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Tema 2
Aplicaciones de la teoría de la elección en condiciones de riesgo
(coordinación de la asignatura)
Tema 2.1.B. La demanda de activos arriesgados. a) Activos: qué son, tipos de activos, cómo se mide el riesgo. -Un activo es algo que proporciona una corriente de dinero a su propietario (vivienda, cuenta de ahorro, acciones, bonos, etc.) -Un activo arriesgado proporciona una corriente monetaria indeterminada. -Un activo seguro o sin riesgos genera una corriente monetaria segura (los bonos del Estado a corto plazo -letras del Tesoro- son un activo de bajo riesgo). Ejemplos.
- El rendimiento de un activo es el flujo monetario total que genera (incluidas las ganancias o las pérdidas de capital) y se expresa normalmente en porcentaje de su precio. El rendimiento esperado de un activo es el valor esperado de su rendimiento; esto es, el rendimientos que debería generar, en promedio. A veces, el rendimiento efectivo de un activo puede ser más alto que el esperado y otros más bajo; en un largo periodo el rendimiento medio suele ser cercano al esperado. Cabe preguntarse por qué compra una persona una Letra del Tesoro cuando es mayor el rendimiento esperado de las acciones de un Banco. La respuesta es porque la demanda de un activo depende no solo de su rendimiento esperado, sino también de su riesgo. -La desviación típica del rendimiento anual real (que es distinto del rendimiento anual mide el riesgo de un activo; el rendimiento real de un activo es igual a su rendimiento simple (o nominal) menos la tasa de inflación). -Cuanto mayor es el rendimiento esperado de una inversión, mayor es el riesgo que supone. Si las inversiones de una persona están bien diversificadas, así sucede, de manera que un inversor renuente al riesgo debe comparar el rendimiento esperado y el riesgo. b) La disyuntiva entre rentabilidad y riesgo (letras, acciones, etc) Siendo r e es el rendimiento de un activo seguro, una letra del Tesoro y rm el rendimiento esperado de una acción (fondo de inversión, etc.), si la cartera del individuo que se plantea la inversión está formada por la cantidad de b acciones ( risky asset ) y (1-b) letras ( certain asset ). Se tendrá que el rendimiento (esperado) de la cartera r c es: rc= brm + (1-b) re (1) Por otro lado, el riesgo viene indicado por la desviación típica del rendimiento variable: (2) (demostración de (2)_Pindyick&Rubinfield)
Supuesto que los agentes son capaces de ordenar las distintas carteras según sus preferencias relativas sobre rentabilidad y riesgo, esta ordenación puede reflejarse en un mapa de curvas de indiferencia como, por ejemplo:
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Aplicaciones de la teoría de la elección en condiciones de riesgo
(coordinación de la asignatura)
Tema 2.1.B. Teoría de la utilidad esperada d) Selección de cartera óptima Centrándonos ahora en la diversificación como actitud frente al riesgo, veamos cómo se resuelve la selección de cartera óptima de acuerdo a los principios de optimización de la Utilidad esperada. Sabemos que los individuos consideran con frecuencia pagar cierta cantidad para evitar la incertidumbre y la propensión a asumir costes (lo que estarían dispuestos a pagar para participar o evitar el juego) dependerá de sus actitudes ante el riesgo. Esto sugiere que las relaciones entre muchos individuos crean una estructura que puede denominarse mercado de riesgos , la bolsa de valores es un ejemplo de mercado en el que se difunden los riesgos, donde la incertidumbre se puede reducir pagando un cierto precio. Los propietarios de las empresas que emiten acciones tienen un incentivo para hacerlo pues así se diluye el riesgo entre un gran número de accionistas. Por su parte, los accionistas pueden recurrir a la bolsa para diversificar sus riesgos (pueden comprar o vender en función de la evolución de las cotizaciones, por ejemplo). El problema de selección de cartera óptima (1) Partiendo de w, que es la riqueza del agente que considera invertir una cantidad x en un activo incierto, de rendimiento aleatorio: en el caso de que sea positivo, el rendimiento sería rb; para el caso de un mal resultado, en el sentido de que disminuye el valor de activo, el rendimiento sería rm. La riqueza del agente considerando los dos casos (resultado bueno/malo), será: wb = (w-x) + x(1+rb) = w + xrb = { w-x+x+xrb} wm = (w-x) + x(1+rm) = w+ xrm = { w-x-x-xrm}
Si el resultado bueno tiene una probabilidad π y el malo tiene una probabilidad (1- π) y el agente decide invertir x unidades
monetarias, la utilidad esperada será: UE(x) = π U(w + xrb) + (1 - π ) U(w+ xrm) El problema de la selección óptima de cartera consistirá en determinar x tal que se maximice la UE así propuesta; esto es, Max UE (x) = π U(w + xrb) + (1 - π ) U(w+ xrm) x Ampliación en: Varian, Microeconomía Intermedia. cap.
