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TEMA 3. PROBABILIDAD
Teoría de probabilidades
La probabilidad de un suceso es una medida de su expectación (de como es de posible que algo se cumpla). Tiene un rango de 0 a 1→ de “no ocurre” a “ocurre con total seguridad”. La suma de todas las probabilidades es 1. Ejemplo : la probabilidad de que salga cara es 0,5 y de que salga cruz es 0,5; la total será 1.
Definición empírica: el número fijo al que tiende la frecuencia relativa al aumentar el número de pruebas.
Si el estudio es de suficiente magnitud, los valores de probabilidad en la muestra coincidirán con los de la población. Ej : cuantas más veces repitamos el experimento de lanzar una moneda, más podemos acercarnos al 0,5 de probabilidad de cara y cruz.
Definición clásica: casos favorables entre casos posibles. Inconvenientes: se necesitan conocer todos los resultados posibles (cuántos casos son posibles) y todos deben tener la misma probabilidad de ocurrir. Es muy difícil en el conjunto del universo.
Sucesos- terminología
- Experimento aleatorio: aquél al que no se le puede predecir su resultado. Ej : el estudio de la eficacia de un fármaco. En cambio, que lance un lápiz al suelo no es aleatorio sino determinista porque sé qué sucederá. - Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles (Ω). - Suceso: cualquier subconjunto de Ω: A, B, C, etc. - Suceso complementario o contrario: al formado por los elementos que no están en A→ Ā (misma letra que el suceso pero con una raya encima). Ej : si A es hombre, Ā es no-hombre. Suceso unión de A y B
Suceso intersección de A y B
Suceso diferencia entre A y B
A quitando el trozo de B, es decir quitar todo B más la intersección de A
Terminología de probabilidad
- Sucesos compatibles: realización simultánea es posible. Ej : ser mujer y tener cáncer de mama. - Sucesos incompatibles o mutualmente excluyentes: es imposible que se den los dos eventos a la vez. Ej : ser mujer y tener cáncer de próstata. Si se realiza A, no se realiza B. La intersección de ellos es 0 (A ∩B = φ).
La unión entre A y el complementario de A es todo el universo. Ej : la unión de ser hombre y no serlo es toda la humanidad.
La intersección de un suceso A y no-A es 0. Ej : la intersección de estar enfermo y no estarlo es 0.
Leyes de Morgan
El complementario de la unión es la intersección de los complementarios. Ej : si la unión es estar en A o en B, el resto es no estar en A y en B.
El complementario de la intersección es la unión de los complementarios. El no estar en la intersección es la unión de no ser A o no ser B. Ej : si la intersección es hombre que no tiene dolor de cabeza porque se ha tomado una pastilla, el resto es no serlo (naranja).
El complementario del complementario es él mismo.
Definición axiomática
Que no tiene demostración.
1. P(A) ≥ 0 → Para todo suceso que ocurre en el universo su probabilidad ha de ser
igual o mayor que 0. No hay probabilidad negativa.
2. Si A y B son mutuamente excluyentes: P (A∪B) = P(A)+ P(B) → La probabilidad
de la unión de A y B es igual a la suma de sus probabilidades individuales.
3. P (Ω) = 1 → La probabilidad total es 1. Estas en el universo si o si.
Teoremas:
La P del complementario es 1 menos de la P de lo que estoy buscando. Ej : si en esta clase hay el 95% de mujeres significa que hay un 5% de hombres (1- proporción de mujeres= proporción de hombres). La probabilidad de nada es 0. Generalización del axioma 2: la P de la unión de A y B es la suma de sus P menos la P de la intersección. Sino sumaré 2 veces la P de A y B. La P de la resta de A y B es la P de la intersección de A con el complementario de B. E igual a la P de A menos la P de la intersección de A y B. La P de la intersección de los complementarios es igual a la P del complementario de la unión. Es igual a 1 menos la P de la unión. La P de la unión de los complementarios es la P del complementario de la intersección. Ej : unir el no estar en A y no estar en B= todo menos estar en A y B a la vez.
que tome) y la que se debe a que me he tomado el fármaco B es 0,4 quiere decir que el tratamiento B no es eficaz porque la curación es independiente de la toma del fármaco.
