Solido Rígido tema 5, Apuntes de Física

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TEMA 5

SÓLIDO RÍGIDO

1. MOVIMIENTO GENERAL DEL SÓLIDO RÍGIDO

1.1. Definición de sólido rígido

Hemos hablado en el tema anterior de la dinámica de un sistema de partículas.

Veremos ahora un sistema de partículas muy concreto y habitual: el sólido rígido.

Se denomina sólido rígido a un sistema de partículas en el que la distancia entre partículas permanece constante bajo la acción de fuerzas o momentos, es

decir, se conserva la forma durante el movimiento. Excluiremos por lo tanto de nuestro

estudio aquellos problemas en los que el cuerpo se deforma bajo la acción de las fuerzas aplicadas o como resultado de la rotación.

Matemáticamente, dados dos puntos cualesquiera ri y rj del sólido rígido, la condición geométrica de rigidez se expresa como:

( ri - rj )^2 =cte

1.2. Movimiento general del sólido rígido: traslaciones y

rotaciones

Existen dos tipos sencillos de movimiento del sólido rígido:

1. Movimiento de traslación: en él todas las partículas tiene la misma velocidad lineal, por lo que describen trayectorias paralelas, de modo que el sólido siempre estará paralelo respecto de su posición inicial. De la definición de traslación se deduce que la trayectoria de las partículas no tiene que ser necesariamente una línea recta, y que existen traslaciones rectilíneas y curvilíneas. Podemos decir también que un movimiento se llama de traslación si cualquier línea recta definida en el sólido conserva su dirección durante el mismo. En una traslación todos los puntos que forman el sólido se mueven según caminos paralelos.
2. Movimiento de rotación alrededor de un eje: se produce cuando todas sus partículas describen

hasta B 2 y A permanece fija. La primera parte es evidentemente una traslación y la segunda es una rotación alrededor de A.

2. SEGUNDA LEY DE NEWTON EN EL MOVIMIENTO DE

LOS SÓLIDOS RÍGIDOS

2.1. Análisis de fuerzas. Momento de las fuerzas

Como hemos hecho hasta ahora, necesitamos analizar los agentes que van a dan lugar al movimiento de los cuerpos (causas), para ver así el efecto sobre dichos cuerpos. Como sabemos, las causas son las fuerzas actuando sobre los cuerpos.

Consideremos un sólido rígido y una situación donde tengamos varias fuerzas aplicadas (en general, sobre diferentes puntos del sólido rígido). Podríamos hacer un análisis de cada fuerza y del efecto sobre el sólido rígido. Pero nos interesa más hacer (sobre todo por sencillez) un análisis global. ¿Podríamos considerar un único vector fuerza resultante que nos describa de la misma forma el movimiento del sólido rígido en cuestión?

Podemos pensar en el vector suma de los vectores individuales. Sin embargo, la operación suma no está definida para vectores que no podamos trasladar todos a un mismo punto. Y los vectores fuerza que estamos considerando no se pueden cambiar de punto de aplicación sin que varíen sus efectos, ya que son vectores deslizantes.

En el caso del movimiento de cuerpos extensos, es necesario analizar no sólo la fuerza o fuerzas netas, sino los momentos de las fuerzas. Estos están relacionados con la eficacia de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación: la medida cuantitativa de la capacidad de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación viene dada por el momento de la fuerza con respecto al eje de rotación.

Como hemos visto ya en temas anteriores, el momento es siempre el producto vectorial del vector de posición por otro vector. Así, el momento angular era el momento de la cantidad de movimiento ( L = r x p = r x m v ). De igual modo, el momento de una fuerza será el vector de posición (respecto del centro de momentos) multiplicado vectorialmente por la fuerza:

M = r x F

Como cualquier producto vectorial, su módulo será:

M=rFsen

siendo  el ángulo que forman los dos vectores implicados, es decir, la fuerza y el vector de posición. Así, podemos decir que el momento de la fuerza depende de la magnitud de la

fuerza (F), de la posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al lugar donde se considera su efecto (r), y de la dirección en que se aplica la fuerza ().

Así, las fuerzas aplicadas a los sólidos rígidos no pueden cambiar su punto de aplicación fuera de su recta de acción sin que varíen sus efectos sobre los mismos, ya que matemáticamente son vectores de tipo deslizante. Es por esto que llegamos a un problema, ya que sólo si las rectas de acción se cortasen todas en un mismo punto (concurrentes), podríamos considerar la suma de los vectores fuerza. Pero por lo general esto no ocurre, no podemos en principio trasladar todas las fuerzas a un origen común y no podemos calcular la resultante. Nuestro objetivo por tanto es encontrar una forma de llevar todas las fuerzas a un mismo punto de aplicación, sin modificar el efecto que realizan sobre el sólido.

