Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Una introducción a las matrices, incluyendo definiciones, propiedades y operaciones básicas. Se explica la dimensión de una matriz, la igualdad de matrices, los diferentes tipos de matrices (fila, columna, triangular, diagonal, escalar, unidad), la suma de matrices, el producto de un número real por una matriz, el producto de matrices y sus propiedades. También se aborda el cálculo de la matriz inversa utilizando el método de gauss-jordan. Se incluyen diversos ejemplos resueltos y actividades propuestas para afianzar los conceptos. Este material podría ser útil para estudiantes de matemáticas, física, ingeniería y otras carreras que requieran el manejo de matrices.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
1 / 27
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
3.4.1. Definición 3.4.2. Método de Gauss–Jordan 3.5. MATRIZ TRASPUESTA 3.6. RANGO DE UNA MATRIZ
Resumen En la historia del Álgebra podemos encontrar etapas muy diferentes: el álgebra de la antigüedad debabilónicos, egipcios, griegos,… el álgebra árabe o el álgebra de la edad moderna, en que continúa tratándose la resolución de ecuaciones. En el siglo XVIII y XIX tiene su auge el Álgebra Abstracta quetrata de las estructuras algebraicas. Surgen las matrices y los determinantes, aunque se puede pensar que su origen es mucho más antiguo si se piensa en los cuadrados mágicos que se conocen desde el año650 a.C.
El cálculo matricial tiene importantes aplicaciones, como para la resolución de sistemas de ecuacioneslineales que estudiaremos este curso. Otras aplicaciones se encuentran al trabajar en Física Cuántica o en Teoría de Grafos, y se utilizan en computación por la simplicidad de su manipulación. Las transformaciones geométricas, giros, simetrías…, se representan mediante matrices. Los vectoresson un caso particular de matriz. La información se organiza usando matrices.
1.1. Definición Las matrices son una de las herramientas más usadas dentro del Álgebra Lineal y están asociadas a unconjunto de datos numéricos ordenados. Encontramos las matrices en muchas ciencias: Sociología, Economía, Demografía, Física, Biología, etc. La idea intuitiva de matriz es muy sencilla, pudiéndose definir una matriz como un ordenados , números que pueden provenir de experimentos, encuestas, análisis económicos, etc. tabla de números
Por tanto: Se llamade la forma: matriz de orden m × n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y en n columnas ,
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a A
1 2
21 22 2
11 12 1
Las matrices se representan por letras mayúsculasse representan en general por a A , B , C ,… Los elementos de la matriz (los números) ij , donde los subíndices ( i, j ) nos dan la posición que ocupa el término:
j n columna
i m fila 1 , 2 ,...,
Así, el término a 13 es el elemento que está en la primera fila y en la tercera columna.
1.2. Dimensión de una matriz El número de filas ( m ) y el número de columnas ( n ) nos da la dimensión de la matriz m × n. Ejemplo:
13 51 ^49 es una matriz de dimensión^ 2 × 3.
1.3. Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los términos que ocupan la misma posiciónson iguales:
A aa 2111 aa 2212 aa^1323 B bb 2111 bb 2212 bb^1323 aa bb aa bb aij bij
a b a b A B
13 13 23 23
12 12 22 22
11 11 21 21 ;
Ejemplo:
a = 3, b = –1, x = 1, y = 5 y z = –9.
Actividades resueltas Indica la dimensión de las siguientes matrices:
Solución: La matriz A es de dimensión 2 × 3 porque tiene dos filas y tres columnas. La matriz B es de dimensión 1 × 4 porque tiene una fila y cuatro columnas. La matriz C es de dimensión 3 × 1 porque tiene tres filas y una columna. La matriz D es de dimensión 3 × 3 porque tiene tres filas y tres columnas. Determina los valores de a, b y c para que las matrices A y B sean iguales
Solución: Para que dos matrices sean iguales deben tener la misma dimensión, requisito que cumplenAdemás, han de ser iguales los términos que ocupan la misma posición. Por tanto debe ser x = 3 (^) , A a y= 2 B ., y = 6 , b = 0.
Actividades propuestas
1. Utiliza matrices para representar la información siguiente: Un agricultor cultiva lechugas, naranjasy melones. Durante el año 2014 ha recogido mil lechugas, 2000 kilos de naranjas y 500 melones. En los años anteriores su producción ha sido de 500, 1000 y 400 respectivamente. Por cadalechuga recibe un céntimo, por cada kilo de naranjas 3 céntimos y por cada melón 5 céntimos. Escribe la matriz de sus ganancias del año 2014. 2. Analiza los siguientes elementos de tu entorno y determina si son matrices o no: a. Un calendario. b. La clasificación de la Liga de fútbol (o cualquier otro deporte). c. El disco duro de un ordenador. d. Un armario donde se guarda una colección de copas. e. Los lineales de un supermercado. f. Una pantalla de televisión. g. El boleto de la Lotería Primitiva, de la Quiniela y del Euromillón. h. Los buzones de una vivienda. i. Los pupitres de una clase. 3. Propón otros elementos de tu entorno que sea matrices o puedan representarse mediantematrices.