Ej : La probabilidad de que se me quite el dolor de cabeza viene condicionada por el hecho de que tome el fármaco B.
- Si la probabilidad de A condicionada por B es mayor que la de A, la ocurrencia del suceso B favorece al suceso A. Ej : la toma del medicamento hace que se me tome el medicamento.
- La aparición del suceso B desfavorece al suceso A. Ej : si es menor, tomar el medicamento B me va a hacer un perjuicio.
Si son independientes, la probabilidad de la intersección es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B.
Propiedades: si A y B son independientes, también lo son:
Compatibilidad- Incompatibilidad .vs. Dependencia- Independencia
Dados dos sucesos A y B, con P(A) y P(B) ≠ 0:
Incompatibilidad ➪ Dependencia Independencia ➪ Compatibilidad La probabilidad de que suceda un evento viene determinada por el hecho de que suceda otro.
P(A) ≠ P(A|B)
P(A) ≠ 0
P(A|B) = 0
P(A∩B) = P(A)⋅P(B) ⇒ P(A∩B) ≠ 0, si P(A) y P(B) ≠ 0 La P de la intersección no será 0 si las probabilidades de A y B son distintas de 0. Los dos sucesos se pueden dar al mismo tiempo.
Compatibilidad Dependencia P(A∩B) = P(A)⋅P(B|A) La probabilidad de la interesección és la probabilidad de A por la P de B condicionado por A. Independencia si P(A∩B) = P(A)⋅P(B)
Dependencia si P(A∩B) ≠ P(A)⋅P (B) Como hay dependencia, al multiplicar las probabilidades será diferente a la P de la intersección.
Incompatibilidad si P(B|A) = Porque la probabilidad de la intersección es 0, serán sucesos separados.
Compatibilidad si P(B|A) ≠ 0 Porque la probabilidad de la intersección es diferente de 0, existe intersección.
- Resto equivale al caso general.
- Independientes : P(cab/ibuprofeno)= 0,4 y P(cabeza)=0,4 son independientes porque que se me quite el dolor de cabeza no depende de que me tome o no ibuprofeno. Por ello P(condicionada)= P(A). Con la unión puedes tener dos casos juntos, puede existir intersección.
- Compatibles : la P(condicionada) y de la intersección es 0 porque no hay intersección. La P de la unión es igual a la suma de P porque no tengo la necesidad de restar la intersección ya que no existe tal. - Ejemplo: 20 pacientes oncológicos enrolados en un ensayo clínico en los que se someten (diseño 1:1) a un nuevo tratamiento (Exp) y se compara la supervivencia con el tratamiento estándar (Ctrl)
El Tto. Exp no es diferente de Ctrl
El Tto. Exp es diferente de Ctrl
A partir de esto podemos calcular la P (muerto y experimental), P (muerto), la P(…) y algunas probabilidades condicionales. Puedo ver si el estudio muestra resultados interesantes.
Teorema de Bayes
Aplicación de la probabilidad condicionada a las pruebas diagnósticas.
Sustituyo B por enfermo y A por dar positivo en una prueba diagnóstica. Se puede nombrar al revés. La P de tener una enfermedad (E) es igual a la P de estar E y haber dado positivo entre la P de haber dado positivo.
La probabilidad de estar enfermo y de no estarlo es igual a 1, el total.
La P de + y E (estás enfermo y das positivo). Es igual a la P de haber dado + por la probabilidad de E dado +. A su vez es igual a la P de E por la P de + dado E. La P + condicionada por E es igual a la P de + dado E por la P de E entre la P de que la prueba dé +.