Consideremos una fuerza F que actúa sobre un sólido rígido en un punto A definido por un vector de posición r. Supongamos que por alguna razón queremos aplicar la fuerza en el punto O. Sabemos que podemos mover F a lo largo de su línea de acción (principio de transmisibilidad), pero no podemos desplazarla a un punto O fuerza de su línea de acción original sin modificar su efecto sobre el sólido rígido. Sin embargo, podemos unir dos fuerzas al punto O, una igual a F y la otra igual a – F , sin modificar la acción de la fuerza original sobre el sólido rígido. Como resultado de esta transformación, se aplica una fuerza en O, como queríamos. Las otras dos fuerzas forman un par de momento MO = r x F. Así pues, cualquier fuerza F que actúa sobre un sólido rígido puede moverse a un punto arbitrario O, siempre que se agregue un par de momento igual al momento de F con respecto a O. El par tiende a impartir al sólido rígido el mismo movimiento de rotación con respecto a O que la fuerza F tendía a producirle antes de haberla transferido a O. El par está representado por un vector MO perpendicular al plano que contiene a r y a F. Como MO es un vector libre, se puede aplicar donde se desee; por conveniencia, el vector par comúnmente se aplica a O, junto con F , y la combinación que se obtiene se denomina sistema fuerza-par.

Considéres un sistema de fuerzas F 1 , F 2 , F 3 , etc., aplicadas sonbre un sólido rígido en los puntos A 1 , A 2 , A 3 , etc., que se definan por los vectores de posición r 1 , r 2 , r 3 , etc. Como hemos visto, F 1 puede moverse de A a un punto dado O si un par de momento M 1 igual al momento r 1 x F 1 de F 1 con respecto a O se agrega al sistema original de fuerzas. Repitiendo este procecdimeno con F 2 , F 3 , etc., obtenemos el sistema mostrado en la figura, formado por fuerzas aplicadas en O y pares. Como las fuerzas son consurrentes, pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazadas por su resultante R. Del

al sistema. La primera ecuación, correspondiente a las fuerzas, nos da cuenta de la traslación del centro de masas, y por tanto, de todo el sistema:

F =m aCM

La segunda ecuación describirá la rotación de todas las partículas del sistema en torno al centro de masas:

L  CM  MCM

El movimiento de traslación del centro de masas ya está estudiado, pues se trata en realidad del movimiento de una partícula que concentra toda la masa del sistema y sobre la que actúa una fuerza igual a la resultante de las fuerzas externas, y esto está ya visto en el tema 2, correspondiente a la dinámica de la partícula. Nos queda por tanto estudiar sólo la rotación del sólido rígido, y ver a qué equivalen en términos de aceleraciones los momentos respecto del centro de masas.

2.2. Momento angular de un sólido rígido. Momentos de

inercia

De acuerdo a lo que acabamos de decir, necesitamos evaluar el momento angular de

un sólido rígido, y más en concreto, la variación del momento angular en el tiempo, L . Un sólido rígido es un caso particular de los sistemas de partículas, de modo que el momento angular de un sólido rígido con respecto a un punto será la suma de los momentos angulares individuales de cada una de las partículas que constituyen el sólido.

Comenzaremos con un ejemplo sencillo: el de una partícula que gira en torno a un eje describiendo una circunferencia de radio r. Tenemos un vector velocidad angular que define este giro, y que tiene la dirección del eje de rotación. Así, el momento angular de esta partícula con respecto al centro de la circunferencia será:

L = r x m v = r x m( x r )

Tendremos que el último paréntesis vale:

j

i j k r r r 0 0

Y por tanto el momento angular:

  k

i j k L r r m r^2 0 r 0

m mr 0 0   

Podemos ver que en este caso tan sencillo el momento angular L tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular .

