Tema 3 Matemàtica Discreta, Apuntes de Matemática Discreta

¡Descarga Tema 3 Matemàtica Discreta y más Apuntes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity!

Teoria elemental de grafs

Matem`atica discreta

Grau en Matem`atiques

Universitat de Val`encia

Leila Lebtahi

Continguts

1 Noci´o de graf. Isomorfisme

2 Subgrafs, components i matriu d’adjac`encia

3 Estructures de tipus arbre Recompte d’arbres etiquetats. Teorema de Cayley

4 Camins i cicles eulerians o hamiltonians Camins i cicles eulerians Camins i cicles hamiltonians

5 Arbres generadors

6 El Teorema del matrimoni

7 Exercicis

Noci´o de graf. Isomorfisme

Nota: En esta definici´o no permetem ni lla¸cos ni arestes m´ultiples. A m´es, considerarem nom´es les arestes orientades, que s´on camins que connecten els v`ertexs en ambdos direccions. Concretament, treballarem, mentre no es diga el contrari, amb el concepte que s’anomena graf simple. Si es permeteren arestes m´ultiples o lla¸cos, aleshores estar´ıem parlant de grafs no simples. I si considerarem arestes amb especificaci´o de la direcci´o, aleshores estar´ıem parlant de grafs dirigits.

Ni lla¸cos ni arestes m´ultiples

Noci´o de graf. Isomorfisme

Nota: per no haver d’escriure tantes vegades les clauetes de conjunt, denotarem les arestes nom´es amb els seus dos v`ertexs. En comptes d’escriure {u, v } posarem nom´es uv. Definici´o Dos grafs G = (V , A) i G ′^ = (V ′, A′) es diu que s´on isomorfs, i ho denotarem per G ∼= G ′, si existix una bijecci´o f : V → V ′^ tal que per a tot u, v ∈ V ,

uv ∈ A ⇔ f (u)f (v ) ∈ A′

Exemple: El graf seg¨uent ´es isomorf al de la figura del exemple 2 anterior. L’isomorfisme est`a donat per: a → 3 , b → 4 , c → 5 , d → 6 , e → 2 , f → 1 , g → 7.

1 2 3 4

5 6 7

Subgrafs, components i matriu d’adjac`encia

Definici´o Siguen G = (V , A) i G ′^ = (V ′, A′) dos grafs. Direm que G ´es un subgraf de G ′^ si V ⊂ V ′^ i A ⊂ A′. Direm que G ´es un subgraf indu¨ıt de G ′^ si V ⊂ V ′^ i si les arestes de G s´on nom´es les arestes de G ′^ que connecten v`ertexs de V.

Definici´o Siga G = (V , A) un graf amb n vertexs. Denotem els vertexs per V 1 , V 2 ,... , Vn. La matriu d’adjacencia de G , respecte de l’ordenaci´o triada per als vertexs, ´es la matriu quadrada n × n, AG = (aij ) definida per

aij =

1 si Vi Vj ∈ A

0 en un altre cas.

Matriu d’adjac`encia

Exemple de matriu d’adjac`encia

Subgrafs, components i matriu d’adjac`encia

Proposici´o Siga G = (V , A) un graf amb conjunt de vertexs {V 1 , V 2 ,... , Vn} i siga AG la seua matriu d’adjacencia. Siga (AG )k^ la potencia k-esima de la matriu d’adjac`encia. Siga a( ijk )l’entrada i, j de la matriu (AG )k^. Aleshores, a( ijk )´es la quantitat de Vi Vj -camins de longitud exactament k.

Exemple Usant el exemple anterior, tenim

A^2 =

Per exemple, esto vol dir que hi ha sols 2 camins de longitud 2 entre a i d.

Subgrafs, components i matriu d’adjac`encia

Definici´o Si V 0 , V 1 ,... , Vn ´es un cam´ı, aleshores tamb´e direm que ´es un V 0 Vn-cam´ı.

Definici´o Un graf G = (V , A) es diu que ´es connex si tot parell de v`ertexs t´e un cam´ı que els unisca. En cas contrari, es diu que el graf ´es disconnex.

Exemple

Graf connex (esquerra). Graf disconnex (dreta)

Subgrafs, components i matriu d’adjac`encia

Exemple: En el graf seg¨uent, a, b, d ´es un cicle de longitud 3:

c

a b

d

Estructures de tipus arbre

Entre els grafs hi ha una classe especial: els arbres. Definici´o Un arbre ´es un graf connex sense cicles.

D’esta definici´o podem deduir que:

Entre dos v`ertexs diferents, hi ha un ´unic cam´ı. Si no, obtindr´ıem un cicle.

El seg¨uent graf ´es un arbre:

Estructures de tipus arbre

Definici´o Si G ´es un arbre, una fulla de l’arbre ´es un v`ertex amb grau 1.

Ja sabem que si un graf ´es connex aleshores el nombre d’arestes ha de ser major o igual que el nombre de v`ertexs menys 1. En el resultat seg¨uent es contesta a la pregunta:

Quantes arestes t´e un arbre? El m´ınim perqu`e siga un graf connex.

Teorema Siga G = (V , A) un arbre, aleshores |A| = |V | − 1.

Teorema Siga G = (V , A) un graf amb |V | = n. S´on equivalents: 1 G ´es un arbre. 2 G ´es connex i |A| = n − 1. 3 G no t´e cicles i |A| = n − 1.

Recompte d’arbres etiquetats. Teorema de Cayley

Definici´o Un arbre etiquetat ´es un arbre en el que cada v`ertex t´e una ´unica etiqueta (nom).

Arbres amb 1 ´unic vertex, n’hi ha un. Arbres amb 2 vertexs, nom´es n’hi ha un, tamb´e. Amb tres v`ertexs ja tenim m´es possibilitats:

1

2 3

1

2 3

1

2 3

Recompte d’arbres etiquetats

Proposici´o Siga G = (V , A) un arbre, aleshores donats u, v ∈ V , u 6 = v , hi ha un ´unic uv -cam´ı en G.

Definici´o Un arbre arrelat ´es un arbre amb un v`ertex especial, 0.

Definici´o Siga G = (V , A) un arbre arrelat. Donat v ∈ V siga

V 0 = 0, V 1 , V 2 ,... , Vn− 1 , Vn = v

l’´unic 0 v -cam´ı. Aleshores direm que Vn− 1 ´es pare de v i que v ´es fill de Vn− 1.

Recompte d’arbres etiquetats

Per tal de poder enumerar tots els arbres amb una quantitat de v`ertexs determinada, el que va fer Cayley va ser assignar a cada arbre arrelat un codi de nombres naturals de manera biun´ıvoca. Per exemple, per a l’arbre seg¨uent constru¨ıa inicialment una matriu de dos files. En la primera fila anava escrivint, d’esquerra a dreta, el menor ´ındex entre les fulles que no f´ora l’arrel, i davall, el seu pare. A cada pas, llevava la fulla, i aix´ı successivament.

1

10

0

4

3

2

5

(^6 )

7

9

8

Exemple d’arbre arrelat