 Dada 𝑇: ℝ 2 → ℝ 2 una transformación lineal tal que: 𝑇

y 𝑇

Halle 𝑇

) 𝑇^

2𝑥+𝑦 3

−𝑥+𝑦 3

) 𝑇^

2𝑥+𝑦 3

−𝑥+𝑦 3

Solución: Ejemplo 5