Matriz Escalar iguales. : Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son todos
Ejemplo:
Matriz Unidad (Identidad) representa por I. : Es la matriz escalar en la que los elementos no nulos son iguales a 1. Se
Ejemplo:
En ocasiones se añade un subíndice que indica la dimensión de la matriz. Matriz Nula : Es aquella en la que todos sus elementos son cero. Ejemplo:
Matriz nula de tamaño 3.
Actividad resuelta
Clasifica las matrices siguientes: a) A = ; La matriz A es rectangular de dimensión 2×3. b) B = ; La matriz B es una matriz cuadrada de dimensión 3×3 o simplemente 3.
c) C = ; La C es cuadrada de dimensión 4.
d) D =
; Es una matriz cuadrada 3×3, es la matriz nula de dicha dimensión
21 10 01
Actividad de introducción La siguiente tabla muestra los resultados de la Liga de fútbol española 2014/2015 cuando cada equipojuega como local y como visitante:
En casa Fuera Total Equipo PJ G E P PJ G E P PJ G E P F.C. BarcelonaReal Madrid 1919 1616 12 21 1919 1414 30 25 Atlético C. MadridValencia C.F. 1919 1415 33 21 1919 97 68 44 Sevilla C.F. 19 13 5 1 19 10 2 7 Villarreal C.F.Athletic C. Bilbao (^1919 128 16 65 1919 47 114 ) R.C. Celta de VigoC.D. Málaga 1919 88 56 65 1919 56 72 117 R.C.D. EspanyolRayo Vallecano 1919 88 62 59 1919 57 42 1010 R. SociedadElche C.F. 1919 96 53 105 1919 25 85 99 Levante C.F.Getafe C.F. 1919 66 65 78 1919 34 42 1213 R.C. DeportivoGranada C.F. 1919 54 106 85 1919 23 84 129 S.D. Eibar 19 5 3 11 19 4 5 10 U.D. AlmeríaCórdoba C.F. (^1919 31 76 129 1919 52 15 ) Completa la tabla de la derecha, fijándote principalmente en: ordenados de diferente forma en ambas tablas.^ o^ Qué deberías haber hecho en caso de que los equipos hubieran estado o Cómo eliges trabajar con los números y por qué. que obtienes.^ o^ Qué dimensiones tienen las tablas con los datos “En casa”/”Fuera” y la o Cómo habrías resuelto el problema inverso: dados los resultados totales y los obtenidos“En casa”, determinar los resultados de los equipos cuando jugaron como “Visitantes”. El sistema de puntuación de la Liga da 0 puntos por jugar un partido, 3 puntos por victoria, 1punto por empate y 0 puntos por derrota. o Escribe una matriz que represente estos datos sobre la puntuación o Utiliza dicha información para determinar los puntos logrados por cada equipo cuandojuega como local, como visitante y en total. o Observa las dimensiones de las tablas de partida y de la matriz de puntuación, e intentarelacionarlas con las tablas de “Puntos” que acabas de obtener.
3.3. Producto de matrices El producto de matrices no es una operación tan sencilla como la suma de matrices o el producto deuna matriz por un número real, que no necesitan de grandes condiciones. Para poder multiplicar dos matrices, sus dimensiones deben cumplir unas condiciones.
n ij ij ij ij k ik kj BA bijaij^ C AB a b c c a b ꞏ ꞏ 1 ꞏ
Es decir, el elementomatriz A por los elementos de la primera columna de la matriz c 11 se obtiene multiplicando escalarmente los elementos de la primera fila de la B , y así sucesivamente.
Ejemplo: Veamos un producto de matrices desarrollado paso a paso:
^
Dimensión 2 × 3 3 × 2 2 × 2 El número de columnas deese orden. La matriz producto tiene tantas filas como A es igual al número de filas de A y tantas columnas como B , por lo tanto se pueden multiplicar en B.
