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Cap´ıtulo 1
Funciones
En la base de muchos modelos matem´aticos se halla el concepto de funci´on. La descripci´on de un fen´omeno que evoluciona con respecto al tiempo se realiza generalmente mediante una funci´on f (t) que en cada instante t proporciona el n´umero de individuos de una poblaci´on, el tama˜no de cierto objeto que crece, los ingresos percibidos en una cuenta, etc.
A modo de ejemplo supongamos que estamos estudiando la poblaci´on de cierta ciudad en la que inicial- mente viven 10000 personas. Si designamos mediante P al n´umero de habitantes en la ciudad podr´ıamos escribir entonces P = 1000.
Sin embargo, es evidente que la poblaci´on de cualquier ciudad var´ıa con el tiempo y que, debido a los nacimientos y muertes, de un a˜no para otro el n´umero de habitantes variar´a. En tal caso, la igualdad anterior no ser´a correcta y la poblaci´on P no ser´a un n´umero fijo sino una expresi´on P (t) que ser´a diferente para cada a˜no t. Dicho de otro modo, tenemos una magnitud, la poblaci´on P , que var´ıa con respecto a otra, el tiempo t. La dependencia entre P y t suele expresarse mediante una f´ormula matem´atica. As´ı por ejemplo, despu´es de realizar el an´alisis correspondiente, supongamos que, en el caso concreto de la ciudad que estamos estudiando, se tiene que P (t) = 1000e^0.^1 t.
Entonces, mediante dicha f´ormula, podremos f´acilmente calcular el n´umero de habitantes para cualquier a˜no sin m´as que sustituir t por el valor conveniente. Por ejemplo:
- en el a˜no t = 1 la poblaci´on es P (1) = 1000e^0.^1 ·^1 = 1105.17,
- en el a˜no t = 4 la poblaci´on es P (4) = 1999e^0.^1 ·^4 = 1491.82.
Por otro lado, en general, los estudios se realizan para un cierto per´ıodo o intervalo de tiempo de modo que la f´ormula anterior ser´a eficaz solamente para un determinado rango de a˜nos. Es decir, el valor de t estar´a dentro de ciertos l´ımites. Si por ejemplo el estudio se realiz´o para los primeros diez a˜nos, el valor de t estar´a entre 0 y 10, dentro de lo que m´as adelante llamaremos intervalo [0, 10] e indicaremos esto completando la informaci´on que dimos antes en el siguiente modo,
P : [0, 10] → R P (t) = 1000e^0.^1 t^
Esto es lo que denominamos una funci´on matem´atica y los elementos que aparecen en esta expresi´on aportan toda la informaci´on que necesitamos sobre ella:
- [0, 10] es el intervalo dentro del cual se mueve la variable. Por tanto, en este caso, la f´ormula ser´a v´alida desde el a˜no t = 0 al a˜no t = 10.
- P es el nombre de la funci´on y t es su variable. P , es la poblaci´on que depende del tiempo, t, lo cual indicamos escribiendo P (t) (P es funci´on de t).
- P (t) = 1000e^0.^1 t^ es la f´ormula que determina de qu´e manera depende P de t. Mediante esta f´ormula, una vez que conocemos t podemos calcular P.
En lo que sigue veremos con m´as detalle cada uno de estos elementos. Comenzaremos estudiando lo que es un intervalo y luego veremos la definici´on precisa de funci´on para continuar estudiando las f´ormula matem´aticas que tienen aplicaci´on en nuestra disciplina.
1.1 Intervalos
En el tema de introducci´on y al estudiar espacios vectoriales vimos que el conjunto R de los n´umeros reales admite una representaci´on en forma de recta. Este es el motivo por el que en ocasiones se denomina a R recta real. Consideraremos en lo que sigue cierto tipo destacado de subconjuntos de R: los intervalos.
