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Soluciones Ejercicios Nicholson (Novena Edición)
Cap. 4: Maximización de Utilidad
Marcelo Caffera
4.1 a.
= 100 10T 25S= 0
L
Las primeras dos ecuaciones implican:
= S= T
T
S
Por lo tanto:
1,00 = 0,10T + 0,25*0,4T = 0,2T
T = 5 S = 2
Utilidad = 10
b. Utilidad = 10 o TS = 10 y en el óptimo TMS = = =
T
S
S
T =
Sustituyendo en la curva de indiferencia U = 10 = TS
S
2
S
2
= 16 S = 4 T = 2.
El costo de esta canasta es 0,25(4) + 0,40(2.5) = 2,00.
Pablo necesita un peso más.
4.2 Simplificando la notación: I= 300 F C
U (F,C)=
2/3 1/
a.
C= 300 20F+4C= 300
P
F+
P F C
L
=
2/3 1/
2 / 3
1 / 3
F C
C
L
C F
F
L
Por lo tanto,
2C= 5F
F
C
Restricción presupuestaria:
20 F + 4C = 300
Sustituyendo
30 F = 300,
F = 10, C = 25.
b. Nueva restricción:
10 F + 4C = 300
5/2 = 2C/F
4C=5F
10 F + 5F = 300
F = 20, C = 25
b. Restricción: B + C = 5
L = 20C C
2
+ 18B - 3B
2
= 20 2C = 0
C
L
= 18 6B = 0
B
L
=B+C 5 = 0
L
20 - 2C = 18 - 6B
C = 3B + 1
B + 3B + 1 = 5
B = 1, C = 4, U = 79
4.4 U(X, Y) =
Y
X
2 2
Restricción presupuestaria: 50 - 3X - 4Y =
Maximizando U
2
en lugar de max U.
a. L = X
2
+ Y
2
=2X 3 = 0 = X
X
L
=2Y 4 = 0 = Y
Y
L
=3X+4Y 50,
L
3 X + 4(4/3X) =50 X = 6, Y = 8 U = 10
b. Este no es un máximo local porque las curves de indiferencia no tienen RMS
decreciente. Por lo tanto, las condiciones necesarias no son suficientes para un
máximo.
4.5 U(M) = U(G, V) = min
,V
G
a. Sin importar los precios relativos (i.e., la pendiente de la restricción
presupuestaria) la intersección entre curvas de indiferencia y la restricción
presupuestaria que maximiza la utilidad siempre va a estar en el vértice de las
curvas de indiferencia, donde G = 2V.
b. Como G = 2V y P G
G + P
V
V = I, tenemos
2 P
G
V + P
V
V = I o
P
P
I
V =
G V
L Y
X
X
L X
Y
Y
De estas dos condiciones de primer orden sale que
Y
X Y
X
Sustituyendo en la restricción presupuestaria
Y Y
Y
Y
Y sustituyendo X* = 0,9/0,25 = 3,
El valor de U en esta canasta es U = (3.6)
.
.
.
= 1.89, menor que 2, lo
que se alcanza con la canasta (4,1,0).
Podemos repetir el análisis para un valor superior de Z, por ejemplo Z = 1.
Si lo hacemos llegaremos a que X = Y = 0, ya que el individuo gasta todo su
ingreso (I=2) consumiendo una unidad de Z a un P Z
= 2. Por lo que U* = 0.
Concluimos que cuanto mayor Z menor el nivel de utilidad máximo que puede
alcanzar el individuo y por ende éste va a elegir Z = 0 y maximizar en (X,Y).
Pueden llegar a la misma conclusión maximizando U(X,Y,Z) con respecto a la
restricción presupuestaria. Van a llegar a que en Z* es negativo. Si el Z* nos da negativo,
cuando le ponemos la restricción de que no podemos consumir un Z < 0, el Z óptimo va a
ser necesariamente Z = 0.
b. Aun cuando X = 4, Y = 1, Z =0 no se llega a igualar:
X X Y Y
UM /P = UM /P = 1 ,
mientras que
Z Z
UM /P = 1/2. El consumidor podría incrementar sus utilidad si dejara de
consumir de Z y consumiera más de X e Y. El tema es que ya no puede dejar de consumir
más de Z porque Z = 0, por lo que debe parar allí.
c. Como U es una Cobb-Douglas, el individuo gasta cantidades iguales en X, Y y
(1+Z). O sea:
P X PY P( 1 Z )
X Y Z
Sustituyendo esto en la restricción presupuestaria obtenemos:
2 (1 ) 3 2
Z Z Z Z
P Z P Z I o P Z I P
Por lo tanto, para que Z > 0 debe cumplirse que I > 2P Z
. En este caso I > 4.
Otra forma de hacerlo es calculando Z* en función de I a través del método de
Lagrange, y viendo que valor debe alcanzar I para que Z* sea positivo.
EJERCICIO 4.
Para el caso de una función de utilidad Cobb-Douglas 𝑼(𝒙, 𝒚) = 𝒙
𝜶
𝟏ି 𝜶
, donde 𝟎 ≤ 𝜶 ≤1.
(a) Calcule la función de utilidad indirecta.
(b) Calcule la función de gasto.
