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SÛlido RÌgido
1. IntroducciÛn
2. RotaciÛn de una masa alrededor de un eje
3. AnalogÌa con el movimiento rectilÌneo
4. EnergÌa cinÈtica de rotaciÛn: Momento de inercia
5. Centro de masas de un sÛlido y coordenadas relativas
6. Teorema de Steiner
7. C·lculo de momentos de inercia
8. Fuerzas sobre un SÛlido: Ecuaciones del movimiento
9. Momento angular. Leyes de conservaciÛn
10. Movimiento general del sÛlido en dos dimensiones
11. Ejemplos
1. IntroducciÛn
DeÖniciÛn de sÛlido rÌgido. Llamamos sÛlido rÌgido a un conjunto de masas fmi; i = 1; 2 ; ::::; N g cuyas distancias entre ellas permanecen invariables.
Objetivos del presente tema:
ñ Describir el movimiento circular de una masa y comparar su cin- em·tica con la del movimiento rectilÌneo ñ Describir el movimiento de rotaciÛn del sÛlido alrededor de un eje Öjo, introduciendo el concepto de momento de inercia ñ Calcular los distintos momentos de inercia de un sÛlido en relacion con posibles ejes de rotaciÛn. ñ Obtener las ecuaciones de movimiento del sÛlido en relaciÛn con las fuerzas que act˙an sobre el mismo ñ Descomponer el movimiento del sÛlido en el movimiento del centro de masas y el movimiento de rotaciÛn alrededor del centro de masas. ñ Nota: Nos restringiremos a analizar el movimiento del sÛlido cuyo centro de masas se mueve en el plano y gira respecto de ejes perpen- diculares a dicho plano. El movimiento general queda fuera del nivel del presente curso
- RotaciÛn de una masa alrededor de un eje (movimiento circular)
RelaciÛn entre el ·ngulo descrito, el radio de giro y el arco recorrido:
(·ngulo) =
s (arco) r (radio)
El resultado del cociente anterior nos da el ·ngulo en radianes. El radio r es constante en el movimiento circular
RelaciÛn entre los radianes y los grados sexagesimales
1 radi·n =
360 o 2
= 57; 3 o
Velocidad angular media, w, y velocidad angular instantanea, w:
w =
f inal inicial tf inal tinicial
t
, w = lim t! 0
t
d dt
AceleraciÛn angular media, , y aceleraciÛn angular instantanea, :
wf inal winicial tf inal tinicial
w t
, = lim t! 0
w t
dw dt
Vector velocidad angular !w. Es el que tiene mÛdulo w y direcciÛn en el eje de giro, seg˙n la regla de la "mano derecha".
Cinem·tica del movimiento de rotaciÛn uniformemente acelerado, = constante. Integrando en la deÖnciÛn de
w = winicial + t
Integrando en la deÖniciÛn de w y utilizando la expresiÛn anterior
= inicial + winicialt +
t^2
donde t es el tiempo transcurrido desde el instante inicial hasta alcanzar la velocidad angular w y recorrer el ·ngulo
- AnalogÌa del movimiento circular con el movimiento rectilÌneo
EnergÌa cinÈtica de rotaciÛn. Supongamos un sÛlido en rotaciÛn tal que cada masa mi gira a una distancia ri del eje de giro. Entonces la energia cinÈtica del sÛlido vale
EC =
X
i
miv^2 i =
X
i
mir^2 i w^2 =
X
i
mir^2 i
w^2
Momento de inercia. Se deÖne momento de inercia I de un sÛlido respecto de un eje a la cantidad I =
X
i
mir i^2
es decir a la suma de las masas por el cuadrado de las distancias al eje.
Corolario. La energÌa cinÈtica de un sÛlido en rotaciÛn EROT vale
EROT = EC =
Iw^2
Momento de inercia alrededor del eje z, que pasa por el origen de coorde- nadas O IZO =
X
i
mi
x^2 i + y^2 i
Ejercicio 2: SÛlido plano. Consideremos un sÛlido cuyas masas est·n situadas en el plano XY , por tanto zi = 0. mostrar que
IZO = IOX + IOY
- Centro de masas de un sÛlido y coorde- nadas relativas
Centro de masas. Consideramos un sÛlido de masas mi, que se encuentran en las posiciones (xi; yi; zi) respecto de un sistema de referencia OXY Z con origen O y ejes X; Y; Z. DeÖnimos el centro de masas a la posiciÛn (Xcm; Ycm; Zcm) deÖnida como sigue
Xcm =
P
P^ i^ mixi i mi
M
X
i
mixi
Ycm =
P
P^ i^ miyi i mi
M
X
i
miyi
Zcm =
P
P^ i^ mizi i mi
M
X
i
mizi
donde M es la masa total del sÛlido
Coordenadas relativas: Consideramos un sistema de ejes cartesianos con origen en el centro de masas CM y "ejes paralelos" a los ejes X; Y; Z con origen O. Las coordenadas de las masas mi con respecto a este nuevo sistema de ejes cartesianos centrados en CM , se denominan coordenadas relativas (xcmi ; yicm ; zcmi ). Por tanto,
xcmi = xi Xcm ycmi = yi Ycm zcmi = zi Zcm
Nota: La restricciÛn de "ejes paralelos" no es necesaria si se considera que (xcmi ; ycmi ; zicm ) son las componentes en la referencia OXY Z del vector "libre" con origen en CM y aÖjo en mi. En el estudio general del sÛlido, conviene elegir la referencia con origen en CM tal que estÈ ligada al propio movimiento del sÛlido. Este tratamiento queda fuera del nivel del presente curso.