La P de dar positivo es la suma de la P de color amarillo por la de color calabaza. La probabilidad de que la prueba de + será la suma de los verdaderos positivos más los falsos positivos. Estos dos sucesos son incompatibles: o estás E y das + o no estás E y das +, por tanto, la probabilidad de la unión es la suma de probabilidades (porque no hay intersección). La P de la intersección se puede desarrollar como la P de E por la E de enfermo dado + y como la P de no E por la de no enfermo dado +. No se puede calcular la P de +, por tanto, sustituímos valores (cuadro azul). La P de E dado + muestra la fiabilidad del test diagnóstico, la
Ej: la prevalencia de la enfermedad de gripe en España en verano es baja, por lo tanto que una persona presente tos y estornudos, malestar general, escalofríos, congestión... no es suficiente prueba para diagnosticar gripe, tendría un resfriado.
Capacidad de predicción del test diagnóstico
Probabilidad de que un individuo con resultado POSITIVO esté enfermo
Probabilidad de que un individuo con resultado NEGATIVO esté sano
Valores predictivos y prevalencia
Caracterización de una técnica de inmuno ensayo de enlaces de enzimas (IEE) para detectar anticuerpos HIV. Escogemos 100000 sujetos al azar. Les pasamos la prueba del HIV mediante la técnica IEE. Confirmamos el diagnóstico mediante un test de referencia, según la presencia o ausencia de anticuerpos
Hay un número elevado de falsos positivos (1000) porque se ha aplicado a una población en general. Se debe a que el valor predictivo es bajo. Tendría que aplicarse en poblaciones en las que hay un riesgo basal alto de tener probabilidad de estar enfermo.
Vemos que aplicando la misma prueba a una población con elevada probabilidad de tener sida (elevada prevalencia de la enfermedad en la población) y aunque tenemos los mismos valores de sensibilidad y especificidad podemos fiarnos más de ella dado que hay menores falsos positivos y VPP y VPN son elevados.
También se comprueba observando en la fórmula del teorema de Bayes: si P(E) está alrededor de 1, la P de E dado + es elevada. Los valores predictivos VPP y VPN dependen de la PREVALENCIA de la enfermedad. VPP y VPN sólo pueden calcularse sobre muestras cuyos individuos hayan sido escogidos al azar SOBRE LA POBLACIÓN DIANA.
La sensibilidad y la especificidad son características que definen a la prueba diagnóstica.
- No varían y son independientes de la población diana de nuestro estudio
- Los Valores Predictivos nos permiten estimar la capacidad diagnóstica.
- Depende de la prevalencia de la enfermedad. Con baja prevalencia aumentará la proporción de falsos
- La validez de la capacidad diagnóstica dependerá del diseño del estudio, ¿en qué manera?
Aplicaciones de la probabilidad al estudio del riesgo
Se denomina riesgo a la probabilidad de ocurrencia de un suceso, típicamente enfermar (aunque también morir, curar, etc…) como consecuencia de la exposición o efecto de un factor dado.
- Estudios prospectivos (futuro): Riesgo Relativo- RR
- Estudios retrospectivos (pasado) -transversales: Odds Ratio- OR
Riesgo relativo
Aumento relativo de la probabilidad de presentar la enfermedad en función de la exposición al factor de riesgo
Estudios de cohortes:
- Se extraen dos muestras sin enfermedad (o en las que no haya sucedido el evento), una expuesta al factor de riesgo y otra sin tal exposición.
- Se estudia la evolución de dicha enfermedad.
RR >
El individuo expuesto al factor de riesgo tiene mayor probabilidad de contraer la enfermedad ≡ FACTOR DE RIESGO RR=1 No existe asociación entre factor de riesgo y enfermedad RR < 1
El individuo expuesto al factor es menos probable que desarrolle la enfermedad ≡ FACTOR PROTECTOR
Odds Ratio
Indica cuanto más probable es la ocurrencia de un evento (enfermedad) que su no ocurrencia.
Estudio de casos- controles:
- Los sujetos son seleccionados en función de que tengan (casos) o no tengan (controles) una determinada enfermedad.
- Se investiga si anteriormente estuvieron expuestos a riesgo o no.
- Se compara la proporción de expuestos en el grupo de casos frente al grupo de controles: a/(a+b) vs b/(a+b)
- Se compara la proporción de NO expuestos en el grupo de casos frente al grupo de controles: c/(c+d) vs d/(c+d)
OR > La presencia del factor se asocia a una mayor ocurrencia de
