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Tarea 5
“Una cucharadita de medicina...”
Fabi´an Salas
- Eval´ue la suma:
∑ 0 ≤k≤n
k n − k
Para realizar todos estos problemas, debemos aplicar la t´ecnica conocida como “Aceite de Serpiente”. En este caso, debemos dejar una variable libre, la cual ser´a n: ∑ 0 ≤k≤n
k n − k
= bn
B(z) =
n> 0
bnzn
Luego, reemplazamos la expresi´on anterior en nuestra funci´on.
B(z) =
n> 0
0 ≤k≤n
k n − k
zn
n> 0
zn^
k
k n − k
k
n> 0
k n − k
zn
En el caso de que n < k ocurra, los t´erminos se anular´ıan, por lo queprocederemos a hacer un cambio de variable. Diremos que g = n − k.
=
k
g> 0
k g
zg+k
k
zk^
g> 0
k g
zg
Esta ´ultima suma, es conocida como el teorema del binomio, por lo que quedar´ıa la siguiente expresi´on.
k
zk(1 + z)k
Aqu´ı se presentar´ıa la propiedad: ∑ n> 0
anzn^ = 1 1 − az Por lo que nuestra suma quedar´ıa expresada como: =
1 − z(1 + z)
1 − z − z^2
Si somos lo suficientemente antentos, nos podremos dar cuenta, de que la expresi´on que nos qued´o, se parece mucho a la funci´on generatriz de la Fibonacci:
F (z) =
n> 0
Fnzn^ = z 1 − z − z^2 Por lo que nuestra expresi´on puede quedar escrita como: 1 1 − z − z^2
F (z) z Pero como sabemos que F 0 = 0, podemos reescribirla de la siguiente manera: 1 1 − z − z^2
F (z) − F 0 z Lo cual es lo mismo que decir: 1 1 − z − z^2 =^ Fn+ Por lo tanto, si evaluamos las expresi´on, tendr´ıamos:
Fn+1 =
0 ≤k≤n
k n − k
- Eval´ue:
∑ m≤k≤n
(−1)k
n k
k m
Elegimos m como variable libre. Por otro lado, sabemos que si k se encuentra fuera de los l´ımites de n y m, la suma se anula, por lo que podemos dejar la sumatoria solo en t´erminos de k.
bm =
k
(−1)k
n k
k m
Luego definimos nuestra funci´on generatriz: B(z) =
m≥ 0
bmzm
Procedemos a reemplazar en la funci´on. ∑
m≥ 0
k
(−1)k
n k
k m
zm
Haremos el cambio en el orden de las sumas. ∑ m≥ 0
zm^
k
(−1)k
n k
k m
k
(−1)k
n k
≥ 0
k m
zm
La segunda suma es el teorema del binomio.
=
k
(−1)k
n k
(1 + z)k
k
n k
(−z − 1)k
Por lo que nuestra suma quedaria expresada por: zm (1 − z)m+
k
Ck
−z (1 − z)^2
)k
- Si n ≥ 0, halle una forma m´as simple para la suma:
fn =
k≤n/ 2
(−1)k
n − k k
yn−^2 k
