Tema 1 Matemática Discreta, Resúmenes de Matemática Discreta

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MATEMÁTICA DISCRETA

TEMA 1: Introducción a la lógica.

Pablo José Herrera Vizcaino. 1D2 GII Noviembre 2020

1. LÓGICA PREPOSICIONAL

PROPOSICIONES

Definición: Llamaremos proposición a cualquier enunciado del que se puede decir sin ambigüedad (y de forma excluyente) que es verdadero o falso. Cuando una proposición es cierta se le asigna el valor lógico 1 (o V de verdadera) y si es falsa el valor lógico 0 (o F de falsa). Ejemplos:

1. “Londres es la capital de España” ˜ es una proposición falsa (valor lógico 0).
2. (2) “¿Dónde vas esta tarde?” no es una proposición.
3. (3) “Si un número es una potencia de 10 entonces es par” es una proposición verdadera (valor lógico 1). ´
4. (4) “x + 4 = 0” no es una proposición

• Las proposiciones más simples se denominan atómicas y se suelen representar con letras minúsculas: p, q, r...
• Existen otras proposiciones, que llamaremos proposiciones moleculares y que están formadas por ´ proposiciones atómicas unidas mediante unas partículas que actúan como nexos. Se suelen representar con letras mayúsculas: P, Q, R,... Ejemplos:

1. “Juan es alto” es una proposición atómica (p).
2. “María es rubia” es una proposición atómica. (q)
3. “Juan es alto y María es rubia” es una proposición molecular. CONECTIVOS O CONECTORES LÓGICOS Los conectivos lógicos son los nexos que nos permiten construir proposiciones compuestas ( moleculares ) a partir de otras más simples ( atómicas ). Los conectivos lógicos más empleados son los que aparecen en la siguiente tabla: Dependiendo de los valores lógicos de las proposiciones p y q, las proposiciones moleculares anteriores pueden ser verdaderas o falsas. Todas las posibles combinaciones pueden representarse en una tabla, llamada tabla de verdad. SIGNIFICADO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS

• Negación : ¬p es verdadera en el caso en que p sea falsa, y es falsa cuando p es verdadera. Su tabla de verdad es:

FORMAS PROPOSICIONALES

Definición: Una forma proposicional (o formula proposicional o función proposicional) es cualquier expresión formada por

1. Símbolos (normalmente letras) que representan formas proposicionales y que se denominan variables proposicionales
2. Conectivos lógicos
3. Pares de paréntesis (…), y construida utilizando la siguiente regla: si A y B son formas proposicionales entonces también lo son ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) y (A ↔ B).

• Una forma o fórmula proposicional (por ejemplo, p ∧ q) se convierte en una proposición cuando sustituimos sus variables (p y q en el ejemplo) por proposiciones concretas.
• Una proposición es necesariamente verdadera o falsa, mientras que una formula proposicional puede ser una cosa o la otra según el valor de verdad de las expresiones que la forman. Ejemplo: La forma proposicional p ∧ q puede representar tanto a la proposición verdadera “La Tierra es un planeta y París es la capital de Francia” como a la proposición falsa ´ “El Sol es una estrella y Londres es la capital de España”. Tabla de Verdad de un Fórmula 1
• Llamamos tabla de verdad de una fórmula a la tabla que se obtiene al calcular el valor de verdad asociado a una fórmula con todas (absolutamente todas) las asignaciones posibles de las letras proposicionales que aparecen en la fórmula.
• En la primera línea horizontal de la tabla escribimos las letras proposicionales, así como todas las subfórmulas de la fórmula original. Y en cada una de las otras líneas horizontales escribimos los valores correspondientes a una asignación. Por tanto, hay tantas líneas horizontales de este tipo como asignaciones.
• Las principales columnas de la tabla que nos interesan son las de las letras proposicionales (que son las primeras columnas) y la de la fórmula misma (que es la última columna). El resto de columnas que hay (y que corresponden a subfórmulas) son meramente auxiliares y pueden olvidarse una vez construida la tabla.
• La tabla de verdad de una fórmula nos informa del valor que toma la fórmula con cualquier posible asignación (no sólo con una asignación). Tabla de Verdad de un Fórmula 2
• Por ejemplo, la tabla de verdad de la fórmula ((p → q) → p) → p es