El problema de selección de cartera óptima (2) De donde: UE´(x) = π U´(w + xrb)rb + (1 - π ) U´(w+ xrm) rm (1) y además, UE´´(x) = π U´´(w + xrb)rb^2 + (1 - π ) U´´(w+ xrm) rm^2 (2) Tomando (1) e igualando a cero (CPO) se tiene la elección óptima de x por parte del inversor: UE´(x) = π U´(w + xrb)rb + (1 - π ) U´(w+ xrm) rm = 0 Supuesto que el individuo es averso al riesgo, la función de utilidad es cóncava, y U´´(w) < 0, para cualquier nivel de riqueza. De donde, la expresión (2) es < Si se evalúa la variación de la utilidad esperada para la primera unidad monetaria invertida en el activo incierto, esto es, evaluando UE´partiendo de x=0, se tiene que, UE´(0) = π U´(w)rb + (1 - π ) U´(w) rm = U´(w) (πrb + (1 - π )rm) donde la expresión dentro del paréntesis es el rendimiento esperado del activo. UE u.m. invertidas en activos x* = 0 En el caso de rendimiento negativo, la UE disminuiría con la primera unidad monetaria invertida en el activo; si a esto se añade que U´´< 0, entonces, la UE seguiría disminuyendo al invertir unidades monetarias sucesivas adicionales. Así las cosas, dado que el valor esperado de este juego es negativo, el individuo averso al riesgo tendrá un nivel de utilidad máximo en el punto x = 0, no queriendo participar en una inversión que le suponga pérdida. La inversión óptima es x*=0 (rendimiento esperado negativo)
El problema de selección de cartera óptima (3) Uno de los resultados importantes a los que hemos llegado, es que el rendimiento esperado de una activo es (πrb + (1 - π )rm) es el rendimiento libre de riesgo (el del activo seguro) más una prima por el riesgo. Además, en la elección óptima entre riesgo y rendimiento veíamos que la pendiente de la curva de indiferencia ha de ser igual a la pendiente de la restricción presupuestaria; a esta pendiente de la restricción se le denominaba precio del riesgo ya que indica la cantidad de riesgo y de rendimiento que puede intercambiarse cuando se elige una cartera de activos. En la elección óptima de riesgo y rendimiento, la pendiente de la curva de indiferencia ha de ser igual a la pendiente de la recta de presupuesto de manera que la relación marginal de sustitución entre ambos sea igual al precio del riesgo. Donde se tiene, respectivamente, rendimiento de la cartera, desviación típica del rendimiento, rendimiento del activo arriesgado y rendimiento del activo seguro. Gráficamente. Varian, figura 13.
El problema de selección de cartera óptima: dos activos arriesgados En el caso de que hubiera un nuevo activo incierto, de rendimiento ry se pudiera elegir entre ese activo y el de rendimiento rx, habría dos conjuntos presupuestarios (el inicial y el nuevo), de modo tal que todas las elecciones de riesgo y rendimiento posibles antes lo son también ahora (el nuevo contiene al anterior). Invertir en el activo de riesgo nuevo y en el activo seguro sería mejor que hacerlo en el anterior activo de riesgo y en el activo seguro. Gráficamente:
