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Solucion Nicholson 3,4,5 - JMQC
Tipo: Ejercicios
1 / 54
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Pablo, que cursa el tercer año de primaria, almuerza en el colegio todos los días. Sólo le gustan los pastelillos
Twinki (t) y las bebidas de sabores (s), que le proporcionan una utilidad de
utilidad=u
t , s
√ ts
a. Si los pastelillos cuestan $0.10 cada uno y la bebida $0.25 por vaso, ¿Pablo cómo debe gastar el dólar que
le da su madre para maximizar su utilidad?
m=1.00=( 0.10) t+ ( 0.25) s
Aplicamos Lagrange:
√ ts+ λ( 1 −0.10t−0.25 s)
Aplicando derivadas parciales:
∂ t
2 √
s
t
−λ( 0.10)= 0 …
i
∂ s
2 √
t
s
−λ( 0.25)= 0 …
ii
∂ λ
= 1 −0.10 t−0.25 s= 0 … ( iii )
Despejando λ , e igualando las ecuaciones (i) y (ii):
√ s
√t
√ t
√s
Resolviendo:
s
t
→t=2.5 s
Reemplazamos el valor de t en (iii):
1 −0.10(2.5 s)−0.25 s= 0
s= 2 → t=2.5 ( 2 )= 5
La canasta óptima de Pablo con 1 dólar, vendría a ser cuando: s= 2 ; t= 5
b. Si el colegio trata de que los niños no consuman Twinkies y aumenta su precio a $0.40,
¿cuánto dinero más tendrá la madre que darle a Pablo para que conserve el mismo nivel de utilidad que tenía
en el inciso a?
Sabiendo qué: s= 2 ; t= 5 → u= √
√
; m=( 0.40 ) t +( 0.25) s
Se tiene la nueva relación de, cuando el precio de los Twinkies es de 0.40:
√ s
4 √t
√ t
√s
t
s
→ t=
5 s
Reemplazamos t en: √
√ ts → 10 =ts
(
5 s
)
s
s= 4 → t =
Reemplazamos en:
m=( 0.40 ) (2.5)+ ( 0.25) ( 4 )
m= 2
La mamá de pablo debe darle 2 dólares, para que este pueda mantener su misma utilidad, a pesar del
incremento en el precio de los Twinkies.
b. Cuando acude a la vinatería, el joven enólogo descubre que el precio del Bordeaux francés ha disminuido a
$10 la botella debido a que el valor del franco francés ha disminuido también. Si el precio del vino californiano
permanece estable a $4 por botella, ¿nuestro amigo cuántas botellas de cada vino debe comprar para
maximizar su utilidad en estas nuevas condiciones?
Sabiendo que la R.P. sería, tras el cambio:
( w f
)
Obteniendo la siguiente relación:
w f
− 1 / 3
w c
1 / 3
w f
2 / 3
w c
− 2 / 3
Se obtiene la relación de:
w c
w f
5 k
4 k
Reemplazamos en la R.P.:
300 = 10 ( 4 k )+ 4 ( 5 k ) → k= 5
Entonces como k=5, se obtiene la nueva canasta optima con: w f
= 20 ;w c
El consumo del vino francés incrementa en 10 unidades, comprando ahora 20 botellas de este vino. Por otro
lado, el consumo del vino californiano se mantiene dado que no hubo variación.
c. Explique por qué este amante de los vinos está en mejor posición en el inciso b que en el inciso a. ¿Usted
cómo asignaría un valor monetario a este incremento de su utilidad?
a. Una noche, J.P. decide consumir cigarros (c) y brandy (b) siguiendo la función
U ( c , b)= 20 c−c
2
2
¿Cuántos cigarros y copas de brandy consume esa noche? (Su costo no es obstáculo para J.P.)
Entonces no tiene Restricción Presupuestaria, por lo tanto, es cero, aplicando Lagrange:
L : 20 c −c
2
2
Aplicando derivadas parciales:
∂ c
= 20 − 2 c= 0 … ( i)
∂b
= 18 − 6 b= 0 … ( ii)
Obteniendo lo valores de: c=10 ^ b=
b. Sin embargo, recientemente, los médicos han aconsejado a J.P. que limite a 5 su consumo de cigarros y
brandy. ¿Cuántas copas de brandy y cuántos cigarros consumirán en estas nuevas circunstancias?