Definici´on 1. Sean a, b ∈ R. Entonces:
- Llamamos intervalos abiertos a los subconjuntos de R,
(a, b) = {x ∈ R/a < x < b}, (a, +∞) = {x ∈ R/a < x} y (−∞, b) = {x ∈ R/x < b}.
Diremos que los n´umeros a y/´o b son los extremos de tales intervalos.
- Llamamos intervalos cerrados a los subconjuntos de R,
[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}, [a, +∞) = {x ∈ R/a ≤ x} y (−∞, b] = {x ∈ R/x ≤ b}.
Diremos que los n´umeros a y/´o b son los extremos de tales intervalos.
- Llamamos intervalos semiabiertos o semicerrados a los subconjuntos de R,
[a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b} y (a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}.
Diremos que los n´umeros a y b son los extremos de tales intervalos.
Nota. Utilizaremos las siguientes notaciones:
R+^ = (0, +∞) = conjunto de todos los n´umeros reales positivos. R+ 0 = [0, +∞) = R+^ ∪ { 0 }. R−^ = (−∞, 0) = conjunto de todos los n´umeros reales negativos. R− 0 = (−∞, 0] = R−^ ∪ { 0 }.
En ocasiones tambi´en se utiliza la notaci´on (−∞, +∞) para referirse a todo el conjunto R. Asimismo, dado a ∈ R ∪ {−∞, +∞} aceptaremos que (a, a) = ∅.
En la notaci´on anterior utilizamos los s´ımbolos +∞ y −∞ para referirnos a ‘m´as infinito’ y ‘menos infinito’. Ni −∞ ni +∞ son n´umeros (no son elementos de R) y nosotros los utilizaremos siempre como parte de la notaci´on matem´atica. Sin embargo, s´ı que es posible concebir una imagen intuitiva del significado de −∞ ´o +∞. Para ello basta recordar que la representaci´on gr´afica del conjunto R de los n´umeros reales es una recta que se extiende de forma ilimitada en ambos sentidos
R
... - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 ...
Si bien acabamos de decir que la recta real es ilimitada, es posible imaginar que si consigui´eramos recorrerla hasta el final, tanto en un sentido como en en el otro, alcanzar´ıamos sus extremos de modo que −∞ ser´ıa el punto situado en el extremo izquierdo y +∞ el del derecho
- Utilizando solamente la f´ormula definitoria: En tal caso se indicar´a solamente la f´ormula que define la funci´on. As´ı, por ejemplo, la funci´on g dada mediante
g(x) =
1 − x^2
es una funci´on real que se ha definido indicando ´unicamente su f´ormula. En principio, desconocemos por tanto el dominio de g.
En este caso, cuando solamente disponemos de la f´ormula definitoria, el dominio de la funci´on ser´a el conjunto de n´umeros reales para los que la f´ormula tiene sentido (para los que es posible calcular el valor de la funci´on en dichos puntos).
Para la funci´on g que hemos tomado como ejemplo, a partir de la definici´on que hemos dado para ella obtenemos la siguiente informaci´on:
⋆ la f´ormula definitoria:
1 − x^2
⋆ el dominio de la funci´on: Ser´a el conjunto de n´umeros reales para los que tiene sentido la f´ormula defini- toria, es decir, para los que se puede aplicar la f´ormula obteniendo un valor real. Obs´ervese que para esta funci´on tenemos que:
expresi´on que no tiene sentido y por tanto g(1) no se puede calcular.
1 − (−1)^2
de manera que g(−1) no se puede calcular.
- para x ∈ R − { 1 , − 1 } siempre ser´a posible calcular el valor de g(x).
Por tanto el dominio de g ser´a el conjunto
D = R − {− 1 , 1 }.