(c) Demuestre la forma en que la compensación requerida para equilibrar el efecto de
un aumento del precio de x está relacionado con el tamaño del exponente 𝜶.
EJERCICIO 4.8 – NOVENA EDICIÓN
a. Utilice un gráfico para demostrar el caso general en que un individuo está mejor en
el caso que recibe un subsidio a los ingresos (dinero en su bolsillo de parte del
gobierno) que en el caso en el cual el gobierno le subsidia el precio del bien x, y el
gobierno gasta lo mismo en ambos casos.
b. Derive (haga todas las cuentas para obtener) la función de gasto de una función de
utilidad Cobb-Douglas con α=β=0,5.
c. Suponga que por alguna razón un gobierno quiere aumentar la utilidad de una
persona cuyas preferencias vienen representadas por esta función de utilidad de
U=2 a U=3.
i. Si 𝒑
𝒙
𝒚
= 𝟒, ¿cuánto dinero le cuesta al gobierno lograr este objetivo si
el instrumento es un subsidio a los ingresos?
ii. ¿Cuánto le costaría al gobierno lograr el mismo objetivo (aumentar la
utilidad del individuo de U=2 a U=3) con un subsidio al precio de x?
(e) ¿Cómo cambian los resultados anteriores si en vez de una función de utilidad Cobb-
Douglas con α=β=0,5 el individuo consumiera x e y en proporciones fijas?
a. En la gráfica de abajo, la restricción presupuestaria inicial es I. Sin ningún tipo de
subsidios, el individuo elige la canasta
Los puntos intermedios parecen una variación del viejo 4.8:
Ejercicio 4.
El principio de suma única ilustrado en la figura 4.5 se puede aplicar tanto a impuestos
como a subsidios.
a. Utilice una gráfica similar a la figura 4.5 para demostrar que una dotación de
ingresos (un subsidio a los ingresos) a una persona proporciona más utilidad que un
subsidio al bien x, que le cuesta la misma cantidad de dinero al gobierno.
En el gráfico de abajo, el individuo se halla originalmente en al punto A. Su ingreso es 𝐼
ଵ
y consume la canasta
ଵ
ଵ
. Un subsidio a los ingresos lo pone en un punto como B (el
sujeto tiene un aumento de 𝐼
ଵ
a 𝐼
ଷ
). Un subsidio al precio de x le rota la restricción
presupuestaria a 𝐼
ଶ
. En esta situación, el individuo se ubica en el punto C. El punto C
está sobre la recta 𝐼
ଷ
, por lo que en C el individuo gasta lo mismo que en B. Si gasta lo
mismo en C que en B, el ingreso después del subsidio es igual en ambos casos (el
programa de subsidiar ingreso le sale la misma cantidad de plata al gobierno que el
programa de subsidiar x). Pero claramente, el individuo prefiere un subsidio al ingreso.
Con este subsidio alcanza un nivel de utilidad 𝑈
ଷ
, mientras que con el subisidio a x alnza
ଶ
y 𝑈
ଶ
ଷ
Ver Ejemplo 4.5 del libro:
Transferencia de renta: U = 2 5, E = 2 50,. Transferencia = 0,
Subvención del costo de Y: E = 2 y resuelvo para P Y
0,
2 2 5
Y X
= [E/2 U = [2/2 (2 5)( 5)
] ]
P P
2
Con P Y
= 0, 64 , Y = 2/2(0,64) = 1,
Subsidio = 0,36 *1,56 = 0,56 el cuál es $0,06 superior a la transferencia de
ingreso de $0,5.
Y
X
U 1
U 3
𝑥 ଵ
𝑦 ଵ
𝐴
𝐼 ଵ
𝑥 ଷ
𝑦 ଷ
𝐵
𝐼 ଷ
𝐼
ଶ
𝐶
𝑈 ଶ
0, 0,
X Y
Con = 0, 25, = 1, U = 2, E = 2 P P
5 5
X Y
E = 2U. P P
b.
Subsidiar las compras del bien Y corre el punto de maximización de utilidad a X 1 ,
Y
1
y aumenta la utilidad a U 2
. Una transferencia de ingreso de suma-fija corre la
restricción presupuestaria a I=2,5 e incrementa la utilidad a U 3
. U
3
> U
2
Transferencia de Ingreso de $0,
Subsidio de Y de $0,36 por unidad: para que el individuo alcance U
el estado se tiene que gastar $0,56. Si gasta $0,5 lo deja en U2.
Y
X
I = 2
1
4
8
2
10
I = 2,
5
1,
2,
U 1
U
3
Y
X
I = 2
1
4
8
I con Py = 0,
U
1
U 3
U
2
ఈ
ఉ
௫
௫
௬
Por lo que las soluciones (funciones de demanda) son:
P
P X
(I
(X X =
X
X 0
0
P
P X
(I
Y =
Y
X 0
El gasto total en cada uno de los bienes será entonces:
) P X
(X X = (I P X X 0
0
௫
௫
௫
௫
௫
௫
P
P X
(I
Y =
Y
X 0
b.
De la parte a sale que:
I
P X
I
X
P
X X 0
, por lo que
2
I
P X
I
I
X
P
X 0
X
I
P X
I
Y
P Y X 0
, por lo que
2
I
P X
I
I
Y
P
X 0
Y