Ejercicio 4. Demostrar las siguientes relaciones:
X
i
mixcmi =
X
i
miyicm =
X
i
mizcmi = 0
X
i
mi x
cm i =^
X
i
mi y
cm i =^
X
i
mi z
cm i = 0
El "punto" sobre una letra signiÖca la derivada con respecto al tiempo: x = dx=dt, etc. Estas relaciones nos indican que las coordenadas del CM y la velocidad del CM respecto del sistema centrado en CM , obviamente, son cero.
- Teorema de Steiner
Enunciado (Teorema de Steiner o de los ejes paralelos): Consideremos un eje de rotaciÛn que pase por el CM de un sÛlido. Sea ICM el mo- mento de inercia del sÛlido respecto de este eje. Elijamos este eje como el ZCM. Sea otro eje paralelo a ZCM , que corta al plano XCM YCM en un punto que consideraremos como el origen de coordenadas O de la refer- encia OXY Z de ejes paralelos. Sea IO el momento de inercia del sÛlido respecto de este eje paralelo al ZCM (eje OZ). Entonces se cumple que
IO = ICM + M d^2
donde M es la masa de sÛlido y d^2 es el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
Ejercicio 8. Momento de inercia de una varilla. Sea una varilla de longitud L y masa M situada a lo largo del eje OX con el origen O en el extremo de la varilla. Obtener
ICMZ = ICMX =
M R^2 , ICMX = 0
IZO = IYO =
M R^2 , IOX = 0
Ayuda: Considerar un trozo de varilla inÖnitesimal de masa
dm = dx
siendo = M=L la densidad longitudinal. Integrar la variable x:
Ejercicio 9. Momento de inercia de una esfera. Sabiendo que el momento de inercia de una corteza esfÈrica de radio R y masa M con respecto a un eje que pasa por su centro vale
ICM =
M R^2
mostrar que, para una esfera de radio R y masa M
ICM =
M R^2
Ayuda: Considerar una corteza inÖnitesimal en el interior de la esfera de radio r, espesor dr y masa dm
dm = 4 r^2 dr
siendo = 4r^3 = 3 M:Integrar la variable r desde 0 hasta R:
- Fuerzas sobre un SÛlido: Ecuaciones del movimiento
IntroducciÛn. En la descripciÛn del movimiento de un sÛlido hay que tener en cuenta tanto la fuerzas que act˙an sobre el sÛlido como sus puntos de aplicaciÛn. En particular, si aplicamos dos fuerzas
F 1 y
F 2 en dos posi- ciones del sÛlido, P 1 y P 2 , tales que
F 1 +
F 2 = 0 pero que no estÈn en la direcciÛn del vector
P 1 P 2 , entonces se produce un movimiento de rotaciÛn a pesar de que la fuerza total es nula. Tal es el caso del movimiento de giro de una puerta o de un columpio.
Momentos de una fuerza. Para tener en cuenta la direccion de aplicaciÛn de una fuerza en relaciÛn con su punto de aplicaciÛn deÖnimos el momento ! Ni de una fuerza
Fi aplicada en la posiciÛn !ri al producto vectorial !r (^) i
Fi ! N (^) i = !r (^) i
Fi
El momento total de fuerzas sobre un sÛlido ser· ! N =
X
i
N (^) i =
X
i
!r i
Fi
Grados de libertad en el movimiento de un sÛlido. Para describir el movimiento de un sÛlido en el espacio, necesitamos conocer como se mueve su centro de masas (3 coordenadas en el espacio) y como gira el sÛlido alrededor del centro de masas (3 posibles giros alrededor de un sistema de ejes). En total tenemos, pues, 6 grados de libertad y necesitaremos 6 ecuaciones de movimiento correspondientes a dichos grados de libertad. En el caso de que el movimiento del centro de masas sea en el plano y que los giros sean alrededor de un eje perpendicular al plano, los grados de libertad son 3 (2 posiciones y un giro)
Equilibrio de un sÛlido. Para que un sÛlido se encuentre en equilibrio se tienen que cumplir las siguientes condiciones ! F =
X
i
F (^) i = 0
! N =
X
i
!r (^) i ! F (^) i = 0
Mientras la primera de ellas impide el movimiento del centro de masas, la segunda impide los giros.