V´ease que las funciones f : (− 1 , 1) −→ R f (x) =
1 − x^2
y g(x) =
1 − x^2
tienen la misma f´ormula (a saber, (^1) −^1 x 2 ) pero no son la misma funci´on. Para f el dominio es el intervalo (− 1 , 1) mientras que para g es R − {− 1 , 1 }. Al ser el dominio de la funci´on f el conjunto (− 1 , 1) solamente podremos calcular los valores de f para puntos de ese conjunto, es decir, para puntos entre −1 y 1; de esta manera, si nos piden que calculemos f (4) deberemos responder que la funci´on f no est´a definida en el punto 4 ya que 4 ∈/ (− 1 , 1) y no est´a en el dominio. Por contra, v´ease que s´ı es posible calcular g(4).
Observamos de esta forma, que para que dos funciones sean iguales no es suficiente con que tengan la misma formula definitoria. Deben tambi´en tener el mismo dominio.
1.2.1 Representaci´on gr´afica
Es esencial entender los m´etodos para la representaci´on de funciones. Sobre la gr´afica de una funci´on podemos apreciar de forma inmediata diferentes propiedades que no advertir´ıamos si solamente disponemos de la f´ormula.
Las funciones matem´aticas se representan en un plano con dos ejes perpendiculares. El eje horizontal corresponder´a a la variable y el vertical a los valores que toma la funci´on. En el siguiente ejemplo ilustramos el m´etodo b´asico para la representaci´on de una funci´on.
Ejemplo 5. Para representar gr´aficamente la funci´on
f : [0, 2] → R f (x) = x^2
seguiremos los siguientes pasos:
a) En primer lugar, representamos el dominio de la funci´on. En este caso, el dominio de f es el intervalo [0, 2]. Como antes hemos indicado, la representaci´on de funciones se efect´ua en el plano real. En concreto, representaremos el dominio en el eje horizontal denominado tambi´en eje de abscisas
-4 -2 2 4
1
2
(^3) Representamos el intervalo [0, 2] en el eje horizontal
b) A continuaci´on, representamos la funci´on f trazando su gr´afica solamente sobre su dominio, el intervalo [0, 2], que hemos marcado en el paso anterior.
Para cada punto x del intervalo [0, 2] es f´acil calcular su imagen f (x). Representaremos cada punto x en el eje horizontal y su imagen f (x) en el eje vertical. Tomemos, por ejemplo, x = 2, entonces
f (2) = 2^2 = 4,
y la imagen de x = 2 es, por tanto, f (2) = 4. Gr´aficamente, podemos representar este hecho del siguiente modo
0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
x = 2
f (2) -
Sin embargo, para trazar la gr´afica de f no remarcaremos ni x ni f (x) sino el punto (x, f (x)). En nuestro ejemplo particular para x = 2 tenemos que (x, f (x)) = (2, 4) que representamos de la siguiente forma
As´ı por ejemplo, en el mes t = 2 el n´umero de habitantes es P (2) o en el mes t = 4 se obtiene mediante P (4). Sin embargo, en ocasiones tambi´en es de inter´es estudiar c´omo evoluciona la poblaci´on, no en un solo momento, sino a lo largo de cierto intervalo de tiempo. Por ejemplo podr´ıamos analizar la poblaci´on en el espacio de tiempo comprendido entre los meses t = 4 y t = 9, es decir, en el intervalo temporal [4, 9]. Para ello deber´ıamos calcular P ([4, 9]), la imagen del intervalo [4, 9], tal y como indicaremos en la siguiente definici´on.
En otras ocasiones, necesitaremos saber cu´ando la poblaci´on se encuentra dentro de cierto intervalo. Por ejemplo, podemos preguntarnos en qu´e per´ıodo la poblaci´on oscila entre 3000 y 8000 habitantes, es decir, cu´ando la funci´on P est´a en el intervalo [3, 8]. En este caso deberemos calcular P −^1 ([3, 8]) a lo que en la siguiente definici´on llamamos preimagen del intervalo [3, 8].
Definici´on 6. Consideremos la funci´on f : D → R. Entonces:
- Dado I ⊆ D, la imagen de I mediante f es
f (I) = {f (x) : x ∈ I}.