Consideremos ahora una placa con un espesor muy pequeño (despreciable) que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro y evaluemos el momento angular L respecto del centro de la placa. En primer lugar, para la partícula i-ésima tendremos lo que aparece en la figura, de modo que el momento angular para esa partícula es:

Li = ri x mi vi = ri x mi( x ri )= miri^2 

Nótese que la velocidad angular  es la misma para todas las partículas. Esto lo tenemos para una sola partícula. Si lo extendemos para todas las partículas del sólido, el momento angular del sólido será:

  

m r mr I

N i 1

2 ii

N i 1

2 ii

N i 1

L Li

Vemos que el término  

N i 1

2 miri es una propiedad de la placa, que designamos por I y

recibe el nombre de momento de inercia:



N i 1

2 I miri

De la definición del momento de inercia tenemos que esta nueva magnitud tiene las siguientes propiedades:

• Es una magnitud escalar.
• Depende de la distribución de masa (no es lo mismo en una placa que en un cilindro).
• Va a jugar el mismo papel en la rotación que la masa en el movimiento de traslación.
• Depende del eje de rotación (no es lo mismo el momento de inercia de un disco respecto de un eje transversal al mismo que respecto de un eje longitudinal).
• En el Sistema Internacional su unidad es el kgm^2.

Si lo que tenemos es un cuerpo extenso, el sumatorio se sustituye por una integral y tendremos que el momento de inercia es:

I  (^) r^2 dm

Y siempre podemos relacionar la masa con el volumen a través de la densidad, de modo que también podemos poner:

  dVdmdVIrdm rdV dm V

M 22

Hacemos un gráfico donde veamos esta situación desde arriba, con lo que tenemos lo que aparece en la figura. El momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masas será, sumando para todas las partículas de la rodaja:

        

N i 1

2 2 i 2 i i

N i 1

2 ICM miri mx y z

Hemos tenido en cuenta la definición de módulo de un vector:

ri =xi i +yi j +z k ri  xi^2 y^2 i z^2 ri^2 xi^2 yi^2 z^2

Y del mismo modo, el momento de inercia respecto del eje que pasa por el punto P será:

            

N i 1

2 2 i i^2 i

N i 1

2 IP mir'i m x a y b z

      

N i 1

2 i

N i 1 i i

N i 1

2 i

N i 1

2 ii

N i 1 i i

N i 1

2 i

N i 1

2 mi xi ma 2 mxa my mb 2 myb mz

      

N i 1 ii

N i 1 ii

N i 1

2 i

N i 1

2 i

N i 1

2 i

N i 1

2 ii

N i 1

2 mi xi my mz ma mb 2 mxa 2 myb

 (^)                            

N i 1

2 2 i

N i 1

2 2 i 2 i i

N i 1 ii

N i 1 ii

N i 1

2 2 i

N i 1

2 2 i 2 mi xi y z ma b 2 a mx 2 b my mx y z ma b

Tenemos en cuenta que xi e yi son las coordenadas de la partícula i-ésima respecto del centro de masas, y ya habíamos obtenido en el tema 4, que en un sistema de referencia centro de masas:

my 0

mx 0 N i 1 ii

N i 1 i i

^ 





Así, tendremos:

    (^) CM^2

N i 1

2 2 i

N i 1

2 2 i

2 IP   mixi y z  ma b I md

Esta última ecuación es el teorema de Steiner, que dice que el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia del mismo cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes. Esta ecuación nos muestra que de todos los ejes paralelos a una dirección dada, el que pasa por el centro de masas del cuerpo es al que le corresponde el momento de inercia más pequeño.

Radio de giro

Hemos visto que el momento de inercia presenta distintas expresiones en función de la forma (distribución de masa) del cuerpo. No obstante, siempre es posible expresar el momento de inercia de cualquier cuerpo como:

I=mk^2

siendo k el denominado radio de giro del sólido rígido correspondiente respecto a dicho eje. El radio de giro representa por tanto, la distancia a la que habría que concentrar toda la masa del cuerpo de forma que el momento de inercia respecto del giro se mantuviera invariable. Se tiene entonces que:

I=mk^2  m

k  I

Así, por ejemplo, para una varilla delgada de longitud l que gira en torno a un eje que pasa por su centro tendremos:

0 , 289 l m

ml 12

m

k I

2   

Ejes principales de inercia

Hemos visto ya una situación en la que  (^)  

N i 1

L Li tiene una

dirección bien determinada al tener el momento angular de todas las partículas la misma dirección (la del eje de rotación), que fue el caso de una partícula que se movía en una trayectoria circular o un disco muy delgado que rotaba con velocidad angular  respecto de un eje perpendicular a la misma y que pasaba por su centro. En estos casos el momento angular tiene la dirección del eje de rotación. Esto va a ocurrir siempre que el cuerpo tenga forma simétrica en torno al eje de rotación. En este caso, podemos ver en la figura que las componentes de todos los momentos Li de las partículas se van a compensar, ya que tienen módulos iguales, la misma dirección y sentidos opuestos. Por el contrario, las componentes en la dirección del eje de rotación tienen todas el mismo sentido y se suman, de modo que podemos poner:



