Tema 2 Matemàtica Discreta, Apuntes de Matemática Discreta

¡Descarga Tema 2 Matemàtica Discreta y más Apuntes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity!

Equacions de recurr`encia

Matem`atica discreta

Grau en Matem`atiques

Universitat de Val`encia

Leila Lebtahi

Continguts

1 Successions definides per equacions de recurrencia 2 Soluci´o de les lleis de recurrencia lineals i homogenies Soluci´o de les lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre 3 El determinant d’una classe de matrius 4 Equacions de recurrencia lineals i funcions generatrius 5 Equacions en diferencies finites Primer ordre Lineal i de coeficients constants, pero no el terme independent 6 Algunes sumes que poden ser utils Series aritmetico-geom`etriques 7 Cercant solucions particulars 8 Comentari final 9 Exercicis

Successions definides per equacions de recurr`encia

Definici´o Una successi´o {an}∞ n=0 es diu que esta definida per una llei de recurrencia d’ordre k si existix una funci´o f : Rk^ → R tal que, per a tot n ∈ N, els termes de la successi´o verifiquen

an+k = f (an, an+1,... , an+k− 1 ).

Exemple: Els primers termes de la successi´o definida per

an =

an− 1 1 + an− 2

, a 0 = 1, a 1 = 1

s´on 1, 1 , 12 , 14 , 16 , 152 , 354 , 11912 ,.... La funci´o que definix la recurrencia ´es f (x 0 , x 1 ) = (^) 1+x^1 x 0. Si una successi´o esta definida per una llei de recurrencia d’ordre k, aleshores els seus primers k termes, a 0 , a 1 ,... , ak− 1 , determinen tota la successi´o. a 0 , a 1 ,... , ak− 1 , s’anomenem de vegades condicions inicials de la successi´o. Les relacions de recurrencia que ens interessaran, basicament perque s´on les m´es senzilles, s´on les lineals.

Successions definides per equacions de recurr`encia

Definici´o Una successi´o {an}∞ n=0 es diu que esta definida per una llei de recurrencia lineal i homog`enia d’ordre k si existixen nombre reals λ 0 6 = 0, λ 1 ,... , λk− 1 tal que, per a tot n ∈ N, els termes de la successi´o verifiquen

an+k = λk− 1 an+k− 1 + · · · + λ 1 an+1 + λ 0 an.

La condici´o λ 0 6 = 0 no ´es cap restricci´o perque si λ 0 = 0, aleshores, la llei de recurrencia seria almenys d’un ordre menor. L’expressi´o anterior admet una reescritura com a part d’una equaci´o matricial:       

λ 0 λ 1 λ 2 λ 3... λk− 2 λk− 1

an an+ an+ .. . an+k− 2 an+k− 1

an+ an+ .. . an+k− 2 an+k− 1 an+k

Successions definides per equacions de recurr`encia

Hi ha infinites successions que verifiquen una llei de recurrencia concreta. Per exemple, si en comptes de triar els dos termes inicials com en la successi´o de Fibonacci, hagu´erem triat a 0 = − 1 , a 1 = 3, el resultat d’aplicar la mateixa llei de recurrencia, an+2 = an+1 + an, hauria donat un altre resultat:

− 1 , 3 , 2 , 5 , 7 , 12 , 19 ,...

Exemple: Els nombres de Lucas, {Ln}∞ n=0, s´on els definits per la mateixa llei de recurr`encia que els de Fibonacci,

Ln+2 = Ln+1 + Ln

per`o amb les condicions inicials

L 0 = 2, L 1 = 1

Proposici´o El conjunt de successions definides per una mateixa llei de recurrencia lineal t´e estructura d’espai vectorial. Si la llei de recurrencia lineal ´es d’ordre k, aleshores l’espai vectorial ´es de dimensi´o k.

Soluci´o de les lleis de recurrencia lineals i homogenies

Siga Sλ 0 ,λ 1 ,...,λk− 1 l’espai vectorial de successions definides per la llei de recurr`encia definida pels nombres reals

λ 0 , λ 1 ,... , λk− 1

La base can`onica de Rk^ induix una base en Sλ 0 ,λ 1 ,...,λk− 1.

Per exemple, per a la llei de recurrencia de la successi´o de Fibonacci, la base indu¨ıda esta formada per les dos successions seg¨uents:

{e^1 n }∞ n=0 = { 1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 ,... }

i {e n^2 }∞ n=0 = { 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ,... }

Es f`^ ´ acil comprovar que les coordenades de la successi´o de Fibonacci en la base {{e^1 n }∞ n=0, {e n^2 }∞ n=0} s´on (0, 1).

Lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre

Tornem ara a la llei de recurr`encia que definix la successi´o de Fibonacci:

an+2 = an+1 + an.

La pregunta ara ´es si existira alguna successi´o geometrica, {an = xn}∞ n=0, per a alguna ra´o x, que verifique aquesta llei.

Si aix´ı f´ora, tindr´ıem que, per a tot n ∈ N

xn+2^ = xn+1^ + xn.