- Dado J ⊆ R, la preimagen de J mediante f es
f −^1 (J) = {x ∈ D : f (x) ∈ J}.
Si bien, en general, determinar la imagen y preimagen de un conjunto puede ser un c´alculo complicado, si disponemos de la representaci´on de la funci´on, es posible encontrar gr´aficamente la imagen y preimagen de intervalos de manera sencilla.
Ejemplos 7.
- La poblaci´on de cierta regi´on a lo largo de los diez primeros meses del a˜no viene dada (en miles de individuos) por la funci´on P : [0, 10] → R P (t) = 35954 − 1127216 t+ 731 t 2 432 −^
53 t^3 432 cuya gr´afica es
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10 P
Supongamos que pretendemos determinar durante qu´e meses la poblaci´on estuvo entre 3000 y 8000 habitantes.
Dicho de otra manera, se trata de determinar los valores de t para los que P (t) est´a entre 3 y 8 (recu´erdese que P mide la poblaci´on en miles de habitantes). O sea, la preimagen
P −^1 ([3, 8]) = {t ∈ [0, 10] : P (t) ∈ [3, 8]} = {t ∈ [0, 10] : 3 ≤ P (t) ≤ 8 }.
Gr´aficamente hemos de determinar en qu´e tramos la gr´afica de P est´a dentro de la banda de poblaci´on de 3 a 8:
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
P −^1 ([3, 8])
Q
Q
QkQ
- Est´udiese tambi´en dentro de qu´e intervalos se mueve la poblaci´on durante los meses cuarto a noveno.
En este caso interesa estudiar los valores que toma la funci´on en el intervalo [4, 9], es decir, hemos de calcular P ([4, 9]). Para ello estudiamos dentro de qu´e banda se mueve la gr´afica de la funci´on sobre el tramo [4, 9]:
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10 P ([4, 9])
1.2.3 Propiedades de forma de una funci´on
Ciertas caracter´ısticas de la funci´on f determinan la forma que tendr´a su gr´afica. Son lo que se denominan ‘propiedades de forma de la funci´on’. Algunas de ellas aparecen recopiladas en la siguiente definici´on.
Definici´on 8. Una funci´on real de variable real, f : D → R, se dice que es:
- estrictamente creciente si ∀x 1 , x 2 ∈ D tales que x 1 < x 2 se tiene que f (x 1 ) < f (x 2 ).
- creciente si ∀x 1 , x 2 ∈ D tales que x 1 < x 2 se tiene que f (x 1 ) ≤ f (x 2 ).
- estrictamente decreciente si ∀x 1 , x 2 ∈ D tales que x 1 < x 2 se tiene que f (x 1 ) > f (x 2 ).
- decreciente si ∀x 1 , x 2 ∈ D tales que x 1 < x 2 se tiene que f (x 1 ) ≥ f (x 2 ).
- mon´otona si es creciente o es decreciente.
- estrictamente mon´otona si es estrictamente creciente o es estrictamente decreciente.
i) Dados a, b ∈ R y n, m ∈ N,
0 n^ = 0 y si a ̸= 0 entonces a^0 = 1.
(ab)n^ = anbn.
an+m^ = anam.
anm^ = (an)m.
(a + b)n^ =
∑^ n
i=
n i
aibn−i.
ii) Dados a, b ∈ R+^ y α, β ∈ R
- Si α > 0 entonces 0 α^ = 0.
- Si α < 0 entonces 0 α^ no est´a definido.
- (ab)α^ = aαbα.
- aα+β^ = aαaβ^.
- aαβ^ = (aα)β^.
- a−α^ =
aα^
- Si a ≥ 1 entonces α ≤ β ⇒ aα^ ≤ aβ^.
- Si a < 1 entonces α ≤ β ⇒ aβ^ ≤ aα.
- Si α ≥ 0 entonces a ≤ b ⇒ aα^ ≤ bα.