Ejercicio 10. Columpio. En una barra con punto de apoyo en su centro se deposita una carga de 20 kilos en un extremo de la misma situado a 60 cm del centro. ø A quÈ distancia del centro, al otro lado del punto de apoyo, se tiene que depositar una carga de 30 kilos para que la barra se mantenga en equilibrio?.
Ecuaciones de movimiento. Podemos obtener 3 ecuaciones de movimiento a partir de la segunda ley de Newton con respecto a la resultante de todas las fuerzas aplicadas sobre el sÛlido
F =
P
i
F (^) i
! F =
X
i
F (^) i =
d dt
X
i
mi !v (^) i =
d dt
P
donde
P =
P
i mi
!v i es el momento lineal total del sÛlido.
que es lo querÌamos demostrar, ya que en el corchete aparece el momento de inercia. Adem·s,
P
i mi
!r i =^ M Zcm
k , es decir el CM est· en el eje de giro.
ConservaciÛn del momento. Si la resultante de las fuerzas que act˙an sobre el sÛlido vale cero entonces, de la primera ecuaciÛn de movimiento se obtiene que ! P =
X
i
mi !v (^) i = M
V CM = CON ST AN T E
Es decir, el momento total se conserva y el CM se mueve con velocidad constante
ConservaciÛn del momento angular. Si el momento total de las fuerzas vale cero, entonces, de la segunda ecuacion de movimiento tenemos ! L =
X
i
!r i ^ mi !v i =^ CON ST AN T E
Es decir, el momento angular total se conserva.
- Movimiento general del sÛlido en dos di-
mensiones
DescomposiciÛn de la energÌa cinÈtica. suponemos que el CM se mueve en el plano XY mientras que, adem·s, el sÛlido gira alrededor del eje ZCM. Podemos hacer la siguiente descomposiciÛn de la energÌa cinÈtica
Ec =
X
i
mi
vicm +
V (^) cm
X
i
mi
vcmi
V (^) cm
X
i
mi (wricm )^2 +
M
V (^) cm
En el segundo paso del desarrollo anterior se ha tenido en cuenta que P i mi
vcmi
V (^) cm = 0. En el tercer paso se ha tenido en cuenta que vicm = wrcmi , siendo w la velocidad angular y rcmi la distancia al eje de giro que pasa por el CM: Finalmente queda la siguiente descomposiciÛn
Ec =
ICM w^2 + ECMc
Es decir, la energÌa cinÈtica del sÛlido se puede descomponer como la energia cinÈtica del centro de masas m·s la energÌa de rotaciÛn alrededor del centro de masas.
- Ejemplos
Ejercicio 11. Esfera deslizandose por un plano inclinado de ·ngulo . Mostrar que si una esfera cae rodando, desde una altura h; por un plano inclinado la velocidad Önal del CM vale
Vcm =
r 10 gh 7
y la aceleraciÛn Önal vale af =
5 g 7 sin
Dato: Iesf eraCM = 2M R^2 = 5
Ejercicio 12. Caida de una varilla. Sea una varilla en posiciÛn vertical apoyada en el suelo por un extremo. Calcular la velocidad con que llega al suelo al caer el otro extremo de la varilla.
Ejercicio 13. Caida de una varilla sin masa con una masa puntual m en su extremo superior. Al caer la varilla, calcular la velocidad de la masa con que llega al suelo.
Ejercicio 14. Masa m que cae enrollada en una polea de masa M , radio R y momemto de inercia, el del disco. Calcular la velocidad y la aceleraciÛn dela masa m cuando ha caido una altura h.