Que el producto A ꞏ B esté definido no implica que lo esté el producto B ꞏ A. Ejemplo:
Dadas las matrices (^)
A (^) B BA AB definidonodefinido 3
Para que estén definidos ambos productos tiene que cumplirse que si la dimensión de la matriz m n , la dimensión de la matriz B debe ser n m , siendo las dimensiones de las matrices A es producto:
B A n n
A B m m De aquí se concluye que el producto de matrices NO TIENE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA. Si las matrices son cuadradas de orden n , el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: ‐ Propiedad Asociativa: A B C A B C ‐ Elemento neutro ( I ): A I I A A ‐ Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: A B C A B A C
3.4. Matriz inversa Entre las propiedades de las matrices no se ha nombrado la existencia del elemento simétrico oelemento inverso, ya que no existe dicha propiedad. Sin embargo, hay matrices cuadradas para las cuales existe otra matriz que multiplicada por ellas nos da la matriz unidad (elemento neutro).
3.4.1. Definición Si dada una matriz cuadrada nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A existe otra matriz A (^) es una B , también cuadrada, que multiplicada por la matriz matriz regular o inversible y a la matriz B se le A llama matriz inversa de A y se representa por A –1: A A ^1 A ^1 A I Si una matriz cuadrada no tiene matriz inversa, se dice que la matriz es singular. La matriz inversa verifica las siguientes propiedades:
Actividades resueltas Sea A (^) 20 01 . Halla la matriz inversa A –1^ mediante un sistema de ecuaciones. Planteamos la matriz A ^1 ca db y hallamos el producto: A A ^1 20 01 ca db 2 ca 2 d b Debe verificarse que A ꞏ A –1^ = I , por tanto:
(^122) a b c d a b A A I c d Resolviendo para a , b , c y d : ^10 ^102 ^1002
c d
a b
3.4.2. Método de Gauss – Jordan: El método de Gauss‐Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en lamatriz identidad, utilizando transformaciones elementales.
Llamamos transformaciones elementales por filas a:
Ampliamostransformaciones elementales de modo que la matriz inicial se transforme en la matriz identidad. la matriz original, escribiendo junto a ella la matriz identidad, y aplicamos las
Actividad resuelta Calcula con el método de Gauss–Jordan la inversa de la matriz A (^) 20 10 Escribimos la matriz identidad junto a la matriz A : T (^) 20 01 01 10 Y vamos realizando transformaciones elementales a la izquierda, buscando convertirla en lamatriz identidad: (^) 20 10 01 10 02 10 10 01 01 10 10 02 1 T F 1 F 2 F 1 21 F 1 Por tanto: 10 02 A^11 Comparando este método con el anterior, podemos ver que es mucho más simple y rápido.
Ejemplo 2: Halla la matriz inversa A –1^ de A (^) 31 42 con el método de Gauss–Jordan.
(^3) 21 32 12 2 32 12
F 2 F 2 F (^1) F 2 F 2 F F F Por tanto, tenemos que: A ^1 (^) 322 ^112
Ejemplo 3: Halla la matriz inversa de
Escribimos la matriz identidad junto a la matriz A y operamos como se explicó antes:
FF 32 FF 324 FF^11 F^3 F^35^ F^2
161 116 516 116 116 516 116
F 3 F^1 F^1 F 3 F^1 F^1 F^2
(^116516116)
(^1116916516)
(^316116316) 3 (^116516116)
F 2 F 2 F 3 F 1 F 1 F 3 Por tanto, la matriz inversa queda:
(^116516116)
(^1116916516) 1 316 116 316 A
3.5. Matriz traspuesta Dada una matriz matriz que se obtiene al cambiar las filas de A de dimensiones m n , se llama A por sus columnas, por lo que la matriz matriz traspuesta de A y se representa por A t (^) será de A t , a la dimensión n m. Ejemplo:
A^1 23 At
Una matriz cuadrada se dice que es simétrica cuando coincide con su traspuesta: A At.
Para que una matriz sea simétrica, los elementos simétricos respecto de la diagonal principal deben seriguales.
Ejemplo:
(^113) t A A
3.6. Rango de una matriz Se llama independientes rango , es decir, que no pueden obtenerse a partir de las demás filas o columnas de la misma de una matriz al número de filas o columnas de la matriz que son linealmente matriz.
Actividad resuelta Determina el rango de las matrices
A y B La tercera fila deindependientes, por lo que el rango de A se obtuvo sumando las dos primeras filas. Estas dos primeras filas son A es 2. La tercera fila de B se obtuvo restando la segunda fila al doble de la primera. El rango de B es 2.
Para hallar el rango de una matriz se pueden usar lashacer el máximo número posible de ceros, intentando transformaciones elementalestriangular la matriz ( método de Gauss para intentar); sin embargo, será más fácil hallar el rango usando determinantes, como veremos en el capítulo siguiente.