- Si α < 0 entonces a ≤ b ⇒ bα^ ≤ aα.
Una vez que hemos repasado el concepto de potencia, estamos en disposici´on de definir lo que entendemos por funci´on potencial.
Definici´on 10. Llamamos funci´on potencial de exponente α ∈ R a la funci´on
f (x) = xα.
El dominio y la gr´afica de la funci´on potencial depende del exponente y se puede determinar teniendo en cuenta lo que hemos indicado en la definici´on de potenciaci´on. Por ejemplo:
- Para n ∈ N el dominio de la funci´on potencial
f (x) = xn
es R y por tanto estar´a definida para cualquier valor real de la variable x.
- Para n ∈ N el dominio de la funci´on potencial
f (x) = x−n
es R − { 0 } y por tanto estar´a definida para cualquier valor real no nulo de la variable x.
- Para n ∈ N el dominio de la funci´on potencial
f (x) = x n^1
es
- R si n es un n´umero impar.
- R+ 0 si n es un n´umero par.
- Para n ∈ N el dominio de la funci´on potencial
f (x) = x
− n 1
es
- R − { 0 } si n es un n´umero impar.
- R+^ si n es un n´umero par.
- En general para un n´umero irracional α ∈ R − { 0 } el dominio de la funci´on potencial
f (x) = xα
es
- R+ 0 si α > 0.
- R+^ si α < 0.
1.3.2 Funciones exponenciales
Definici´on 11. Llamamos funci´on exponencial de base a ∈ R+^ a la funci´on
f : R −→ R f (x) = ax^
V´ease que el dominio siempre es todo el conjunto R. La funci´on exponencial que aparece con mayor frecuencia es la que tiene por base al n´umero e (a = e) y en ocasiones ex^ se nota como exp(x).
La gr´afica de una funci´on exponencial de base a presenta las siguientes propiedades:
- Siempre pasa por el punto (0, 1) puesto que
f (0) = a^0 = 1.
- Si a = 1 la funci´on ser´a constantemente igual a 1.
- Si a > 1 la funci´on ser´a creciente.
- Si 0 < a < 1 la funci´on ser´a decreciente.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
a > 1 0 < a < 1 a = 1
La funci´on exponencial aparece en numerosos procesos financieros. Veamos algunos ejemplos de ello:
- Cuando el valor en un per´ıodo determinado de una magnitud que var´ıa con el tiempo es proporcional al valor en el per´ıodo anterior, dicha magnitud se ajustar´a mediante una funci´on exponencial.
Ejemplo 12. Durante los a˜nos iniciales de puesta en marcha de una factor´ıa, la producci´on aumenta un 10% cada a˜no. Si la producci´on inicial es P 0 = 100 toneladas, tendremos que:
Pasados t = 1 a˜nos la producci´on ser´a
P (1) = P 0 + 10% de P 0 = P 0 + 0. 1 P 0 = 1. 1 P 0.
Pasados t = 2 a˜nos la producci´on ser´a
P (2) = P (1) + 10% de P (1) = P (1) + 0. 1 P (1) = 1. 1 P (1) = 1. 12 P 0.
En general, pasados t a˜nos la producci´on es
P (t) = P (t − 1) + 10% de P (t − 1) = P (t − 1) + 0. 1 P (t − 1) = 1. 1 P (t − 1)
= 1. 1 tP 0.
Por tanto, podemos tomar como funci´on de producci´on la funci´on
P (t) = P 01. 1 t^ = 100 · 1. 1 t
que es una funci´on exponencial con base 1.1.
Pasado el segundo per´ıodo, el capital en la cuenta ser´a
A 2 = A 1
|{z} Capital en cuenta
% de A 1 | {z } Intereses del 2o
P +
P =
P.
Pasado el tercer per´ıodo, el capital en la cuenta ser´a
A 3 = A 2
|{z} Capital en cuenta
% de A 2 | {z } Intereses del 3o
P +
P =
P.
