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Tipo: Ejercicios
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¡No te pierdas las partes importantes!
1 .- Resolver uno de los siguientes sistemas de ecuaciones: {
Despejamos y en la segunda ecuación: 2x - y = 0 y = 2x Sustituimos este valor de y en la primera ecuación: 5x - 6(2x) = 3 5x - 12x = 3
Despejamos y en la segunda ecuación:
2.- Una recta de pendiente - 2 pasa por el punto (7, 2) y por los puntos A y B. si la ordenada de A es 6 y la abscisa de B es 3. Hallar la abscisa de A y la ordenada de B. Primero encontramos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (7,2) y A con pendiente - 2. Usamos la fórmula de la recta: y - y1 = m (x - x1) donde m es la pendiente y (x1, y1) es un punto conocido en la recta. En este caso, y1 = 6 y x1 es desconocido, por lo que tenemos: y - 6 = - 2(x - x1) Para encontrar x1, podemos usar el hecho de que la recta también pasa por el punto (7,2). Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta y obtenemos: 2 - 6 = - 2(7 - x1)
Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por (7,2) y B es: y - 10 = - 2(x - 3) y = - 2x + 16 Finalmente, para encontrar la abscisa de A, igualamos y a 0 en la ecuación de la recta que pasa por (7,2) y A: 0 = - 2x + 24 2x = 24 x = 12 Por lo tanto, la abscisa de A es 12. Para encontrar la ordenada de B, igualamos x a 0 en la ecuación de la recta que pasa por (7,2) y B: y = - 2(0) + 16 y = 16 Por lo tanto, la ordenada de B es 16 3 .- Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas identifique la circunferencia y la elipse, expréselas en su forma estándar, indique sus parámetros, características y grafíquelas: a). 𝑿𝟐^ + 𝒀𝟐^ = 𝟏𝟔 la ecuación representa una circunferencia la forma estándar de la ecuación de una circunferencia (𝒙 − 𝒉)𝟐^ + (𝒚 − 𝒌)𝟐^ = 𝒓𝟐 Donde (h, k) representa el centro de la circunferencia y r es el radio. Comparando la ecuación dada con la forma estándar, podemos identificar los siguientes parámetros: El centro de la circunferencia es el origen (0, 0), ya que no hay términos de desplazamiento en X ni en Y. El radio de la circunferencia es la √ 16 , que es 4. El Centro: (h, k) = (0, 0) Radio: r = 4 Por lo tanto, la forma estándar de la circunferencia es: (𝑥 − 0 )^2 + (𝑦 − 0 )^2 = 42 Simplificando, obtenemos: 𝑥^2 + 𝑦^2 = 16
C). 𝒙𝟐 𝟒
𝒚𝟐 𝟒
En la ecuación dada no representa ni una circunferencia y ni un eclipse representa una hipérbola así que no se podrá expresar en su forma estándar, ni sus parámetros, ni en características y gráfica. Dada a las indicaciones de la pregunta. D). 𝟔𝒙𝟐^ − 𝒚 = 𝟎 Para identificar la circunferencia y la elipse que representa la función cuadrática, se puede reescribir en su forma estándar: 6x² - y = 0 y = 6x² La forma estándar de una ecuación cuadrática de dos variables es: Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 donde A y C son los coeficientes de las variables cuadráticas, D y E son los coeficientes lineales, y F es el término constante. En este caso, A=6, C=-1, D=E=F=0. Para escribir la ecuación en su forma estándar, se divide ambos lados por 6: y/6 = x² Esta ecuación representa una elipse en la forma: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 donde (h,k) es el centro de la elipse, a es la distancia desde el centro a los extremos en el eje x, y b es la distancia desde el centro a los extremos en el eje y.
En este caso, el centro es (0,0) ya que la ecuación no tiene términos de D o E, lo que indica que el vértice está en el origen. Además, a²=1/6 y b²=6, por lo que los extremos son (±√ (1/6),0) y (0, ±√6), respectivamente. Para graficar la elipse, se pueden trazar los ejes x y y, luego ubicar el centro en el origen y trazar los extremos a lo largo de los ejes x y y. La elipse se vería de esta manera: Elipse con centro en el origen, con ejes ±√(1/6) y ±√ No hay una circunferencia en esta ecuación, ya que la ecuación de una circunferencia es (x-h)² + (y-k)² = r², y esta ecuación tiene un término diferente para la variable y. 4.- ¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta 3x + 4y – 2 = 0 con la siguiente recta 15x + 20y – 10 = 0 Primera ecuación: 3x + 4y - 2 = 0 Segunda ecuación: 15x + 20y - 10 = 0 Podemos simplificar ambas ecuaciones dividiendo todos los términos por 2: Primera ecuación simplificada: (3/2) x + 2y - 1 = 0 Segunda ecuación simplificada: (15/2) x + 10y - 5 = 0 Ahora podemos comparar las pendientes de ambas rectas. La pendiente de la primera ecuación es
- (3/2) , mientras que la pendiente de la segunda ecuación es - (15/2). Las pendientes no son iguales y tampoco son negativas recíprocas. Por lo tanto, podemos concluir que las dos rectas no son paralelas, perpendiculares ni coincidentes. En cambio, se intersectan en un punto.