Actividad resuelta Calcula el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro a: A (^) ^ a 12 a 22 Solución El rango de esta matriz será como máximo 2 pues es una matriz de dimensión 2 x 2. Vamos realizando transformaciones elementales hasta convertirla en una matriz triangular. Intercambiamos filas para tener un 1 en la posición a 11. A (^) ^ a 12 a 22 F 1 (^) F 2 a ^12 a ^22 Ahora tratamos de conseguir ceros, para lo que a la segunda fila le restamos la primera filamultiplicada por ( a – 2):
a ^1 2 a ^22 F 2 ^ ( a 2 ) F 1 ( a 2 )^11 ( a 2 ) ( a 2 )^22 ( a 2 ) 01 a^2 6 Vemos que si (– a + 6 = 0) la segunda fila es nula, por lo que su rango sería 1. Por tanto: De aquí:^ – a^ + 6 = 0^ ^ a^ = 6
6 rg( ) 2
6 rg( ) 1 a A
a A
En un país A, existen tres aeropuertos internacionales (Aexisten cuatro (B 1 , B 2 , B 3 y B 4 ); y en un tercer país C existen dos (C 1 , A 2 y A 3 ); en otro país B 1 y C 2 ). Desde el aeropuerto ADesde el aeropuerto A 1 salen vuelos con destino a B 1 , B 2 , C 1 y dos vuelos con destino a B 3. Desde el aeropuerto A 23 salen vuelos con destino a Bsólo sale un vuelo con destino a B^2 , B^3 y dos vuelos con destino a B 3. Desde cada aeropuerto del^4_. país B, salen dos vuelos a cada uno de los aeropuertos del país C.Se pide, expresar mediante matrices: a) Los vuelos del país A al B. b) Los vuelos del país B al C. c) Los vuelos del país A al C, necesiten o no efectuar trasbordo en el país B._ Solución El esquema de los vuelos es:
a) Representamos los vuelos desde A (filas) hasta B (columnas)
b) Representamos los vuelos desde B (filas) hasta C (columnas)
c) Representamos los vuelos directos desde A (filas) hasta C (columnas):
Los vuelos desde A hasta C con o sin trasbordo serán:
A A A
B1 B B B C1 C
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
Conrelaciones entre objetos. un grafo se representan las Grafos y matrices Un grafo está formado por nodos quese relacionan con aristas. Grafo 1: (^) B D C
Grafo 2: (^) B C
Hay grafos dirigidos, como el grafo 1, ygrafos no dirigidos, como el grafo 2.
A cada grafo se le asocia una matriz ¡única!
Los vértices A, B, C y D son las filas dela matriz. Si A está relacionado con B ponemos un 1 en la fila 1, columna 2. La matriz de un grafo no dirigido essimétrica.
Se pueden utilizar grafos para representar los caminos que unen unascasas, o unos pueblos, o los vuelos (u otro tipo de conexión) que unen las ciudades.relaciones de dominio entre individuos, En psicología se utilizan por ejemplo para visualizar las
Imaginagrafos estánque esosindi‐ cando personas queestán conectadas por WhatsApp. En el grafo 1, A estáconectada con B y D. B con C y D.En el grafo 2, A está con B y C. B con A, yC con A.
Vamos a multiplicar estas matrices por sí mismas e interpretar el resultado
0 1 1
0 1 1
2 0 0
1 0 0
1 0 0
0 1 1
1 0 0
1 0 0
0 1 1
Acon C y D (pidiendo podría conectar a B que reenviara elWhatsApp).
Ahora un WhatsApp de A podríallegar a esa misma persona A por dos caminos distintos (a través de By de C), pero sólo sus propios WhatsApp. A la persona B, con 2 WhatsApp, lellegarían los suyos y los de C.
Definición dematriz Tabla de números ordenados (^)
Dimensión deuna matriz^ El número de filas (columnas ( m ) y el número de n ) La dimensión de la matriz anterior es 2 × 3.
Igualdad dematrices^ Dos matrices son iguales si tienen la mismadimensión y si los términos que ocupan la misma posición son iguales A^ =^ B^ ^ aij^ =^ bij^ ^ i,j
matrices^ Tipos de
Matriz triangular de dimensión 2 × 2: Matriz diagonal: (^) 02 50 Matriz escalar: (^) 05 50 Matriz unidad: (^) 01 10
Producto deun real por una matriz
Es otra matriz de elementos los de la matriz multiplicados por el número: kA k aij ka (^) ij ^3 ^ 42 51 126 153
16 17
2 1
2 2 3 4 21 3 5
12 0 4 11 0 5 4 5
2 1 2 3
1 0
inversa^ Matriz A^ ^ A ^1 A ^1 A I^
traspuesta^ Matriz Se obtiene cambiando filas por columnas.^
A^2 3 At
Rango de unamatriz^ Número de filas o columnas de la matriz que sonpueden obtenerse a partir de las demás filas o linealmente independientes , es decir, que no columnas de la misma matriz.
El rango de la matriz (^) 126 63 es 1.
A (^) ^10 31