De este modo vemos que al terminar el primer a˜no (una vez transcurridos los tres per´ıodos en que lo hemos dividido) el capital en la cuenta ser´a
P (1) =
P.
Si queremos calcular el capital en cuenta al cabo de dos a˜nos, debemos aplicar el mismo esquema anterior de abono de intereses en tres per´ıodos pero teniendo en cuenta que el capital al comienzo del
a˜no es ahora P (1) =
P en lugar de P. En tal caso, es f´acil ver que el capital en el segundo a˜no es
P (2) =
P (1) =
P =
P.
Si repetimos este razonamiento para a˜nos sucesivos es f´acil deducir que el capital en cuenta pasados t a˜nos ser´a
P (t) =
) 3 t P
que es nuevamente una funci´on de tipo exponencial. Calculemos por medio de esta f´ormula el capital en cuenta pasados uno y diez a˜nos:
- El capital acumulado el primer a˜no ser´a
P (1) =
P = 1. 0263 · 1000 = 1. 082 · 1000 = 1082e.
- El capital acumulado a los diez a˜nos ser´a
P (10) =
P = 1. 02630 · 1000 = 2. 202 · 1000 = 2202e.
Advertimos que el dividir el pago de intereses en tres per´ıodos, los beneficios que obtenemos son superiores. Por ejemplo, vimos antes que cuando el pago de los intereses se hac´ıa una sola vez al a˜no, al cabo de diez a˜nos el capital en cuenta era 2158e, sin embargo al dividir en tres per´ıodos hemos obtenido 2202e.
Cabe preguntarse que suceder´ıa si dividi´eramos el a˜no en m´as de tres per´ıodos. Por ejemplo el pago de los intereses podr´ıa realizarte de forma mensual (12 per´ıodos de un mes) o de forma diaria ( per´ıodos de un d´ıa). En general, si tenemos:
Capital inicial = P, Inter´es nominal anual = r (expresado en tanto por uno), N´umero de per´ıodos en que dividimos el a˜no = m,
los mismos argumentos que hemos utilizado antes nos permiten deducir que el capital en cuenta a los t a˜nos ser´a
P (t) =
r m
)mt P. (1.1)
Esta ´ultima es la f´ormula para el capital acumulado en una cuenta con un inter´es compuesto con m per´ıodos anuales.
- Inter´es compuesto continuamente.
Hemos visto en el ejemplo anterior que si el pago de intereses se realiza en tres per´ıodos, los ingresos que obtendremos son mayores que si se realiza solamente en uno. En realidad, es f´acil comprobar utilizando la f´ormula para el inter´es compuesto en m per´ıodos que cuanto mayor sea el n´umero de per´ıodos mayores ser´an los ingresos que obtengamos por intereses. Por ejemplo, siguiendo con el mismo ejemplo de antes, a los diez a˜nos tenemos:
- Dividiendo en un ´unico per´ıodo:
P (10) =
P = 2. 158 · 1000 = 2158e.
- Dividiendo en tres per´ıodos (pagos cuatrimestrales, cada cuatrimestre):
P (10) =
P = 2. 202 · 1000 = 2202e.
- Dividiendo en cuatro per´ıodos (pagos trimestrales, cada trimestre):
P (10) =
P = 2. 208 · 1000 = 2208e.
- Dividiendo en doce per´ıodos (pagos mensuales, cada mes):
P (10) =
P = 2. 219 · 1000 = 2219e.
- Dividiendo en 365 per´ıodos (pagos diarios, cada d´ıa):
P (10) =
P = 2. 2253 · 1000 = 2225. 3 e.