I

N i 1

L Li

En caso contrario, si el eje de rotación no es un eje de simetría, las componentes en dirección perpendicular al eje de rotación no se compensan y el momento angular L y la velocidad

la aceleración del centro de masas y la aceleración angular del sólido, y si es posible, buscaremos la relación que existe entre ellas.

Principio de conservación del momento angular

A partir de la ecuación de la rotación del sólido rígido, M=I, se tiene un nuevo principio de conservación, ya que si la rotación es en torno a un eje principal de inercia:

M =0  L =cte  L =I=cte

De modo que podemos decir que si el momento de las fuerzas exteriores es nulo, el momento angular se mantiene constante. Si el sólido es indeformable, su momento de inercia será constante y consecuentemente también lo será la velocidad angular:

I=cte  =cte

Esto es, un sólido rígido que gira libremente (sin la intervención de momentos externos) alrededor de un eje principal de inercia tendrá una velocidad angular constante.

Este enunciado puede considerarse como la ley de inercia para el movimiento de rotación.

Si el cuerpo no es rígido, sino deformable, es posible que cambie el valor del momento de inercia al variar la posición de las diversas partes del cuerpo con respecto al eje de rotación. Entonces, si I=cte, se deduce que si el momento de inercia aumenta la velocidad angular debe disminuir y viceversa, de modo que el producto I permanezca constante.

L =cte=I=cte  I 1  1 =I 2  2

Los acróbatas, bailarines de ballet, patinadores sobre hielo… utilizan frecuentemente este principio, ya que en su caso, las dos fuerzas que actúan sobre ellos, el peso y la normal, se anulan y no existe momento resultante. Como el momento de inercia depende del cuadrado de la distancia de las partes del cuerpo al eje de rotación, encogiendo o extendiendo los miembros es posible conseguir grandes variaciones en el momento de inercia, de modo que se puede variar considerablemente la velocidad angular en los giros y volteretas. Un gato logra caer sobre sus patas utilizando el mismo principio, sirviéndose de la cola como apéndice útil. El mismo principio utilizan los saltadores de trampolín, en cuyo caso la única fuerza que actúa es el peso, que por estar aplicada en el centro de masas no da momento respecto de un eje que pase por dicho punto.

3. ENERGÍA CINÉTICA Y TRABAJO EN LA ROTACIÓN.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

3.1. Energía cinética de rotación

El sólido rígido en última instancia es un sistema de partículas, y en el tema correspondiente demostramos ya que la energía cinética de un sistema de partículas se puede desdoblar en dos partes: una energía cinética asociada con el movimiento del centro de masas, llamada energía cinética de traslación del sistema, y una energía cinética interna que tan sólo depende del movimiento de las partículas en el sistema de referencia del centro de masas, que no cambia cuando calculamos la energía cinética total respecto a otro sistema de referencia. La energía cinética interna tiene carácter intrínseco y sólo puede ser nula cuando todas las velocidades internas sean nulas ( v’i =0), esto es, cuando todas las partículas tengan la misma velocidad que el centro de masas del sistema; entonces, el sistema está realizando un movimiento de traslación pura. Por eso, la parte de la energía cinética asociada al centro de masas recibe el nombre de energía de traslación:



N i 1

2 ii 2 C CM 2 mv' mv^1 2

E^1

En el caso de un sólido rígido, la energía  

N i 1

2 2 mi^ v'i

1 es la energía debida a la rotación

de todas las partículas en torno al centro de masas. Para la partícula i-ésima, esta energía podemos expresarla como:

2 2 ii 2 i i i Crot 2 mr'

mv' 2

E   

Haciendo la suma a todas las partículas:

2 CM

N 2 i 1

2 i i

N i 1

2 2 i i

N i 1

2 2 ii

N i 1

2 Crot i i 2 I mr'^1 2

mr'^1 2

mr'^1 2

mv'^1 2

E 1   

   

Así, la energía cinética nos queda:

2 CM

2 CM

N i 1

2 i i 2 C CM 2 I mv^1 2 mv'^1 2 mv^1 2

E  1     



El primer sumando corresponde a la energía cinética de traslación del centro de masas, mientras que el segundo corresponde a la energía cinética interna o de rotación de todas las partículas en torno al centro de masas.