Por lo tanto: brandy + cigarros=
c , b
= 20 c−c
2
2
Usando Lagrange:
L : 20 c −c
2
2
+λ [ 5 −c−b ]
Aplicando derivadas parciales:
∂ c
= 20 − 2 c−λ= 0 … ( i)
∂b
= 18 − 6 b−λ= 0 … ( ii)
∂ λ
= 5 −c−b= 0 …( iii )
Despejando λ , e igualando las ecuaciones (i) y (ii):
20 − 2 c= 18 − 6 b
c= 1 + 3 b
Reemplazando en la nueva RP: 5 = 1 + 3 b+b
b= 1 → c= 4
JP estaría consumiendo 1 baso de brandy y 4 cigarros.
b. Dibuje la curva de indiferencia del Sr. B y su punto de tangencia dada la restricción de su presupuesto.
¿Qué dice la gráfica sobre el comportamiento del Sr. B? ¿Ha encontrado usted un auténtico máximo?
No vendría a ser un máximo dado que la curva o la función de utilidad pertenece a una
circunferencia, lo cual implica qué no es un comportamiento normal de una curva de indiferencia
dado que la TMS al ver la gráfica es decreciente.
Bueno, podemos decir que encontramos un mínimo, vendría a ser máxima si el sujeto, consumiría
todo de un solo bien.
El Sr. A obtiene utilidad de los martinis (m) en función de la cantidad que bebe:
U ( m)=m
Sin embargo, el Sr. A es muy quisquilloso con sus martinis: sólo le gustan los preparados con una proporción
exacta de dos partes de ginebra (g) y una de vermouth (v). Por tanto, podemos volver a escribir la función de
utilidad del Sr. A como
U ( m)=U ( g , v )=mín(
g
, v )
a. Dibuje la curva de indiferencia del Sr. A en términos de g y v para diversos niveles de utilidad. Muestre que,
independientemente de los precios de los dos ingredientes, el Sr. A nunca alterará la forma en que mezcla los
martinis.
g=2v
g
v
22
b. Calcule las funciones de demanda de g y v.
Ya que: g=2v, asumiendo la RP:
2 p g
v + p v
v =m
v=
m
2 p g
Reemplazamos en g:
g= 2
(
m
2 p g
)
c. Partiendo de los resultados del inciso b, ¿cuál es la función de utilidad indirecta del Sr. A?
Como la utilidad es:
g
≡U=v
Entonces la utilidad indirecta es:
m
2 p g
d. Calcule la función gasto del Sr. A y, para cada nivel de utilidad, muestre el gasto como una función de p g y
p v .
Pista: Dado que este problema implica una función de utilidad de proporciones fijas, usted no podrá utilizar el
cálculo para resolver las decisiones que maximizan la utilidad
Entonces:
Como la función de ingresos es igual a la ecuación de gastos:
2 p g
v + p v
v =m=c
Si: z=0.
U ( x , y , x) =x
y
Usamos Lagrange:
L : x
y
Aplicando derivadas parciales:
∂ x
=0.5 x
−0.
y
(1.09)−λ 0.25= 0 … (i)
∂ y
=0.5 x
y
−0.
(1.09)−λ= 0 … ( ii)
Despejando λ , e igualando las ecuaciones (i) y (ii):
√ y
√ x
√ x
√ y
x
y
→ x= 4 y
Reemplazamos en la RP:
2 =0.25( 4 y)+ y +(0.2)( 2 )
2 = 2 y +0.
y=0.8→ x=3.
U ( x , y , x) =(3.2)
b. ¿Usted cómo explicaría el hecho de que z = 0 es un óptimo en este caso?
Se demostró que la utilidad es mayor cuando se consume más del bien X e Y, y se deja de consumir Z.
El consumidor aumentaría su utilidad si dejara de consumir cuanto más Z.
c. ¿Los ingresos de este individuo qué tan altos deben ser para que pueda comprar una cantidad z
cualquiera?
Como se vio cuando Z=1, estaría gastando toda su renta, por lo tanto, para que pueda comprar cualquier
cantidad de Z de cumplir qué: I>( z × p z
En el ejemplo 4.1 vimos la función de utilidad Cobb-Douglas U
x , y
=x
α
y
1 −α
donde 0 ≤ α ≤ 1.