Ejercicio 15. Momentos de inercia de una raqueta. Considerar una raqueta compuesta de un aro circular, de radio R y masa M; y un mango de longitud 2 R y masa M. Si la raqueta esta situada en el plano XY , calcular los momentos de inercia respecto de los ejes X; Y; Z que pasan por su CM:
BIBLIOGRAFIA
P. A. Tipler. "Fisica. Vol 1". Ed. RevertÈ (tercera ediciÛn 1992): Capitulos 8 y 9
R. A. Serway "FÌsica Vol 1". Ed. Thomson (tercera edicion 2003): CapÌ- tulo 10
- PresiÛn en un áuido. Principio de Pascal
Fluido. Es un conjunto de moleculas unidas entre sÌ por fuerzas muy dÈbiles, permitiendo su movilidad de forma aleatoria y adaptandose a la forma del recipiente que las contiene. Si el volumen ocupado es variable, de pendiendo del recipiente cerrado, el áuido se denomina gas. Si el volumen del áuido permanece constante, adaptandose a las paredes del recipiente (abierto o cerrado), el áuido se denomina lÌquido.
PresiÛn en un áuido. Consideramos un áuido en un recipiente. Si ejerce- mos una fuerza F perpendicular sobre la superÖcie S del áuido en el recipiente, denominamos presiÛn P a la fuerza por unidad de superÖcie.
P =
F
S
La presiÛn en los lÌquidos es la deÖniciÛn an·loga a la tensiÛn en los sÛlidos. Se mide en pascales P a 1 P a = 1N=m^2
Densidad. Tanto para un sÛlido como para un áuido, se deÖne la densidad como la relaciÛn entre su masa m y el volumen V que ocupa
=
m V
PresiÛn debida a la altura. Consideremos, dentro del propio liquido, una porciÛn c˙bica del mismo con altura h. Como esta porciÛn de lÌquido se encuentra en equilibrio dentro del campo gravitatorio, es porque las fuerzas arriba FA y abajo FB del cubo se compensan con el peso FP de la porciÛn c˙bica de masa m = V FP = V g
donde g es la gravedad, la densidad y V el volumen de cubo. Si S es la superÖcie de una cara del cubo se tiene que FA = SPA, FB = SPB y V = Sh. Por tanto, como FB FA = FP se tiene que PB PA = gh que nos expresa la diferencia de presiÛn en dos puntos de un áuido gravi- tatorio debido a la diferencia de altura.
Principio de Pascal. "Un cambio de presiÛn en la superÖcie de un lÌquido se transmite a todos los puntos del lÌquido con igual intensidad y en todas las direcciones, incluidas las paredes del recipiente". En este principio reside, por ejemplo, la lÛgica deductiva de la diferencia de presiones debido a la altura. Fijemonos que para sÛlidos, las fuerzas perpendiculares no tienen porque producir tensiones transversales. La diferencia es que para áuidos (no viscosos) el coeÖciente de cizalladura es nulo.
- Empuje. Principio de ArquÌmendes
Consideremos ahora un sÛlido en forma de cubo de altura h en el interior de un liquido. Llamamos empuje E a la diferencia de fuerzas entre la cara inferior y superior del cubo. Es decir
E = FB FA = F (^) Pliquido
Para mantener el sÛlido en equilibrio dentro del lÌquido, tendremos que hacer una fuerza F (^) Psolido E (por ejemplo, colgando el sÛlido desde fuera del lÌquido), que es el peso aparente del sÛlido cuando est· dentro del lÌquido F (^) Paparente = F (^) Psolido E
Principio de Arquimedes. Todo cuerpo sumergido en un lÌquido experi- menta un empuje hacia arriba igual al peso del volumen de lÌquido desa- lojado
- Din·mica de Fluidos. EcuaciÛn de Bernoulli
Flujo de un áuido en movimiento. Consideremos un áuido que circula por una tuberÌa de secciÛn constante. Sea A una secciÛn perpendicular a la tuberÌa. Si el áuido circula a travÈs de esta secciÛn con velocidad v, al cabo de un tiempo t, la cantidad de áuido que ha atravesado A ocupa el volumen Avt. Se llama áujo (o caudal) de áuido a la cantidad de áuido que circula a traves de A por unidad de tiempo. Es decir
= Av
EcuaciÛn de continuidad. Sea un liquido incompresible, que circula por una tuberÌa de anchura variable. Si consideramos dos secciones de tuberia A 1 y A 2 , el áujo a travÈs de estas secciones debe ser idÈntico (lÌquido incompresible que circula en rÈgimen laminar). Entonces, si v 1 y v 2 son las velocidades del lÌquido a travÈs de las secciones anteriores, tendremos que A 1 v 1 = A 2 v 2 lo que se conoce como ecuaciÛn de continuidad.
Consideremos una canalizacion con tuberias a diferentes alturas. Si el lÌquido NO est· en circulaciÛn, las presiones P 1 y P 2 en dos puntos del áuido de alturas h 2 (superior) y h 1 (inferior) deben satisfacer, teniendo en cuenta la presion debida a la altura, que
P 1 = g (h 2 h 1 ) + P 2
øque pasar· si el liquido est· en circulaciÛn?