3.2. Trabajo y potencia de un sistema en rotación

Consideremos a continuación un sólido rígido, con movimiento exclusivamente de rotación. En el tema correspondiente a trabajo y energía vimos ya que el trabajo realizado por una fuerza puede expresarse como:

TRASLACIÓN ROTACIÓN

Causa F /efecto a Causa M /efecto  Masa m Momento de inercia I  F =m a  M =I W (^) Fdr W (^)  Md

nv 22 v 12  2

W   I 22 21  2

W   

P=Fv P=M

3.3. Conservación de la energía en un sistema en rotación

Ya vimos en el tema correspondiente a sistemas de partículas que el trabajo total incluye dos términos, el trabajo de las fuerzas internas y el de las fuerzas externas, pero de acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas, ese trabajo se invierte en variar la energía cinética:

WTotal=Wint+Wext=EC

El trabajo de las fuerzas internas también habíamos visto ya que valía:

Wint  f 12 d r 1 d r 2   f 12 d r 1  r 2   f 12 d r 12

En el caso de un sólido rígido, la variación del vector de posición relativo sólo tiene lugar en la dirección perpendicular al mismo, ya que el módulo no cambia (condición de rigidez), sólo puede variar la dirección, por lo que el trabajo de las fuerzas internas es nulo:

W int^  (^)  f 12 d r 12  f 12 dr 12 cosf 12 dr 12 cos 90  0

Por lo tanto, en un sólido rígido sólo producen trabajo las fuerzas externas. De esta forma, el teorema de las fuerzas vivas en un sólido rígido nos queda:

WTotal=Wint+Wext=Wext=EC  Wext=EC

Si todas las fuerzas externas son conservativas, el trabajo puede ponerse como la variación de energía potencial cambiada de signo:

Wext=EC  - Uext=EC  EC+Uext= 0  (EC+Uext)= 0

Y puesto que la energía cinética y la potencial constituyen la energía mecánica total tenemos que la energía total se conserva:

(EC+Uext)=0  ETotal=EC+Uext=cte

Si no todas las fuerzas externas son conservativas, el trabajo lo podemos dividir en dos términos, el correspondiente a las fuerzas conservativas y el de las no conservativas:

Wext=Wext(c)+Wext(nc)

El de las fuerzas conservativas se puede poner como la variación de energía potencial cambiada de signo:

Wext=Wext(c)+Wext(nc)=-Uext+Wext(nc)

De forma que: Wext=-Uext+Wext(nc)=EC  Wext(nc)=EC+Uext=(ETotal)

El trabajo de las fuerzas no conservativas se emplea en variar la energía mecánica total

4. MOVIMIENTO DE RODADURA

4.1. Caso ideal (sin deformación en la rueda)

Vamos a estudiar el movimiento de rodadura, y empezaremos por el caso más sencillo, que es el caso ideal, en que la rueda rueda sin deslizar y no hay deformación de la misma. Como todo movimiento de un sólido rígido, este movimiento se puede poner como el movimiento de traslación del centro de masas más el movimiento interno, es decir, la rotación alrededor del centro de masas. Supongamos por comodidad que la rueda da una vuelta completa. Destacaremos en primer lugar que la condición de “rodar sin deslizar” impone unas determinadas relaciones cinemáticas entre el movimiento lineal y el movimiento angular del móvil. Cuando la rueda gira un ángulo 2, el centro de la misma experimenta un desplazamiento 2r, siendo r el radio del cilindro. Así, la velocidad de traslación del centro de la rueda (que coincide con el centro de masas) será:

t

2 r ti empoempleado

di stanci arecorri da v (^) OvCM ^ 

Al mismo tiempo, la rueda gira un ángulo 2, de modo que la velocidad angular será:

t

ti empoempleado

di s^ tanci aangularrecorri da 

Sustituyendo esto en la ecuación anterior llegamos a que:

r t

v^2 r O 

Y derivando esta expresión respecto del tiempo:

    r dt

d r r dt

d a dt

dv O O

De modo que:

2 O

2 2 2 O

2 2 2 22 O

2 C CM 2 I

mr 2

I

m r 2

mr 2

I

mv 2

E             

En un instante dado, el movimiento de la rueda equivale a una rotación pura cuya

energía cinética es C IO^2 2

E  . En el movimiento de rodadura, los efectos combinados de

la traslación del centro de masas y de la rotación en torno a un eje que pasa por él son equivalentes a una rotación pura, con la misma velocidad angular, alrededor del eje instantáneo de rotación.