Este problema ilustra unos cuantos atributos más de esa función.
a.Calcule la función de utilidad indirecta para este caso Cobb-Douglas.
u
x ; y
=x
α
y
1 −α
; m= ( p 1
x + p 2
y )
Para hallar las canastas Marshallianas, aplicamos Lagrange:
L : x
α
y
1 −α
x +p 2
y )
Aplicando derivadas parciales:
∂ x 1
=(α x
α − 1
y
1 −α
)−λ p 1
= 0 … ( i)
∂ x 2
=( 1 −α ) x
α
y
−α
−λ p 2
= 0 … ( ii)
∂ λ
=m−p 1
x− p 2
y= 0 … ( iii )
Despejando λ , e igualando las ecuaciones (i) y (ii):
α x
α − 1
y
1 −α
p 1
( 1 −α )x
α
y
−α
p 2
Despejando x:
x=
p 2
α y
p 1
( 1 −α )
…(iv)
Reemplazando x en la ecuación (iii):
m− p 1
(
p 2
α y
p 1
( 1 −α)
)
− p 2
y= 0
Despejando y:
y=
m( 1 −α)
p 2
…( v )
Reemplazamos (v) en (iv):
x=
p 2
α
(
m( 1 −α)
p 2
)
p 1
( 1 −α )
mα
p 1
x=
p 2
y α
p 1
( 1 −α )
…(iv)
Reemplazamos x 1 en U:
p 2
y α
p 1
( 1 −α )
α
y
1 −α
Despejando x 2 , después de resolver U:
y=
p 1
( 1 −α )
α p 2
α
…( v )… demanda Hicksianadel bien y
Reemplazamos (v) en (iv):
x=
p 2
p 1
( 1 −α)
α p 2
α
α
p 1
( 1 −α)
x=
p 2
p 1
α
1 −α
1 −α
… ( vi) … demanda Hicksianadel bien x
Sabiendo qué:
m= (
p 1
x+ p 2
y )
Y las demandas hicksianas son:
y=
p 1
( 1 −α)
α p 2
α
x=
p 2
p 1
α
( 1 −α)
1 −α
Reemplazamos en la función de costo:
c=
p 1
p 2
p 1
α
( 1 −α )
1 −α
p 1
( 1 −α )
α p 2
α
c=
p 1
α
p 2
1 −α
α
α
( 1 −α )
1 −α
Si: α =0.
c=
(
p 1
p 2
)
(
p 1
p 2
)
c. Demuestre, explícitamente, la forma en que la compensación requerida para equilibrar el efecto de
un aumento del precio de x está relacionada con el tamaño del exponenteα.
c. Utilice la ecuación 4.52 de nueva cuenta para calcular el grado en que el gobierno debe subsidiar el bien x
para incrementar la utilidad de esta persona de U=2 a U= 3. ¿Cuánto le costaría este subsidio al gobierno?
¿Compare este costo con el costo que calculó en el inciso b?
La demanda ordinaria o marshallianas:
x=
m
2 p x
; y=
m
2 p y
Inicia con U = 2 :
x p x
=m
x=
= 4 ; y=
Finaliza con U = 3 :
x=
2 ( p x
x , y
=x
y
3 =x
x= 9
p x
(
)
1 =subsidio
2.666=subsidio
d. El problema 4.7 le pide que compare una función gasto para una función de utilidad Cobb-Douglas
más general que la utilizada en el ejemplo 4.4. Utilice esa función gasto para contestar, de nueva cuenta, los
incisos b y c en el caso donde α =0.3; es decir, una cifra cercana a la fracción de los ingresos que las
personas de bajos ingresos gastan en alimentos.
Función de utilidad y gasto (4.7):
U ( x , y )=x
α
y
1 −α
;c=
x
α
y
1 −α
α
α
1 −α
1 −α
Función de utilidad (4.4):
U ( x , y )= √ x
2
2
(b)
Función de gasto:
c=
p x
α
p y
1 −α
α
α
( 1 −α)
1 −α
Cuando α=0.
c=
p x
α
p y
1 −α
α
α
( 1 −α )
1 −α
c=
U .0 .5428. p x
p y
p x
p y
0
1
Reemplazando:
c=
x
y
c
p ,U
c ( p ,U )=1.
c ( p ,U )=3.0 .5428. ( 4 )
c ( p ,U )=2.
(c)
La demanda ordinaria:
αm
p x
m
p x
( 1 −α) m
p y
m
p x
Inicia con U = 2 :
x p x
=m
x=
=2.4 ; y=
Finaliza con U = 3 :