• Por ejemplo, la tabla de verdad de la fórmula (p ∧ q) → ¬ (q → r) es
• La tabla de verdad de α = (((¬p ∨ q) ∧ s) → (q ∧ (r → s))) es TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES Definición
• Una tautología es una forma proposicional que siempre es verdadera (independientemente de los valores lógicos de las variables que la forman). La denotaremos por τ.
• Una contradicción es una forma proposicional que siempre es falsa (independientemente de los valores lógicos de las variables que la forman). La denotaremos φ.
• Una contingencia es una forma proposicional que no es ni tautología ni contradicción. Ejemplos:
• ¬(p ∧ q → r) es una contingencia.
• (p → q) ↔ (¬p ∨ q) es una tautología.
• p∧¬p es una contradicción.

Otras equivalencias relacionadas con los conectivos disyunción, conjunción y negación:

• Absorbentes: τ ∨ P ≡ τ, φ ∧ P ≡ φ
• Simplificativas (o “leyes de absorción”): P ∨ (P ∧ Q) ≡ P, P ∧ (P ∨ Q) ≡ P
• Idempotentes: P ∨ P ≡ P P ∧ P ≡ P
• Leyes de De Morgan: ¬ (P ∨ Q) ≡¬P∧¬Q ¬ (P ∧ Q) ≡¬P∨¬Q
• Doble negación: ¬ (¬P) ≡ P Equivalencias involucrando a los conectores condicional, bicondicional y disyunción:
• Condicional-disyunción: P → Q ≡ ¬ P ∨ Q
• Condicional-bicondicional: (P → Q) ∧ (Q → P) ≡ P ↔ Q
• Trasposición: P → Q ≡¬Q → ¬P
• Ley de exportación: (P ∧ Q) → R ≡ P → (Q → R) Simplificación de formas proposicionales Todas las equivalencias expuestas se pueden utilizar para simplificar una determinada forma proposicional, es decir, para obtener otra equivalente más sencilla. Ejemplo: Vamos a simplificar la forma proposicional ¬p ∧ (p ∨ q) → q

Inferencia

Definición: Se denomina inferencia al proceso que permite, partiendo de unas proposiciones P1, P2,... , Pn que se suponen ciertas (llamadas premisas), deducir que otra proposición C es cierta (llamada conclusión); dicho de otro modo, lo que se hace es demostrar la implicación lógica ´ P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn ⇒ C mediante una secuencia finita de pasos en los cuales se utilizan las llamadas leyes de inferencia. Las técnicas más habituales en los procesos de inferencia son las siguientes:

• Inferencia directa.
• Inferencia condicional.
• Inferencia bicondicional.
• Inferencia por reducción al absurdo. NOTA: También es posible determinar si ´ P1 ∧ · · · Pn → C es una tautología utilizando tablas de verdad, pero este método resulta demasiado largo y tedioso. Inferencia directa La inferencia directa consiste en deducir la conclusión directamente a partir de las premisas, usando una serie reglas denominadas leyes de inferencia. Son las siguientes:

1. Ley de las premisas: Cualquier premisa puede ser utilizada en cualquier paso del proceso de inferencia.
2. Ley de la unión: Si en un paso de la inferencia se tiene la premisa P y en otro la premisa Q, entonces se puede introducir como nueva premisa P ∧ Q.
3. Ley de inserción de tautologías: En cualquier paso puede introducirse una tautología como premisa.
4. Ley de uso de equivalencias lógicas: Cualquier forma proposicional puede ser sustituida por otra equivalente. 5. Ley de uso de las implicaciones lógicas: Si en un paso se tiene el antecedente de una implicación lógica entonces puede concluirse el consecuente e introducirlo como una nueva premisa.