El rozamiento por rodadura aparece cuando el cuerpo que rueda, o la superficie sobre la que rueda, o ambos a la vez, se deforman, aunque sólo sea ligeramente, a causa de las grandes presiones existentes en los puntos de contacto. Pensemos en el caso de un cilindro que se apoya sobre una superficie plana; todo el peso del cilindro gravita sobre una exigua superficie de contacto (una generatriz, desde un punto de vista estrictamente geométrico). Es fácil comprender que la presión en el contacto será tan grande que hasta un metal duro, como el acero, puede fluir plásticamente en esas condiciones. De ese modo, el cuerpo, la superficie que lo soporta o ambos, se deforman, aumentando el área de contacto hasta que la presión disminuye justamente por debajo de la que causaría el fluir del material. En resumen, al rodar un cuerpo real sobre una superficie real se producen unas deformaciones, como se muestra en la figura, de modo que el cuerpo tiene que “vencer” continuamente un pequeño obstáculo que se le presenta por delante y que se opone a su rodadura.

Consideremos el caso ideal de un sólido indeformable (un cilindro o una rueda, por ejemplo) que ruede sobre una superficie indeformable. Si la superficie es horizontal, las fuerzas que actúan sobre la rueda son el peso y la reacción normal al plano, y puesto que el cuerpo estaría en equilibrio, las dos reacciones son iguales y de sentido contrario. Si ahora aplicamos una fuerza F sobre el eje del cilindro, paralelamente al plano, y perpendicularmente al eje, la rueda comienza a moverse y tendremos lo que aparece en la figura. Podemos ver que para que se produzca rodadura necesariamente ha de haber una fuerza de rozamiento. Además, si no hay deslizamiento, tendremos que tener en cuenta, tal como vimos en mecánica de la partícula, que dicha fuerza de rozamiento es inferior a su valor máximo FrμeN. A continuación, para estudiar el sólido tendremos que trasladar todas las fuerzas al centro de masas, de modo que en él sumaremos y restaremos Fr y N. El par de fuerzas debido a la reacción normal es nulo, ya que N y – N están aplicadas sobre la misma recta de acción. Además, la normal y el peso son iguales puesto que la rueda no se desplaza en dirección vertical. Nos queda por tanto sólo el momento proporcionado por la fuerza de rozamiento, y una resultante aplicada en el centro de masas que tiene que ser horizontal. El sistema por tanto es equivalente al que aparece

en la figura. Aplicando la segunda ley de Newton:

FX=m(aCM)X  F-Fr=maCM FY=m(aCM)Y  N-mg= MCM=ICM  Frr=ICM

Además, por la condición de rodadura:

aO=aCM=r

Si la rueda se mueve con velocidad lineal constante tendremos que:

vCM=0  aCM=0  =

Así, en las ecuaciones anteriores tendremos que:

Frr=ICM  Frr=0  Fr= F-Fr=maCM  F=

Para que la rueda se mueva con velocidad constante tiene que ocurrir que tanto la fuerza externa como la fuerza de rozamiento sean nulas, lo que puede ser análogo a la ley de la inercia de la traslación.

En una situación más realista, donde haya fuerza de rozamiento y por tanto aceleración angular, tendremos que:

Frr=ICM

Aun cuando hay fuerza de rozamiento, en la situación ideal ésta no disipa energía, es decir, su trabajo es nulo, ya que está aplicada en el punto de contacto con el suelo, que es un punto con velocidad nula. Por tanto en una rodadura ideal la fuerza de rozamiento no disipa energía. Además, el módulo de la fuerza de rozamiento debe obtenerse a partir de las ecuaciones del movimiento, ya que al no haber deslizamiento no toma el valor μN.

4.2. Caso real (con deformación en la rueda)

En las situaciones reales los cuerpos se deforman, por poco que sea. El contacto no se realiza entonces a lo largo de una generatriz, sino a lo largo de una estrecha banda, como se muestra en la figura. Ello da lugar a que aparezcan reacciones en los apoyos, reacciones que dan lugar a un par que se opone a la rodadura.

Con la finalidad de simplificar el problema, podemos imaginar que en cada momento el cilindro o rueda debe pivotar sobre la generatriz que pasa por