Podr´ıamos dividir el a˜no en m´as per´ıodos (por ejemplo realizando dos, tres, etc. pagos diarios) haciendo que el n´umero de per´ıodos m sea cada vez mayor. Cuando el n´umero de per´ıodos tiende a infinito el tama˜no de cada per´ıodo ser´a cada vez menor y los intereses se pagan continuadamente en cada instante. Entonces, en general, aplicando la f´ormula (1.1), el capital acumulado en cuenta pasados t a˜nos ser´a (lo veremos mejor m´as adelante)
lim m→∞
r m
)mt P = ertP
y la funci´on de capital que obtenemos es
P (t) = P ert.
Cuando los intereses se abonan continuamente en cada instante se dice que tenemos un inter´es r compuesto continuamente. En el caso del ejemplo anterior, si el inter´es es compuesto continuamente, a los diez a˜nos el capital en cuenta ser´a:
- Inter´es del 8% compuesto continuamente (pago continuo de intereses en cada instante):
P (10) = P e^0.^08 t^ = 2. 2255 · 1000 = 2225. 5 e.
En general, el inter´es compuesto continuamente y el inter´es compuesto en 365 per´ıodos (compuesto diariamente) producen beneficios muy similares.
Como consecuencia de la igualdad (1.2), es evidente que el logaritmo es la funci´on inversa de la funci´on exponencial. Podremos por tanto aplicarlo en aquellas situaciones en las que intervengan funciones expo- nenciales y sea necesario despejar alguna de las constantes.
Ejemplo 16. Supongamos que en el Ejemplo 12 queremos determinar el n´umero de a˜nos que deben transcurrir para que la producci´on anual sea de 200 toneladas. Debemos calcular el valor de t tal que
200 = P (t) = 100 1. 1 t^ ⇒ 1. 1 t^ =
= 2 ⇒ log(1. 1 t) | {z } =t log(1.1)
= log (2) ⇒ t =
log (2) log(1.1)
1.3.4 Funciones trigonom´etricas
Las funciones trigonom´etricas son:
La funci´on seno. La funci´on seno es la funci´on real de variable real
f : R −→ R f (x) = sen(x)
donde el argumento x se puede interpretar como un ´angulo medido en radianes. Es una funci´on acotada y su dominio es todo R. Su gr´afica es:
1
− 4 π − 3 π − 2 π −π π 2 π 3 π 4 π
La funci´on coseno. La funci´on coseno es la funci´on real de variable real
f : R −→ R f (x) = cos(x)
donde el argumento x se puede interpretar como un ´angulo medido en radianes. Es una funci´on acotada, su dominio es R y su gr´afica es:
1
− 4 π − 3 π − 2 π −π π 2 π 3 π 4 π
La funci´on tangente. La funci´on tangente se define a partir de las funciones seno y coseno de la siguiente forma: tan(x) =
sen(x) cos(x)
Su dominio est´a formado por aquellos n´umeros reales, x, para los cuales el coseno no se anula. Teniendo en cuenta que cos(x) = 0 ⇔ x ∈ {
π 2
tendremos que el dominio de la funci´on tangente es
R − { π 2
La funci´on tangente es una funci´on no acotada con gr´afica:
1
π 2 −^4 π^
π 2 −^3 π^
π 2 −^2 π^
π 2 −^ π^
π 2
π 2 +^ π^
π 2 + 2π^
π 2 + 3π
La funci´on secante. La funci´on secante es la funci´on definida como
sec(x) =
cos(x)
Utilizando los mismos argumentos que para la funci´on tangente obtenemos que el dominio de la funci´on secante es R − { π 2
La funci´on secante es tambi´en una funci´on no acotada.
La funci´on cosecante. La funci´on cosecante es la funci´on definida como
cosec(x) =
sen(x)
La funci´on cosecante estar´a definida para aquellos valores reales en los que la funci´on seno no se anule. Puesto que sen(x) = 0 ⇔ x ∈ {k · π/k ∈ Z},
tenemos que el dominio de la funci´on cosecante es
R − {k · π/k ∈ Z}.
La funci´on cosecante es una funci´on no acotada.