Equivalentment,

(x^2 − x − 1)xn^ = 0 ⇔ x^2 − x − 1 = 0

Aquesta equaci´o t´e dos solucions, l’anomenada ra´o `auria i la seua conjugada,

x 1 =

i x 2 =

Lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre

Aix´ı, les dos successions geom`etriques seg¨uents:

{e n^1 }∞ n=0 =

)n} i {e^2 n }∞ n=0 =

)n}

formen una base de l’espai vectorial de successions definides per an+2 = an+1 + an.

Per a calcular ara les coordenades de la successi´o de Fibonacci en aquesta base, nom´es cal determinar els nombres reals A, B tal que  

 

A

1+√ 5 2

+ B

1 −√ 5 2

A

1+√ 5 2

+ B

1 −√ 5 2

Els membres de la dreta, 0 i 1, s´on els dos primers termes de la successi´o de Fibonacci.

La soluci´o ´es A = √^15 , B = − √^15.

Lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre

Nota El polinomi xk^ − λk− 1 xk−^1 − · · · − λ 1 x − λ 0 = 0 ´es el polinomi caracter´ıstic de la matriu de recurr`encia, ´es a dir,

det(M − x Id)

Les arrels d’aquest polinomi s´on els valors propis de la matriu.

El Teorema Fonamental de l’`Algebra afirma que l’equaci´o

xk^ − λk− 1 xk−^1 − · · · − λ 1 x − λ 0 = 0

t´e k solucions en el cos dels nombres complexos C.

Lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre

Exemple: La successi´o definida per yn+1 − 2 yn cos(α) + yn− 1 = 0 t´e per equaci´o associada x^2 − 2 x cos(α) + 1 = 0. Les arrels d’aquesta equaci´o s´on x = cos(α) ±

cos^2 (α) − 1 = cos(α) ± i sin(α) = e±iα. Per tant, una base de l’espai vectorial de totes les successions que verifiquen aquesta llei de recurr`encia ´es {{einα}∞ n=0, {e−inα}∞ n=0}. Tamb´e podem canviar la base ja que, donat que, 1 2

einα^ + e−inα

= cos(nα), 1 2

einα^ − ie−inα

= sin(nα), aleshores {{cos(nα)}∞ n=0, {sin(nα)}∞ n=0}, ´es una altra base.

Lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre

(n + 2)x 0 n +1− 4(n + 1)x 0 n + 4nx 0 n −^1 = 0

Multipliquem per x 0 i considerem l’expressi´o

(n + 2)x 0 n +2− 4(n + 1)x 0 n +1+ 4nx 0 n = 0

Es f`´ acil comprovar que la successi´o

{nx 0 n }∞ n=0 = {n 2 n}∞ n=

tamb´e verifica la mateixa llei de recurr`encia.

Aix´ı, les dos successions geom`etriques seg¨uents:

{e n^1 }∞ n=0 = { 2 n}∞ n=0 i {e n^2 }∞ n=0 = {n 2 n}∞ n=

formen una base de l’espai vectorial de successions definides per

an+2 = 4 an+1 − 4 an

Lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre

Exemple: (Arrels imagin`aries)

Considerem la successi´o definida per

an+2 = −an, a 0 = 0, a 1 = 1.

La successi´o no ´es una altra que

{ 0 , 1 , 0 , − 1 , 0 , 1 , 0 , − 1 , 0 ,... }.

L’equaci´o associada ´es x^2 + 1 = 0, que t´e dos solucions imagin`aries, x = ±i.

Aix´ı, les dues successions geom`etriques seg¨uents:

{e n^1 }∞ n=0 = {in}∞ n=0 i {e^2 n }∞ n=0 = {(−i)n}∞ n=

formen una base de l’espai vectorial de successions definides per an+2 = −an.

Lleis de recurrencia lineals i homogenies de primer ordre

Teorema Siga an+k = λk− 1 an+k− 1 + · · · + λ 1 an+1 + λ 0 an una llei de recurrencia d’ordre k lineal. 1 Si x ´es una soluci´o simple (real o complexa) del polinomi caracter´ıstic associat, aleshores la successi´o geometrica de ra´o x

{xn}∞ n=

verifica la llei de recurrencia. 2 Si x ´es una soluci´o de multiplicitat > 1 del polinomi caracter´ıstic associat, aleshores les successions

{xn}∞ n=0, {nxn}∞ n=0, {n^2 xn}∞ n=0,... , {n`−^1 xn}∞ n=

verifiquen la llei de recurrencia. 3 La fam´ılia formada per totes les successions anteriors per a totes les arrels del polinomi caracter´ıstic associat ´es una base de l’espai vectorial de totes les successions que verifiquen la mateixa llei de recurrencia. Com a conseq¨u`encia, el terme general de la successi´o ´es una combinaci´o lineal de totes elles.

El determinant d’una classe de matrius

Considerem, per a cada n > 0, la matriu

Mn =

Mn ´es una matriu quadrada on les entrades de la diagonal principal i de les diagonals paral·leles adjacents s´on iguals. Totes les altres entrades s´on nul·les. Aquest ´es un cas particular del que s’anomena matriu de Toeplitz.

L’objectiu ´es calcular per a tot n > 0 el determinant, Dn, de la matriu Mn.

D 1 = 2, D 2 = 3, D 3 = 4. Amb un poc m´es d’esfor¸c podem calcular D 4 = 5. Sembla que Dn = n + 1. Per`o, podrem demostrar-ho?