Tema 2 Econometria, Apuntes de Econometría

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TEMA 2:

MODELO DE REGRESIÓN

LINEAL GENERAL

MARIOLA ESTUDILLO MARTÍNEZ

DPTO. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

(BASADO EN LOS APUNTES DE ANTONIO CONDE SÁNCHEZ)

INTRODUCCIÓN

• REGRESIÓN

Técnica estadística que consiste en buscar la mejor función que exprese la relación existente entre dos o más variables.

Y  variable dependiente (endógena) X  variable independiente (exógena)

→ y = f ( x )

• REGRESIÓN LINEAL

Técnica estadística que consiste en buscar la mejor función LINEAL o recta que exprese la relación existente entre dos o más variables.

INTRODUCCIÓN

• MODELO DE REGRESIÓN LINEAL GENERAL

Es un modelo que explica la relación existente entre una variable dependiente o variable endógena y varias variables independientes o exógenas mediante una función lineal:

Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ... + β k Xk + u

donde los parámetros βj son los coeficientes de regresión.

Si disponemos de n observaciones, , el modelo puede

escribirse como:

(Y X (^) i , (^1) i, …, Xki)

Yi = β 0 + β 1 X 1 i + β 2 X 2 i + ... + βk Xki + ui i =1,...,n

donde u j representa el error o perturbación aleatoria.

INTRODUCCIÓN

• MODELO DE REGRESIÓN LINEAL GENERAL

Otra forma de expresar el modelo es utilizando notación matricial:

donde

y = Xβ + u

1 11 1 0 1 2 12 2 1 2

1

1 1 ; ; ;

1

k k

n n kn k n

Y X X u Y X X u

Y X X u

β β

β

   (^) …                 …      = (^)   = (^)   = (^)   =             …     

y X β u       

INTRODUCCIÓN

• HIPÓTESIS DEL MODELO
  1. Los elementos de la matriz X son no estocásticos, aunque se distribuyen independientemente de u.
  2. La perturbación aleatoria se distribuye: ( ) → N ,σ^2 u 0 In
  3. El número de observaciones ha de ser superior al número de

parámetros, es decir, n > k + 1.

1. Los coeficientes son constantes a lo largo de toda la muestra y aparecen de forma lineal.
2. Todas las variables explicativas son linealmente independientes (ausencia de multicolinealidad). Así, el rango de la matriz X es

igual a k + 1 y, por lo tanto, la matriz X’X es no singular.

INTRODUCCIÓN

• HIPÓTESIS DEL MODELO

Consecuencias e interpretación de las hipótesis

1. Supongamos que se fija el valor de X , entonces:

2. El comportamiento de la variable Y viene dado por dos

componentes:

 Uno determinista, que es su valor medio X β.  Y otro aleatorio, que es u.

( )

→ N ,σ^2

y Xβ In

INTRODUCCIÓN

• INTERPRETACIÓN DE LOS PARÁMETROS

3. Los coeficientes de regresión miden el efecto de cada X j sobre

Y. El problema es que, como entre las variables exógenas existe

casi siempre alguna relación (no son incorreladas), no miden los

efectos individuales, sino que reflejan un efecto parcial sobre Y.

Cuando la relación entre las variables exógenas es pequeña, la mezcla es poco importante, pero si la relación es fuerte, los coeficientes tienden a ser menos precisos y no expresan los

efectos individuales de cada una de ellas sobre Y.

1. Es interesante tomar variables exógenas que tengan poca relación entre sí. En ese caso los efectos individuales y

parciales sobre Y son muy similares.

INTRODUCCIÓN

• DESARROLLO DEL TEMA
  1. Objetivo: determinar el valor de los coeficientes de regresión.
  2. Los valores de no son conocidos y se estiman a partir de los datos observados:

β (^) j , j = 0,1,...,k β^ ˆ , (^) j j = 0,1,..., k.

1. Se estudiarán las propiedades de los estimadores bajo las hipótesis establecidas.
2. Se tratará de dar respuesta a las siguientes cuestiones:

 ¿Se ajusta bien la ecuación a los datos?  ¿Es válido el modelo? ¿Tienen un efecto significativo las

variables explicativas sobre Y?

 ¿Es útil el modelo como predictor?  ¿Se viola alguna de las hipótesis básicas?

ESTIMACIÓN POR MC DE

LOS PARÁMETROS

Utilizando notación matricial:  y^ = Xβ ˆ , u ^^ =^ y^ −^ y ˆ^ =^ y^ − Xβ ˆ

Por lo que la suma de los residuos al cuadrado es:

S = ˆ ˆ u u ′^^ = y y ′^ − 2 β X y^ ˆ′^ ′^ + β X Xβ ˆ′^ ′ ˆ

Derivando e igualando a 0 se obtienen las ecuaciones normales de regresión:

Despejando, obtenemos los estimadores MCO de los parámetros:

X y ′^ = X X ′ β^ ˆ

( ) ˆ −^1 β = X X ′^ X y ′

siempre y cuando exista la matriz. Dicha matriz existe si las variables explicativas son linealmente independientes (hipótesis 7).

( )

− 1 X X ′

ESTIMACIÓN POR MC DE

LOS PARÁMETROS

Las expresiones de las matrices anteriores son:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1

n n n i ki i i i i n n n n i i i ki i i i i i i

n n n n ki i ki ki ki i i i i i

n X X Y

X X X X X Y

X X X X X Y

= = =

= = = =

= = = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

X X X y     

El vector de valores estimados es: y ˆ^ = Xβ ˆ

Y los residuos se pueden expresar: (^) u ˆ^ = y − y ˆ

ESTIMACIÓN POR MC DE

LOS PARÁMETROS

• EJEMPLO 1

Obtenemos las matrices:

ESTIMACIÓN POR MC DE

LOS PARÁMETROS

• EJEMPLO 1

ESTIMACIÓN POR MC DE

LOS PARÁMETROS

• EJEMPLO 1

Interpretación de los coeficientes de regresión:

ESTIMACIÓN POR MC DE

LOS PARÁMETROS

• PROPIEDADES
  1. El hiperplano de regresión pasa por el punto: (^) (Y ,^ X 1 ,^ ,Xk)
  2. La suma de los residuos es cero: 1

n i i

u

∑ =

1. Los residuos están incorrelados con las variables explicativas.
2. Los residuos están incorrelados con los valores estimados de la

variable Y.

Esto significa que: 1 1

n n i i i i

Y Y Y Y

= =

∑ =^ ∑ ⇒^ =

1

ˆ (^) 0, 1, ,

n ji i i

X u j k

∑ =^ =^ …

1

ˆˆ (^0)

n i i i

Y u

∑ =