Implicaciones lógicas más usuales

1. Regla de la simplificación: P ∧ Q ⇒ P P ∧ Q ⇒ Q
2. Regla de la adición: P ⇒ P ∨ Q
3. Regla del condicional: Q ⇒ (P → Q)
4. Silogismo hipotético: (P → Q) ∧ (Q → R) ⇒ (P → R)

Simplificando la notación: Para simplificar la notación y ahorrar espacio en la escritura al aplicar “Modus ponens”, en vez de introducir previamente una premisa mediante “Ley de la Unión (a,b)”, se podrá escribir directamente “Modus ponens (a,b)”. Análogamente se proceder a con “Modus tollens” y “Modus tollendo ponens”. El ejemplo anterior quedaría: Inferencia bicondicional La inferencia bicondicional se utiliza cuando la conclusión a deducir es una expresión del tipo ´ P ↔ Q. Se utiliza la equivalencia condicional-bicondicional: P ↔ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P). Cuando la conclusión sea una expresión bicondicional P ↔ Q:

1. se prueba de que las premisas se infiere la expresión condicional P → Q (condicional directo)
2. se hace lo mismo con Q → P (condicional recíproco). Inferencia por reducción al absurdo Este método se basa en la equivalencia (P ∧ ¬Q) → φ ⇔ P → Q Para probar que de P verdadera se deduce Q verdadera supondremos que P es verdadero y Q es falso y, si a partir de aquí se llega a un absurdo (contradicción), entonces es que Q tiene que ser verdadero. En la práctica, si Q es la conclusión a demostrar, introduciremos ¬Q como nueva premisa (premisa auxiliar) e intentaremos llegar a una contradicción.

2. LÓGICA DE PREDICADOS

Motivación de la lógica de predicados La lógica proposicional vista hasta el momento resulta insuficiente para justificar razonamientos del tipo “Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 2. 24 es múltiplo de 8. Por tanto, 24 es múltiplo de 2.” ya que no es posible expresar que dos proposiciones distintas contienen elementos análogos. En nuestro caso: “ser múltiplo de 2” o “ser múltiplo de 8”. ´ Tampoco resulta suficientemente flexible para poderse aplicar tanto a individuos como a colectividades de individuos (por ejemplo: “todos los múltiplos de 8” o “algunos múltiplos de 8”). Por estos motivos se introduce la lógica de predicados. Predicados En Lógica de predicados se distingue entre las propiedades (también llamadas predicados) y los objetos a los que dichas propiedades se refieren (también llamados términos). Ejemplos de predicados podrían ser: (a)... es rojo. (b)... tiene el pelo rizado. (c)... es múltiplo de 8. (d)... es múltiplo de 2. (e)... es más alto que ´.. .. Los espacios... pueden ser “rellenados” por nombres de objetos apropiados para formar una proposición, que puede ser verdadera o falsa en el sentido usual. Por ejemplo, en (a): “el coche es rojo” en (c): “ 24 es múltiplo de 8” o en (e), “Juan es más alto que Pedro”. Notación

• Para referirnos a predicados utilizaremos letras mayúsculas: R : “es rojo/a” N : “tiene el pelo rizado” M: “es múltiplo de 8” A: “es más alto que”
• Las letras minúsculas simbolizarán objetos o términos de ´ carácter concreto ´ y las variables simbolizarán términos de carácter arbitrario o genérico. Por ejemplo: c: “este coche” j: “Juan” x (ejemplo: x es múltiplo de 2)

Funciones proposicionales Un predicado puede tener más de una variable. Por ejemplo, en el ´ universo de los numeros enteros: T(x, y) : “x es múltiplo de y” T(10, 5) es la proposición “10 es múltiplo de 5”. Definición Una función o formula atómica en la lógica de predicados es una expresión del tipo P(x1, x2, …, xn), donde P es un predicado y x1, x2, …, xn son términos. Una función o fórmula pasa a ser una proposición o sentencia cuando:

• se sustituyen las variables por términos concretos
• cuantificamos las variables (con ∀ o ∃). Silogismos aristotélicos Para formular expresiones en las que aparecen cuantificadores y varios predicados, son útiles los siguientes ejemplos generales (donde A y B son predicados):
• “Todos los elementos del universo que cumplen A cumplen B” se simboliza ∀x(A(x) → B(x)) Ejemplo: En el universo U = {humanos}, la proposición “Todos los filósofos son sabios” se puede simbolizar ∀x(F(x) → S(x)) donde F es el predicado “ser filosofo” y ´ S es el predicado “ser sabio”
• “Algunos elementos del universo que cumplen A cumplen B” se simboliza ∃x(A(x) ∧ B(x)) Ejemplo: En el universo U = {humanos}, la proposición “Algunos griegos son filósofos” se puede simbolizar ∃x(G(x) ∧ F(x)) donde G es el predicado “ser griego” y F es el predicado “ser filosofo”.