Exponemos a continuaci´on las propiedades b´asicas de las funciones trigonom´etricas.
Propiedades 17. Dados x, y ∈ R
- cos^2 (x) + sen^2 (x) = 1.
- − 1 ≤ cos(x) ≤ 1 y − 1 ≤ sen(x) ≤ 1.
- cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen(x)sen(y).
- sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x)sen(y).
- Si x, y, x + y ∈ R − { π 2 + kπ/k ∈ Z}, tg(x + y) =
tg(x) + tg(y) 1 − tg(x)tg(y)
- Si x ∈ R − { π 2 + kπ/k ∈ Z}, 1 + tg^2 (x) = sec^2 (x).
-1 -0.5 0.5 1
− π 2
− π 4
π 4
π 2
La funci´on arctan. La funci´on arctg se define como
arctan : R −→ (− π 2 , π 2 ) arctg(x) = y ∈ (− π 2 , π 2 ) tq. tan(y) = x
y nos proporciona la ´unica soluci´on de la ecuaci´on
tan(y) = x
situada entre − π 2 y π 2. La funci´on arctg es una funci´on creciente y acotada con la siguiente gr´afica:
-10 -5 5 10
π 2
− π 2
1.3.6 Funciones polin´omicas
Definici´on 18. Una funci´on polin´omica de grado n ∈ N ∪ { 0 } es una funci´on del tipo
f : R −→ R f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn,
donde a 0 , a 1 ,... , an ∈ R se denominan coeficientes de la funci´on polin´omica.
V´ease que una funci´on polin´omica de grado cero es una funci´on constante. Una funci´on polin´omica tiene por dominio a todo R y su gr´afica puede adoptar formas diversas en funci´on de su grado y sus coeficientes. De especial importancia son:
- Polinomios de grado 1: Un polinomio de grado uno es una funci´on de la forma
f (x) = ax + b
y su gr´afica, como ya hemos dicho, es siempre una recta.
Ejemplo 19. Representar la funci´on f (x) = 3x − 1.
Se trata de una funci´on polin´omica de grado 1. Por tanto, su representaci´on gr´afica ser´a una recta. Para trazar una recta ser´a suficiente con conocer dos puntos de paso. Ahora bien utilizando la f´ormula sabemos que
- En el punto x = 0 la funci´on toma el valor f (0) = 3 · 0 − 1 = −1.
- En el punto x = 1 la funci´on toma el valor f (1) = 3 · 1 − 1 = 2.
Comenzaremos pues representando el valor de la funci´on en estos dos puntos y a continuaci´on sobrar´a con trazar la recta que une esos dos puntos para obtener la gr´afica de f(x):
0.2 0.4 0.6 0.8 1.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.
V´ease que, puesto que f (0) = −1, la funci´on pasa por el punto de coordenadas (0,-1) y, puesto que f (1) = 2, tambi´en por el punto de coordenadas (1, 2).
- Polinomios de grado 2: Un polinomio de grado dos es una funci´on de la forma
f (x) = ax^2 + bx + c
y su representaci´on es siempre una par´abola (supondremos aqu´ı que a ̸= 0) cuya gr´afica es del tipo:
0.5 1.0 1.5 2.
0.5 1.0 1.5 2.
Como vemos una par´abola es una curva en la que aparece un punto caracter´ıstico denominado v´ertice de la par´abola que est´a situado en el extremo m´ınimo o m´aximo de curva y que en las gr´aficas anteriores aparece resaltado de mayor tama˜no. Por tanto para representar el polinomio f (x) = ax^2 + bx + c deberemos trazar una par´abola y para hacerlo, al menos de forma aproximada, debemos tener en cuenta las siguientes propiedades:
- Si a > 0 el v´ertice estar´a por debajo de la par´abola (como en la primera gr´afica) mientras que para a > 0 estar´a por encima (segunda gr´afica).
- El v´ertice se sit´ua en el punto x = − 2 ab.
