Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Mecanica, Profesor: Eugeni Grauges, Carrera: Química, Universidad: UB
Tipo: Apuntes
1 / 10
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
1
2
◦ Un cos finit ocupa mols punts de l’espai → quina és la seva posició? → com trobem el seu CM?
3
Densitat: (funció escalar de variable vectorial):
( ) dxdydz
dm dV
ρ r^ r =dm=
4
En el cas més senzill, ρ és constant
◦ queda el problema de la integració del volum
( )
1
(^1 1) ( , , ) 1 ( , , )
(^1) ( , , ) ( , , ) ( , , )
R (^) M (^) i rm i i (^) M x y z rdv (^) M x y z xi y j zk dxdydz
M^ i^ x y z xdxdydz^ j^ x y z ydxdydz^ k^ x y z zdxdydz
ρ ρ
ρ ρ ρ
=
= = = + + =
= + +
ur r r r r r
r r r
i = 1
7
Cossos menys simètrics...Cossos menys simètrics...
No queda més remei que fer la integral en el volum Els resultats estan tabulats en llibres
Exemples:
= 3
R 0 , 0 ,h
r h
x
y
z
= 3
R 0 , 0 ,h
r
= 4
R 0 , 0 ,h
r
Con buit
Con ple
8
◦ translació ◦ rotació al voltant d’un eix
∑ i = 1
∫V
9
Totes les partícules dels sistema a la mateixa velocitat ◦ Les trajectòries de tots els punts son paralleles ◦ L’orientació del cos no canvia ◦ El CM té la mateixa velocitat que tots els punts L’energia cinètica: ◦ En un sistema de partícules en general, vam veure:
◦ En un moviment de translació
2 2 2 1 1
i 2 i^2 i^2 i
T mv MV mv = =
Ec = (^) ∑ = +∑ ′
2 2 1
1 1 i^2 i^2
Moviment del sistema
Moviment relatiu de les partícules respecte del CM
10
◦ Per una partícula: vi =ωω ωω ri ◦ ri és el radi de gir de cadascuna
2 i 1 i i
= (^) ∑ ′
2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 1 T (^) i = 2 m v i i (^) i = 2 m vi i (^) i = 2 m ri i ω (^2) i= m ri i ω 2 Iω = = ′^ = ′^ = ^ ′ =
r’i
Interpreteu aquesta equació en analogia al moviment lineal
distància a l’eix
13
Capa esfèrica
Con massís
14
Si tenim un eix de gir que no passa pel CM, parallel a un altre que si que passa pel CM, es compleix:
on a és la distància entre els eixos
◦ Demo:
CM
a
r CM
a r
r ra
r (^) I CM = (^) ∑ m ri iCM^2
= (^) ∑ m ri iCM 2 + (^) ∑ m ai 2 − 2 a^ r ⋅ (^) ∑m ri r iCM= ICM + Ma 2 =Ia
Quins dels cassos de les transparències anteriors estan relacionats pel teorema de Steiner? Mostreu que es compleix
I I Ma^2 = CM +
15
Es pot demostrar que, per a eixos de rotació que són eixos de simetria i que contenen el CM, es compleix:
ω té com a mòdul la vel. ang., la direcció la de l’eix i com a sentit el corresponent a un gir dextrogir Aleshores:
ω
i
=
1
Interpreteu aquesta equació en analogia al moviment lineal
r r r^ r I dt
I^ d dt
d L ext = = =
Equació dinàmica del moviment de rotació d’un sòlid rígid Quina serà l’orientació del vector α?
16
Lliscament: només translació (tots els punts mateixa v). Rodolament: rotació + translació, sense lliscament: ◦ El punt de contacte té v=0 ⇒ el fregament no fa treball ◦ L’eix de rotació (que conté el CM) es mou a V = ωR
L’energia cinètica:
v
f PC (^1 2 ) 2 2 CM
19
◦ La condició es pot aplicar prenent l’origen de moments a qualsevol punt de l’espai
0 1
r r ∑ = =
n i
Fexti
0 1
r r ∑ = =
n i exti
Exemple: trobeu la posició d’equilibri d’un bastó que penja d’una taula
20
Exemple de dinàmica del sòlid rígidExemple de dinàmica del sòlid rígid
Calculeu l’acceleració angular amb què gira una politja cilíndrica de massa M de la qual penja un objecte de massa m