• “Algunos elementos del universo que cumplen A no cumplen B” se simboliza ∃x(A(x)∧ ¬B(x)) Ejemplo: En el universo U = {humanos}, la proposición “Algunos alumnos no tienen permiso de conducir” se puede simbolizar ∃x(A(x)∧ ¬P(x)) donde A es el predicado “ser alumno” y P es el predicado “tener permiso de conducir”. Inferencia en lógica de predicados EQUIVALENCIAS E IMPLICACIONES:
• Negación de cuantificadores: o ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) o ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x)
• Disyunción y conjunción: o ∀x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ (∀xP(x)) ∧ (∀xQ(x)) o ∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ (∃xP(x)) ∨ (∃xQ(x)) o (∀xP(x)) ∨ (∀xQ(x)) ⇒ ∀x(P(x) ∨ Q(x)) o ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ⇒ (∃xP(x)) ∧ (∃xQ(x))
• Leyes de De Morgan generalizadas: o ¬∀x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∃x(¬P(x)∨ ¬Q(x)) o ¬∀x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x(¬P(x)∧ ¬Q(x)) o ¬∃x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x(¬P(x)∨ ¬Q(x)) o ¬∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∀x(¬P(x)∧ ¬Q(x)) Leyes de inferencias específicas de la lógica de predicados

1. Especificación universal: Del predicado ∀xP(x) se puede deducir P(a) para cualquier elemento concreto a del universo.
2. Especificación existencial: De ∃xP(x) podemos deducir P(a) para algún elemento a del universo.
3. Generalización universal: Si P(y) es verdadero para cualquier elemento y del universo entonces podemos deducir ∀xP(x).

3. El principio de Inducción

El principio de Inducción Sea N = {1, 2, 3, …} el conjunto de los números naturales, y E(n) una propiedad de los números naturales que puede ser cierta o no para cada número natural n. El principio de inducción matemática afirma que si: i) E(1) es cierta, es decir, el número natural 1 verifica la propiedad E, ii) y suponiendo que E(n) es cierta, para un numero natural cualquiera ´ n, se puede probar que E(n + 1) también es cierta entonces, cualquier número natural verifica la propiedad (es decir, la propiedad E es cierta para todos los números naturales). Observación: Si la hipótesis i), “E(1) es cierta”, se cambia por “E(n0) es cierta”, con n0 ∈ N, n0 ≠ 1, entonces el Principio de Inducción concluye que la propiedad E es cierta para cualquier número natural n ≥ n0. Expresión del Principio de Inducción usando la lógica de predicados Si E(n) es una función proposicional en el universo de los números naturales, entonces E(1) ∧ (E(n) → E(n + 1)) ⇒ ∀n E(n). El método de inducción. Ejemplo Así pues, para probar que todos los números naturales cumplen una determinada propiedad seguiremos los dos siguientes pasos: Paso 1: Se prueba que la propiedad es cierta para n = 1 Paso 2: Se prueba que si la propiedad es cierta para un valor k entonces es cierta para el valor (k +

1. En el Paso 2, la suposición de que la propiedad es cierta para un valor arbitrario k se conoce como Hipótesis de inducción (H.I). Ejemplo. Demostremos que para todo número natural ´ n se cumple que Procedemos por el método de inducción:

1. La propiedad es cierta para n = 1 ya que 2. Supongamos que la fórmula es cierta para un número natural cualquiera k. Es decir, suponemos que

Hemos de probar que es cierta para (k + 1), o sea, hemos de probar que Veámoslo: Y aplicando la hipótesis de inducción (H.I) Haciendo ahora operaciones obtenemos el resultado esperado